第三章时域与频域响应.ppt
1,第三章 時域與頻域響應,本章重點：本章的內容為下一章的基礎將對數位信號在時域與頻域的一些運作方式與特性作一番剖析與驗證。DSP的數學基礎例如Z轉換、反Z轉換、離散傅立葉轉換以及其特性。以上兩部份是DSP的重要骨幹希望讀者能夠深入練習與體會。,2,系統的時域響應,探討系統在時間軸上的變化，稱為時域響應。在時域中表示一個系統的方法最普遍的方式為動態方程式。以下各小節說明之。,3,3.1.1 動態方程式響應,系統在時域上的響應行為，可以用數學方程式來描述，稱為系統的動態方程式。系統的動態方程式表現出在時間變化軸上的系統輸入與輸出的關聯行為在數位信號的表示法稱為差分方程式(Difference equation)。其形式為：(3.1-1)應用MATLAB的指令為filter。範例3.1-1。模擬結果：如圖3.1-1與圖3.1-2。,4,圖3.1-1 步階響應圖,5,圖3.1-2 脈衝響應圖,6,3.1.2 零態(Zero state)與零輸入(Zero-input)響應,若不考慮輸入的影響，只考慮初始狀態值(Initial state condition)的響應，稱為零輸入響應(Zero input response)。若只考慮輸入的影響，不考慮初始狀態值的影響（即初始狀態值為0），稱為零態響應(Zero state response)。範例3.12。模擬結果：如圖3.1-3至圖3.1-5。,7,圖3.1-3 輸入信號圖,8,圖3.1-4 零態響應與零輸入響應圖,9,圖3.1-5 零態響應加零輸入響應與總響應圖,10,3.1.3 線性摺積(Linear Convolution),對一個線性非時變(LTI)的系統輸出的信號y(n)可以經由輸入信號x(n)與系統的脈衝響應T(n)的線性摺積而求得。線性摺積的定義如下：(3.1-2)3.1-2式也可表為(3.1-3)以上的數學式3.1-2如圖3.1-6。數學式3.1-3，如圖3.1-7。這兩個圖形可執行範例3.1-2-1程式獲得。MATLAB所用的指令為conv範例3.1-2-1;模擬結果：如圖3.1-6與圖3.1-7。,11,圖3.1-6 脈衝響應對摺圖,12,圖3.1-7 輸入信號對摺圖,13,3.1.4 環形摺積(Circular Convolution),環形摺積就是把線性摺積的頭尾相連變成環狀一個在內環另一個在外環然後每乘加一次就內環不動外環順時鐘方向轉一次再進行乘加如此一直進行到尾端為止。其觀念如圖3.1-10所示。,14,圖3.1-10 環形摺積示意圖,15,環形平移,在程式的演算法中是以平移(Shift)來表現出來如圖3.1-11所示。一個環形摺積運算考量的有二個一個是它總共有幾點（以N表示）另一個就是轉動幾點(以m表示)。,16,圖3.1-11 環形平移的序列示意圖,17,圖3.1-12 對摺後再擺成環形的序列圖,18,以環形摺積求系統響應,把輸入序列當內環，系統脈衝響應當外環，補零後進行環形摺積，結果便是系統響應。請參考範例3.1-6。範例3.1-4模擬結果：如圖3.1-13及圖3.1-14。範例3.1-5模擬結果如圖3.1-15。範例3.1-6模擬結果：如圖3.1-16與圖3.1-17。,19,圖3.1-13原信號及對摺後的信號圖,20,圖3.1-14取前10點作3點的環形平移圖,21,圖3.1-15 補零(5點)的環形平移,22,圖3.1-16 輸入信號與脈衝響應序列,23,圖3.1-17 線性摺積與環形摺積圖,24,3.1.5 區塊摺積(Block Convolution),處理的方式有二種一為重疊儲存法(Overlap-save)另一為重疊相加法(Overlap-add)。重疊儲存法(Overlap-save)(參考範例3.1-7至範例3.1-9)重疊儲存法的步驟說明如圖3.1-18所示。重疊相加法(Overlap-add)(參考範例3.1-10至範例3.1-12)重疊相加法的步驟說明如圖3.1-19所示。,25,圖3.1-18 重疊儲存法示意圖,26,圖3.1-19 重疊相加示意圖,27,3.2 系統的頻域響應3.2.1 Z轉換(Z-transform),在z轉換中為了避免無窮級數發散的z範圍限制條件稱為收斂區域(Region of convergence簡稱ROC其示意圖如圖3.2-1,28,圖3.2-1 步階函數z轉換的ROC示意圖,29,z轉換的特性：,取樣平移特性(sample shifting)：參考範例3.2-1。z定義域微分特性：參考範例3.2-1。模擬結果：如圖3.2-2頻率平移特性(Frequency shifting):參考範例3.2-2。對摺特性(Folding):參考範例3.2-3與範例3.2-4。模擬結果：如圖3.2-3與圖3.2-4。線性特性：參考範例3.2-5。模擬結果：如圖3.2-5。摺積(Convolution)特性：系統在頻域上Z轉換的脈衝響應=系統在時域上的零態響應,30,圖3.2-2 Z轉換與響應序列結果圖,31,圖3.2-3 步階函數的Z轉換對摺特性驗證圖,32,圖3.2-4 對摺後的Z轉換與響應序列結果圖,33,圖3.2-5 Z轉換的線性特性圖,34,3.2.2 反Z轉換(Inversion Z-transform),部份分式法長除法：,35,圖3.2-6 反Z轉換結果圖,36,圖3.2-7 zero-pole圖,37,圖3.2-8 響應序列圖,38,圖3.2-9 極零點圖,39,3.2.3 旋轉因子(Twiddle factor),旋轉因子（Twiddle factor）的作用是要把無窮的傅立葉級數改成在有限的頻域空間中進行,40,圖3.2-10 旋轉因子示意圖,41,3.2.4 離散傅立葉轉換(DFT),根據前一節的旋轉因子的介紹與第二章的傅立葉轉換的觀念本節將藉此推導到數位的傅立葉轉換稱為離散傅立葉轉換(Discrete Fourier Transform)簡稱DFT,42,圖3.2-11 18點的DFT運算結果圖,43,圖3.2-12 26點的DFT運算結果圖,44,圖3.2-13 32點且輸入信號補6個0的DFT運算結果圖,45,3.2.5 反離散傅立葉轉換(Inverse-DFT),範例3.2-12,46,圖3.2-14 26點的DFT運算結果圖,47,圖3.2-15 26點的Inverse-DFT運算結果圖,48,圖3.2-16 32點的DFT運算結果圖,49,圖3.2-17 32點的Inverse-DFT運算結果圖,50,3.2.6 DFT的重要特性,週期性(Periodicity)對摺性(Folding)對稱性(Symmetry)線性(Linearity)位移性(Shifting)摺積性(Convolution)相乘性(Multiplication),51,圖3.2-18 DFT的週期性大小圖,52,圖3.2-19 DFT的週期性相位圖,53,圖3.2-20 DFT的對摺性大小圖,54,圖3.2-21 DFT的對摺性相位圖,55,圖3.2-20a DFT的對摺性大小圖,56,圖3.2-21a DFT的對摺性相位圖,57,圖3.2-22 DFT的對稱性大小圖,58,圖3.2-23 DFT的對稱性相位圖,59,圖3.2-24 DFT的對稱性實部圖,60,圖3.2-25 DFT的對稱性虛部圖,61,圖3.2-26 DFT的線性特性大小圖,62,圖3.2-27 DFT的線性特性相位圖,63,圖3.2-28 DFT的平移性大小圖（平移6點）,64,圖3.2-29 DFT的平移性相位圖（平移6點）,65,圖3.2-30 DFT的摺積性大小圖,66,圖3.2-31 DFT的摺積性相位圖,67,圖3.2-32 DFT的相乘性大小圖,68,圖3.2-33 DFT的相乘性相位圖,
