依据几种插值多项式的比较分析.docx

本科生毕业论文开题报告书题目学生姓名学号系别专业指导教师插值方法及其MATLAB实现盛克平1209402023数学与应用数学信息与计算科学讲师2015年12月 11日摘 要IABSTRACT II引言31 、几种常见的插值公式及其构造31.1 Lagrange 插值法41.2 Newton 插值法 71.3 Hermite 插值法 91.4分段低次插值法-1-1.5三次样条插值法-2-2 、例题-3-3 、结束语-7-4、参考文献-7-附录1 -8-附录2 -9-附录3 -9-5、致谢:-10 -摘 要插值法是数值算法的最基本方法之一，同时也是函数逼近、数值积分、数值 微分、微分方程数值解的基础。许多实际问题都需要运用插值法来解决，所以通 过介绍几种常见的插值公式及其误差估计，如：Lagrange插值公式、Newton插 值公式、Hermite插值公式、分段低次插值公式、三次样条插值公式。讨论和比 较它们的实用范围和优缺点。关键词：数值分析插值法插值公式误差MATLABABSTRACTInterpolation is one of the most basic method of numerical algorithm, but also the function approximation, numerical integration, numerical differentiation, numerical solution of differential equation based. Many practical problems need to solve by using the interpolation method, so the introduction of several common interpolation formula and error estimate, such as: Lagrange interpolation formula, Newton formula, Hermite formula of interpolation, piecewise low-order interpolation formula, three spline interpolation formula. Discuss and compare their application range and advantages and disadvantages.Keywords:Numerical analysis Method of interpolation Formula ofinterpolation Error Matlab引言插值法是数值算法的最基本方法之一，同时也是函数逼近、数值积分、数值微分、 微分方程数值解的基础。在全球化、信息化浪潮大力推动下，计算机技术得到了迅速的发展。插值法也在生 活、工程和科学研究中得到了更为广泛的应用。比如在计算断面的面积、漏磁探伤和曲线 拟和等诸多实际问题中，有的函数f 3)虽然给出了解析表达式，但往往过于复杂而难以 计算，使用不方便；有的函数f 3)只能给出它在平面上一些离散的点和这些点的函数 值，而函数f 3)的具体解析表达式则不能给出，在这样的情况下，选用近似函数a 3) 来逼近函数f。MATLAB集计算和绘图等功能于一体，操作简单易上手，在数学领域中具有非常重要 的地位。在插值法中MATLAB可以通过改变插值函数的参数，来实现不同的插值方式。本文对几种插值法作归纳、总结并比较和讨论几种插值法的优缺点，总结出规律， 并给出具体算例及Matlab实现，以便进一步理解插值法，更好地运用其方法解决实际工 程问题。1、几种常见的插值公式及其构造插值法是函数插值法的简称，它的基本思想是：构造一个简单便于计算的函数a 3)去 逼近原函数f，通过计算逼近函数a在某一点的值从而得到原函数f在这一点的 近似值，而求a 3)的方法就称为插值法。下面给出插值函数的一般定义：定义1,2,3,4:已知f 3)(可能未知或表达式非常复杂)是定义在区间 ",b上的函 数，在这个区间上有n +1个彼此不相同的点X ,X ,X ,X，且对应的函数值为012nf (X0), f (X), f (X2),f (X)。寻找一个简单、便于计算的函数a(X)，使a(x)满足：a (X ) = f (X ), k = 0,1,2,n.kk通常称a,b为插值区间，f (x)为被插值函数，a(x)为插值函数，X ,X ,X ,X为插 012n值节点。其中当a(x)是多项式时，称为代数插值方法，即多项式插值。若设R(x)为误差函数或余项，则有R(x) = f (x)-以(x).而且R (x)满足关系式：R(x ) = 0, k = 0,1,2,n. k1.1 Lagrange 插值法已知Lagrange插值是为n次多项式插值，首先考察低次的插值多项式。当 n = 1 时，要构造出过两点(X , > )与(X , > )的多项式L (x)(次数不超过1次且X丰X)， 0011101使得 L (x) = y , L (x) = y。则 L (x)可以写成 u,5:1001111x - x x 一 x1(x) = L T- * y 1 x-?t(Ll)0110它是两个线性函数x - xx - x匕(x)= x一士，1 (x)=x一xh00 x x 11 x x的线性组合，所以称(1.1)为线性插值多项式.当n = 2时，相应的构造出过三点(x,y ),(x,y), (x,y)的多项式L(次 0011222数不超过 2 且 x。x。x)，使得 L (x) = y , L (x) = y , L (x) = y。则 L (x)可0121001111222写成：(x 一" I? (1.2) 2 (x - x)( x - x).'L (x) = y l (x) + yl (x) + yl (x) 20 001 112 22Y (x - x )(x - x )(x - x )(x - x )=y+ y+ y0 (x x)(x x )1 (x x )(x x)01021012有 L (x) = y (i = 0,1,2,., n.), n ii式(1.2)被称为抛物线插值多项式。同理，当x <x <x <<x为插值节点时 012n则L (x)可写成：(1.3)式(1.3)L(x) =£yl(x) =Ey(x-x°).(x-x1)(x-x.(x-xn)i i=0i=0被称为Lagrange插值多项式.i 0 ii1ii+1i n/, i *i (x - x ).(x - x )(x - x ).(x - x)在(1.1)，(1.2)，(1.3)式子中，l (x)均为插值基函数，且满足：l (x) =!' = k，k ik i 10 i 丰 ki=0 i丰k即得 I (x) = Wlx(i = 0,1,2,.,n). kV V误差估计由定理形式给出:定理1,6,7 1.1.1 设 x , x , x ,.,x012j为区间a, b上互不相同的节点，f (x)g C na,b，且 f (n+1) (x)在(a,b)内存在，L (x)满足L (x) = y的插值多项式，则对 Vx g a,b, 3 g (a,b)，使得R (x) = f (x) L (x)=nnf (n+1)( 20(n +1)!(x).n+1还可写成其截断误差：|R (x)M< (n +1)1!n+1(x).其中M=maxn+1 a<x<bf (n+1) (x)0(x)=n (xx).n+1ii=0Lagrange插值多项式的优点是表达式简单明确、便于推导、格式整齐规范；缺 点是没有承上启下性和计算量大，即当需要增加、减少新的节点或节点位置变化时， 就得从新计算所以的函数l (x)。k i在Matlab中，利用Lagrange插值方法进行多项式插值，并将图形显式出来. 实现Lagrange插值的步骤如下：Stepl定义函数f = 1./(25*x”2+1)将其保存在f. m文件中，具体程序如下： function y = fl(x) y = 1. /(25x. ”2+1);Step2定义拉格朗日插值函数，将其保存在lagrange. m文件中，具体实现程序 编程见附录A.Step3建立测试程序，保存在text. M文件中，实现画图：x=-1:0.001:1;y=(1+25.*x.”2).”-1;p=polyfit(x,y,n);py二vpa(poly2sym(p),10);plot_x=-1:0.001:1;f1=polyval(p,plot_x);figureplot(x,y,'r',plot_x,f1)输入n=6时，出现如下面的图2.1所示.图2.1 Largange插值图像通过图2.1可以看出当n=6时，被插图像与插值图像没有很好的模拟，于是重新运行 text. M,并选择n=15,运行，显示如图2.2所示.图2.2 Largange插值图像综合图2.1和图2.2的Lagrange插值图像可以看出，n=15时的被插图像与插值图像 实现了很好的模拟.结果分析：由图2.1和图2.2可以看出n的次数越高，越能实现较好的模拟，从而模拟的效果越好，从图2.2就可以看出两条曲线接近重合，而图一两条直线却分开很多，误差较大，精 度也不高.因此在实际的应用中应该尽量在给定的条件下增加n的次数，才能实现与原函 数较好的重合，才能使计算的结果更加的准确，从而减小了误差.1.2 Newton插值法在介绍Newton插值法之前，先来了解一下什么是差商？g X0, X1= g( Y "0)给定了函数g在节点气,七处的函数值g0°),g(X)。那么有形如：称gX0,X为函数g(X)关于节点气,X处的一阶差商。同理10给出在节点X ,X ,X ,X 处的函数值g(X ), g(X),g(X )。则 012n01ng X , X，X = g X 1' X 2，. XJ 一 " X 0 X L' Xn 1被称为函数 01nX Xg(X)关于节点X 'X 'X ''X的n阶差商。所以可得到差商表如下所示1: 012n表1 差商表X kg (X) k一阶差商二阶差冏三阶差商X0g (X)0X1g (X)1g X 0' XX2g (X)2g X' X2g X 0' X1' X 2X3g (X)3g X2' X3g X1' X 2' X 3g X ' X ' X ' X 0123 由差商的定义可以得出UW:g=g(x0) + (x - x)gx,x gx, x = gx ,x + (x - x)gx,x ,x 001101gX,x，,x = gx ,x，,x + (x- x )gx,x，,x 0n-10 1 nn0 n所以有：g(x) = g(x ) + (x- x ) gx ,x + (x- x )(x- x) gx ,x ,x + + 000101012n-101 n(x - x )(x - x )A (x - x ) gx ,x，x + (x x )fx,x，,x 0=N (x) + Rn(x)n其中：N (x)=ng (x )+0(x 一 x )(x 一 x )A (x 一 x01n-10 1 n(x - x ) gx , x + (x - x )(x - x) gx ,x , x +001010)gx ,x，x 。即N (x)是过n+1个插值点的+12n 阶 Newton插值多项式，R (x)为插值多项式误差。n只是表达方由于n次Newton插值多项式与n次Lagrange插值多项式是恒等的， 式不同，即Newton插值多项式的余项和Lagrange插值多项式的余项相同:r>A/f ("+1)(")R (x) = g(x) N (x) =°(x) = gx ,x ,.,x 岬(x).nn(n + 1)!n+10 1 nn+1当用Newton插值多项式计算较高次的插值时，只需添加一项对应的节点和在 这节点处的计算即可，而表达式前面的计算仍然有效，从而节省了计算量。但是用 Lagrange插值多项式计算较高次的插值时，在添加一项对应的节点和其计算时，表 达式也要经过重新计算，计算量明显的增大。所以Newton插值多项式在这一点上克服了承上启下的问题。但随着次数n的增大，其误差不是很稳定，所以Newton插值对高次插值是不可取的。%保存文件名为New_Int.m%Newton基本插值公式%x为向量，全部的插值节点%y为向量，差值节点处的函数值%xi为标量，是自变量%yi为xi出的函数估计值function yi=New_Int(x,y,xi) n=length(x);m=length(y);if n=merror('The lengths of X ang Y must be equal!');return;end%计算均差表YY=zeros(n);Y(:,1)=y'for k=1:n-1for1:n-kif abs(x(i+k)-x(i)<epserror('the DATA is error!');return;endY(i,k+1)=(Y(i+1,k)-Y(i,k)/(x(i+k)-x(i);endend%计算牛顿插值公式yi=0;for1:nz=1;for k=1:i-1z=z*(xi-x(k);endyi=yi+Y(1,i)*z;end1.3 Hermite 插值法定义1,2,3,: 设在n +1个不同的插值节点X ,X ,X ,X上，给定 = f 0), 012niim = f(X),i = 0,1,2,n。要求一个次数不超过2n +1的多项式H(x)，使得满足ii2 n+1条件：H(X) = y，H(X) = m ,i = 0,1,2,n.则称满足这种条件的多项式为Hermite插值多项式。由于Hermite插值是带有导数的插值法，所以在运用Hermite插值法时就必须知道在节点处的函数值和其导数值，且还要求它们相等.如表2所示，知道了节点处的函数值和其导数值:表2节点数据表xxxxxny(x ?yyyyy'(x ?bbbbn由表2可构造出一个次数不高于2n +1的多项式H2 13)，则称H2 13)为Hermite 插值多项式，即 H(x) = £(y a (x) + b P (x)。其中侦(x)，。(x)为插2n+1i ii iiii=0值基函数，则对Vx g a, b,羽g (a, b)，使得误差函数或余项f (2n+1)(n) 七=y-H2n+i(x) =2 n+1 -Hermite插值多项式能够克服插值函数在节点处不光滑、不可导的缺点.但是在运用Hermite插值公式计算不但要求在节点处的导数值相等，甚至高阶导数也要求 相等，条件太高.在matlab中实现Hermite插值的代码如下：function h，yy =HermiteInt1 (x，y，x1，y1，xx)%求Hermite插值.x为插值节点，y为相应的函数值；在节点x1的一阶导数为y1； xx为插值点.%输出Hermite插值函数的表达式h，若输入参数中有插值点xx时，再输出xx相 应的插值函数值 yy.n=length (x)； m=length (x1 )；syms tyy=0；for i=1:n%下面求y (i)前的系数I=0；%下面这个循环是要找出x (i)在数组x1中的位置 for j=1:mif x (i) =x (j)I=j ；breakend end11=1； 12=0；for j=1:nif j=i 11=11* (t-x (j) / (x (i)-x (j)； 12=12+1/ (x (i)-x(j)；endendfor j=1:mif j=I11=11* (t-x1 (j) / (x (i) -x1 (j)；12=12+1/ (x (i) -x1 (j)；endendif I=012=0；endyy=yy+l1* (-12* (t-x (i) +1) *y (i)；endfor1:m%下面求y1 (i)前的系数l3=1；for j=1:nif x (j) =x1 (i) l3=l3*(t-x(j)/(x1(i)-x(j)；end endfor j=1:mif x1 (j) =x1 (i) l3=l3*(t-x1(j)/(x1(i)-x1(j)；endendyy=yy+l3* (t-x1(i)*y1(i)；end h=simplify( yy )； ifnargin=5yy=eval (subs (h, xx，t)； end1.4分段低次插值法在实际运用函数作插值多项式时，并不是插值多项式的次数越高，插值余项 就越小，值就越精确。这时就出现了计算出来的值与真实值相差很大的问题，比 如说常见的龙格现象.针对这类问题，通常采用分段低次多项式去分段被插函数。 以下介绍常用的分段线性插值1罚.设有n+1个节点a = X < X <A< X =b，对应的函数值为J ,y , A ,y . 01n01n若记h = max|x -x|，有 i(x)满足： i+1in0<i <n-1(1) I (x)属于 Ca,b；(2) I (X) = J ； (3)在任一个小区间X ,X上，i (x)是线性多项式.则称I (x)为分段线性插值函数(其中i = 0,1,2,A ,n).所以在每个小区间 X, X 1上，可表示为：x - xx - XI(X) =y + y Ini X Xi+1 X X误差估计由定理给出：定理1,6 1.4.1 若 f (x) g C 2a,b，记 M = max| f"(x)，则对a < x<bI C)有误差函数或余项估计：R (x) = |f(x)-I(x)|<M2.分段低次插值函数有很好的一致收敛性和稳定性，它计算量小，在实 际生活中用到是最广的.但它的光滑性太差.1.5三次样条插值法三次样条插值法也是一种分段插值法。由于在许多实际问题中，用分 段低次插值法去逼近函数，不仅要求被插函数的一阶导数存在且连续，而 且二阶导数也是一样。所以引人三次样条插值法就是为了克服这个缺点。r S (x)S 1( X)2MS (X)n设区间a,b上有n +1个节点，节点为a =孔< X <A < X =b，且这些 节点的函数值分别为> (k = 0,1,2,A ,n)。现在假如存在一个分段函数S(x)，x e X , X x e X , X 从2x e X , X 使得s。在以下条件：(1)s(X? = y ；(2) S (x)的二阶导数在a, b上连续；(3) S(x)在每个小区间%,XJ为三次多项式.恒成立，其中(k = 0,1,2,A ,n)，则称S(x)为三次样条插值函数.误差估计由定理给出：定理1,6 1.5.1 设 f (x) e C 4a,b，且记 M = max |/(4)(x) a < x<bh = max|X -X "则对Vxe a.b，都有S(x)的误差估计式：0<k<n-1f (i)(x) - S(k)(x) < C h4 i M , i = 0,1,2.三次样条插值函数它同样具有良好的收敛性和逼近性，它在内节点处 的二阶导数是连续的，即曲线光滑。2、例题例 1 1,9,10给出自然对数Inx和它的导数（Inx）的数表如下:表3 数据表X0.400.500.70Inx-0.916291-0.693147-0.356675In'x2.502.001.430.80-0.2231441.25（1）（2）利用Lagrange插值公式求In0.60的近似值并估计误差;利用Newton插值公式求In0.60的近似值并估计误差；（3）利用Hermite插值公式求In0.60的近似值并估计误差.分析本题有多种解法，除了要求的几种方法外，还可以用待定系数法、逐次线性插值法求解.解：（1）利用Lagrange插值公式，得用 x = 0.40, X = 0.50, X = 0.70 和 X = 0.80 作 3 次 Lagrange 插 值多项式L3(x)，l (X) = £ yi30 i i(x - X)(x - X)(x - X)y (X - x )(X - X )(X - X ) 1(X -X )(X -X)(X -X)101213(x 一 X )(x 一 X)(x 一 X )=y 123 +0(X - X)(X - X )(X - X )010203y(X 一 XQ)(x 一 X)(X 一 X)y+ /2(X -x)(X -X)(X -X) + 】3(X -x )(X -X)(X -X)202123303132则把 X = 0.60代入 L (X)中得：L (0.60) = -0.509975023(X - X )(X - X )(X - X由于 max0.4< x<0.8f (4)( X )=M < 234.4即有")|<M44!K (X)< 0.004I 4（2）利用Newton插值公式，得差商表如下表4 差商表xInx一阶差商二阶差商三阶差商0.40-0.9162910.50-0.6931472.231440.70-0.3566751.6823575-1.8302750.80-0.2231441.33531-1.1568251.684375所以 N =g0)+ g尤，尤(x- %)+ gX ,尤，尤(x-% )3-%)3001001201+ gX , x, x , x (% - x )(% - x)(% - x )(%- x )01230123把 x = 0.60 代入 N (x)中得：N (0.60) = 0.50997525R (%) = g(x) N (x) = gx , x , x , x ® (x)3301234=1.684375 x (0.6 0.4)(0.6 0.5)(0.6 0.7)(0.6 0.8)=1.684375 x 0.0004 = 0.00067375(3)利用 Hermite 插值公式 H(%) = £ (y a (%) + b P (%)得:i=0i 11 1H (%) = £ t 2(x 一 %) l' (x )12(%) f (%) + (% 一 x) 12(%) f r(% J7i i i iii ii=£ f (x) E l' (x) f (x) f r(x)L (x x )1l2(x)ii i iii ii=0其中 l (0.60) = l (0.60) = 0.1666667l (0.60) = l (0.60) = 0.6666670312l' (0.40) = 15.833333 0l (0.70) = 1.666667l' (0.50) = 1.666667 1l (0.80) = 15.833333把x = 0.60代入H7(x)中得：H 7(0.60) = 0.510889喜%)R (%) = f (x) H 7 (0.60) =8! ®42(x)由 于 max f( 7)(门)=M < 439453.1250.4V x <0.8s 2 (0.60) = 0.000000164所以 R 7(x) < 0.0000017439注 本题的真解In0.60 = -0.510825623,由于相同次数的Lagrange插值 多项式和Newton插值多项式是恒等关系，只是它们的表达形式不同，所以 用它们算出来的结果也应该相同。然而从例题中可以发现分别用Lagrange插值公式和Newton插值公式计算出来的结果了出现差异，那是因为计算的 次数不同，舍入的误差不同造成的。同时从例题中还可以看出用Hermite插值公式计算得出的结果远比运用Lagrange插值公式和Newton插值公式得到 的结果精确.例 2 1,11,12 给定一个函f (x)=-,- 5 < x < 5，1 + X 2现在给出等距离的插值节点x. = 5 +10 n，其中i = 1,2, A , n .分别试用 Lagrange插值法、分段低次插值法、三次样条插值法作出其图像，并与原 图像相比较，再分析其差异.解：首先用Lagrange插值法进行计算，当n = 10时，在Matlab的中输 入命令见附录1，得到以下图像：图1由图1可以知道在运用高次 不是插值多项式的次数越高越好，Lagrange插值多项式逼近被插函数时，并随着节点的增多，用 Lagrange插值法计算出来的结果与真实值相差就越大，其误差也就越大，也就出现了发散的现象，这就是我们常说的龙格现象。然后再在图1的基础上用分段插值法计算，并在 Matlab上实现见附录2，得出图像如下：图2由图2中可以看出，用分段插值法计算出来的结果与真实值相差很小， 所以分段插值法克服了高次Lagrange插值法的缺点，不但不会出现龙格的 现象，也不会出现不收敛的现象。但是它还是具有插值精度低、节点处不 光滑的缺点。同理运用三次样条插值法计算，由Matlab得到以下图像见附录3：图3同样由图3中可以看出，三次样条插值法不仅克服了高次Lagrange插值法的不收敛性，同时也克服了分段插值法的插值精度低、在节点处不光 滑的缺点，即提高节点处的光滑性。3、结束语本文讨论了数值分析中几种常见的插值法，知道了插值法在数值分析 中的重要地位。分别介绍了各种插值法实用范围和优缺点，并通过例题论 证了其结果，加深其印象.让读者能够很好的估计误差，使其最小.文中同 时运用了 Matlab解决问题，使其计算量大大的减少.也为人们在以后遇到 需要用插值法解决的诸多实际问题的时候，提供一点参考资料。4、参考文献1 韩旭里.数值计算方法M.复旦大学出版社，2008.2 关治，陆金甫.数值分析基础:M.北京：高等教育出版社，1998.3 黄友谦，李岳生.数值逼近M.北京：高等教育出版社，1987.4 李庆扬，关治，白峰杉.数值计算原理M.北京：清华大学出版社， 2000.5 马东升，雷勇军.数值计算方法（第二版）:M.机械工业出版社，2006.6 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第三版）M.北京：高等教育出版 社，2005.7 王德人，杨忠华.数值逼近引论M.北京：高等教育出版社，1990.8 王能超.数值分析简明教程M.北京：高等教育出版社，2001.9 封建湖，车明刚.计算方法典型题分析解集M.西北工业大学出版社， 2003.10 王能超.计算方法简明教程M.北京：高等教育出版社，2004.11 张丽娟.三种插值方法的应用与比较J .赤峰学院学报，2010.（3）12 张德丰.MATLAB数值分析应用（第二版）M.国防工业出版社， 2009.附录1x=-5:1:5;y=1./(1+x.”2);x0=-5:0.1:5;y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.”2);plot(x0,y0, 一r )hold onplot(x0,y1, -b)legend (拉格朗日插值曲线，原曲线) y2=interp1(x,y,x0);plot(x0,y2, *m)legend附录2yi=interp1(x,y,xi)对节点(x,y)插值，求插值点的函数值.yi=interp1(x,y,xi, method )method指定插值的算法，默认为线性算法.其值可为：nearest 线性最近项插值 linear 线性插值 spline 立方样条插值 cubic 立方插值附录3x=-5:1:5;y=1./(1+x.”2);x0=-5:0.1:5;y0=lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0."2);y2=interp1(x,y,x0, spline );y3=interp1(x,y,x0);plot (x0,y1, -b，x0,y0, 一r，x0,y2, xk，x0,y3, -y);legend5、致谢:在写论文的过程中，遇到了许多困难，但是在指导老师和同学们的帮 助下，我最终克服这些难关，论文才得以完成.在这里我对帮助我的老师和 同学们表示深深的感谢，也感谢为我的论文提供文献的作者。愿你们身体健康，万事如意!