高等数学课件D7习题课微分方程.ppt

微分方程,习题课,第七章,一、一阶微分方程求解,1.一阶标准类型方程求解,关键:辨别方程类型,掌握求解步骤,2.一阶非标准类型方程求解,三个标准类型,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,一阶线性方程,方法1 先解齐次方程,再用常数变易法.,方法2 用通解公式,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,高阶线性微分方程,线性齐次方程解的结构,线性非齐次方程解的结构,线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,(叠加原理),定理1.,定理 2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,数)是该方程的通解.,则,线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理 3.,则,是非齐次方程的通解.,定理 4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解.(非齐次方程之解的叠加原理),定理3,定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.,定理 5.,是对应齐次方程的 n 个线性,无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,常系数,齐次线性微分方程,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,小结:,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,若特征方程含 k 重复根,若特征方程含 k 重实根 r,则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,推广:,二阶常系数线性非齐次微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据 f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,为特征方程的 k(=0,1,2)重根,则设特解为,为特征方程的 k(=0,1)重根,则设特解为,3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.,例1.求下列方程的通解,提示:(1),故为分离变量方程:,通解,(2)这是一个齐次方程，,令 y=u x,化为分离变量方程:,例3.,设F(x)f(x)g(x),其中函数 f(x),g(x)在(,+),内满足以下条件:,(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;,(2003考研),(2)求出F(x)的表达式.,解:(1),所以F(x)满足的一阶线性非齐次微分方程:,(2)由一阶线性微分方程解的公式得,于是,思考:能否根据草图列方程?,练习题:,P354 题5.已知某曲线经过点(1,1),轴上的截距等于切点的横坐标,求它的方程.,提示:设曲线上的动点为 M(x,y),令 X=0,得截距,由题意知微分方程为,即,定解条件为,此点处切线方程为,它的切线在纵,例2.,的通解.,解:本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,例5.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为,例4.,的一个特解.,解:本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,作业,p353 总习题七13(1)(7)(8)4(4),