数列求和的方法.ppt

数列求和,数列求和的方法,将一个数列拆成若干个简单数列,然后分别求和.,将数列相邻的两项(或若干项)并成一项(或一组)得到一个新数列(容易求和).,一、拆项求和,二、并项求和,例 求和 Sn=12+23+n(n+1).,例 求和 Sn=1-2+3-4+5-6+(-1)n+1n.,三、裂项求和,将数列的每一项拆(裂开)成两项之差,使得正负项能相互抵消,剩下首尾若干项.,四、错位求和,将数列的每一项都作相同的变换,然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减.,例 等比数列求和公式的推导.,五、倒序求和,将数列的倒数第 k 项(k=1,2,3,)变为正数第 k 项,然后将得到的新数列与原数列进行变换(相加、相减等).,例 等差数列求和公式的推导.,典型例题,Sn=(3n+2)2n-1,(4)Sn=1n+2(n-1)+3(n-2)+n1;,法1 Sn=1n+2(n-1)+3(n-2)+nn-(n-1),=n(1+2+3+n)-21+32+n(n-1),=n(1+2+3+n)-12+22+(n-1)2-1+2+(n-1),法2 Sn=1n+2(n-1)+3(n-2)+n1,=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+n),(5)Sn=3n-1+3n-22+3n-322+2n-1.,课后练习,1.已知数列 an 是等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12,(1)求数列 an 的通项公式;(2)令 bn=an3n,求数列 bn 前 n 项和的公式.,解:(1)设数列 an 的公差为 d,则由已知得 3a1+3d=12,d=2.,an=2+(n-1)2=2n.,故数列 an 的通项公式为 an=2n.,(2)由 bn=an3n=2n3n 得数列 bn 前 n 项和,Sn=23+432+(2n-2)3n-1+2n3n,3Sn=232+433+(2n-2)3n+2n3n+1,将 式减 式得:,-2Sn=2(3+32+3n)-2n3n+1=3(3n-1)-2n3n+1.,又 a1=2,2.将上题(2)中“bn=an3n”改为“bn=anxn(xR)”,仍求 bn 的前 n 项和.,解:令 Sn=b1+b2+bn,则由 bn=anxn=2nxn 得:,Sn=2x+4x2+(2n-2)xn-1+2nxn,xSn=2x2+4x3+(2n-2)xn+2nxn+1,当 x1 时,将 式减 式得:,当 x=1 时,Sn=2+4+2n=n(n+1);,4.求数列 n(n+1)(2n+1)的前 n 项和 Sn.,解:通项 ak=k(k+1)(2k+1)=2k3+3k2+k,Sn=2(13+23+n3)+3(12+22+n2)+(1+2+n),6.已知 lgx+lgy=a,且 Sn=lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+lgyn,求 Sn.,解:Sn=lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+lgyn,又 Sn=lgyn+lg(xyn-1)+lg(xn-1y)+lgxn,2Sn=lg(xnyn)+lg(xnyn)+lg(xnyn)+lg(xnyn),=n(n+1)lg(xy).,lgx+lgy=a,lg(xy)=a.,注:本题亦可用对数的运算性质求解:,Sn=lgxn+(n-1)+3+2+1y1+2+3+(n-1)+n,8.求数列 1,2+3,4+5+6,7+8+9+10,的通项 an 及前 n 项和Sn.,解:设等比数列 an 的公比为 q,依题意得:,a1a2a3=512a23=512a2=8.,前三项分别减去 1,3,9 后又成等差数列,an=a2qn-2=82n-2=2n+1.,10.已知数列 an 中,a1=1,(2n+1)an=(2n-3)an-1(n2,nN*),求数列 an 的前 n 项和 Sn.,Sn=a1+a2+an,解:(2n+1)an=(2n-3)an-1,(2)归纳概括的结论为:,n 为正整数.证明如下:,=a1(1-q)n.,=t(1-1)n-tq(1-q)n,=-tq(1-q)n,从而有:,=-tq(1-q)n,(1)证:由已知 S1=a1=a,Sn=aqn-1,当 n2 时,an=Sn-Sn-1=aqn-1-aqn-2=a(q-1)qn-2.,在 an中,从第 2 项开始成等比数列.,bn=51-n(nN*).,当 1n51 时,|b1|+|b2|+|bn|,=(51-1)+(51-2)+(51-n),当 n52 时,|b1|+|b2|+|bn|,=(50+49+1)+1+2+(n-51),=51n-(1+2+n),