林建伟《大学物理》振动.ppt

第四章 振动与波动,4.1 振 动(Vibration),4.1.1 简谐运动的描述,4.1.2 简谐振动与旋转矢量,4.1.4*阻尼振动,4.1.3 简谐振动(动力学部分),4.1.6 简谐振动的合成,4.1.5 受迫振动与共振,4.1.8 垂直方向同频率简谐振动的合成,4.1.7.同方向不同频率的简谐振动的合成,4.1.9 谐振分析,火山,4.1 振 动(Vibration),振动的概念,机械振动 电磁振动,广义振动：任一物理量(如位移、电 流等),振动分类,3、受迫振动外界作用力下的振动,1、自由振动没有能量的输入与输出,2、阻尼振动振幅减少的振动（介质阻尼和辐射阻尼）,在某一数值附近反复变化。,4、参变振动参数变化的振动,5、随机振动用概率统计的方法研究,4.1.1 简谐运动的描述,一.简谐振动的定义,表达式,x(t)=Acos(t+),特点,(1)等幅振动,(2)周期振动 x(t)=x(t+T),二.描述简谐振动的特征量,1.振幅 A:物体离开平衡 位置的最大距离,2.周期T 和圆频率,T 2，=1/T(Hz),=2,3.相位,(1)、=(t+)是 t 时刻的相位,(2)、是t=0时刻的相位 初相,本章主要研究自由振动，,而自由振动中最基本的振动是简谐振动，它是其它一切振动的基础。,说明：相位是确定物体振动状态的物理量，不同的相反映不同的态.。,旋转矢量的长度,M,旋转矢量与参考方向x 的夹角,旋转矢量旋转的方向,旋转矢量旋转的角速度,振动位相,振动圆频率,振幅 A,逆时针向,M 点在x 轴上投影P点 的运动规律：,4.1.2 简谐振动与旋转矢量,一、旋转矢量,为 在x方向的分量,M,P,x,M,P,x,注意：旋转矢量在第 速度,象限,1,v,0,M,P,x,注意：旋转矢量在第 速度,象限,1,v,0,M,P,x,注意：旋转矢量在第 速度,象限,1,v,0,M,P,x,注意：旋转矢量在第 速度,象限,1,v,0,M,P,x,注意：旋转矢量在第 速度,象限,2,v,0,M,P,x,注意：旋转矢量在第 速度,象限,2,v,0,M,P,x,注意：旋转矢量在第 速度,象限,2,v,0,M,P,x,注意：旋转矢量在第 速度,象限,2,v,0,M,P,x,注意：旋转矢量在第 速度,象限,3,v,0,M,P,x,注意：旋转矢量在第 速度,象限,3,v,0,M,P,x,注意：旋转矢量在第 速度,象限,3,v,0,M,P,x,注意：旋转矢量在第 速度,象限,3,v,0,M,P,x,注意：旋转矢量在第 速度,象限,4,v,0,M,P,x,注意：旋转矢量在第 速度,象限,4,v,0,M,P,x,注意：旋转矢量在第 速度,象限,4,v,0,结论：,特别有：,表示质点的运动状态，即x和v的情况,例：一物体沿x轴作振 幅为 A 的简谐振动，若初始时该球的状态为（1）、x0-A；（2）、在平衡位置向x轴正方向运动；（3）在 x012 A 处向x轴负方向运动；（4）、在,处向正 方向运动。试用旋转矢量法确定相应的相位。,（1）,x,o,x,（2）,解,称振动 2 超前振动 1,若位相差 0,称两振动反相,称两振动同步,振动 1 滞后振动 2,二.相位差,=(2 t+2)-(1 t+1),领先、落后以 的相位角来判断,反相,同相,=2-10,x2比x1超前(或x1比x2落后)，则 x2比x1较早达到正最大。,三.简谐振动的速度、加速度,1.速度,速度也是简谐振动,比x领先/2,2.加速度,也是简谐振动,v 的周相超前 x位相/2，,a 与 x 的周相相反。,速度曲线是x(t)曲线的斜率,加速度曲线是v(t)曲线的斜率,例.两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 x1=A/2 处，且向左运动时，另一个质点2在 x 2=-A/2 处，且向右运动。求这两个质点的相位差。,解：,由牛顿定律：,4.1.3 简谐振动(动力学部分),一.简谐振动的动力学方程,1、动力学方程,当 t=0 时,2、初始条件,得：,振动动力学方程,二.简谐振动的能量(以水平弹簧振子为例),1.简谐振动系统的能量特点,(1)动能,(2)势能,(3)机械能,简谐振动系统机械能守恒,2.由起始能量求振幅,x,t,T,E,Ep,Ek,(1/2)kA2,o,三.简谐振动的动力学解法,例：,(a),(b),k1、k2同时存在,结论：,串联：,并联：,例 一弹簧振子 k=8N/m,m=2kg,x0=3m,v0=8m/s。求：，A，及振动方程,若取,则有,（不合题意）,t=0时,t=1时,本题的另一种求法：,例：质点振动方程为,（SI）,(1)、当 x=？系统势能为总能量的一半？(2)、系统由平衡位置到此位置所需的最短时间？,解：,(1)、,(2)、,例：一只钟摆（单摆），在 g=9.8m/s2处走时准确，移到另一地点，每天快10s，问该地的重力加速度为多大？,解：,方法一、牛顿定律法,例、角振动 单摆,方法二、能量法,取如图位置重力势能为0,例 一落地座钟的钟摆是由长为 l 的轻杆与半径为 r 的匀质圆盘组成，如图所示，如摆动的周期为1s，则 r 与 l 间 的 关系如何?,解：,可得 r 与 l 的关系式：,比较上两式得到：,取静平衡位置为坐标原点,例 垂直悬挂的弹簧下端系一质量为m的小球，弹簧伸长量为b。用手将重物上托使弹簧保持自然长度后放手。求证：放手后小球作简谐振动，并写出振动方程。,kb-mg=0,方法一：牛顿第二定律方法,自然长度,b,平衡位置,x,任意位置时小球所受到的合外力为：,可见小球作谐振动。,mg-kb=0,mg,F,方法二：能量法,自然长度,考虑任意位置,取平衡位置重力势能为0,可见小球作谐振动。,例 水面上浮有一方形木块，在静止时水面以上高度为a,水面以下高度为b。水密度,不计水的阻力。现用外力,木快密度为,为,将木块压入水中，使木快上表面与水面平齐。,求证：木块将作谐振动，并写出谐振动方程。,平衡时：,任意位置木块受到的合外力为：,合外力和位移成正比，方向和位移相反，木块作谐振动。,任意位置,（由牛顿定律）,任意位置,例：一物体放在水平平板上，此板沿水平方向作谐振动，2Hz,物体与板面间的摩擦系数0.50，问：（1）、要使物体在板上不滑动，振幅的最大值是多少？（2）、若使该板作竖直方向的谐振动，A5Cm,使物体与板保持接触的最大频率是多少？,x,f,a,解：（1）、,m,x,a,mg,(2)、据分析可知物体应该在平衡位置上方才能分离（当在下方时，Nmg=ma0,不可能分离）,此时，mg-N=ma N=mg-ma=m(g-a)欲使物体不分离，需当a=amax时，N 0，即当 amax g时，物体m不分离。反之，则分离。,若已知，问物体在何处分离？,例.质量为m的比重计，放在密度为 的液体中。已知比重计圆管的直径为d。试证明，比重计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。,解：,取平衡位置为坐标原点,平衡时：,浮力：,其中V 为比重计的排水体积,一.阻尼振动方程,1.系统受力,弹性力-kx,2.振动方程,阻尼力,4.1.4 阻尼振动*,其中,解得：,方程的解为：,其中3是刚好是使物体做非周期性的运动，这种情况叫做临界阻尼。处于这种状态物体从运动到静止所需的时间是最短的。在灵敏电流计等精密仪表中，为了使人们能较快地进行读数测量，常使电流计偏转系统处于临界阻尼状态下工作。,4.1.5 受迫振动与共振,一.受迫振动 在外来策动力作用下的振动,1.系统受力,弹性力,阻尼力,强迫力的圆频率,力幅,周期性干扰力（强迫力）,-kx,2、动力学方程：,令,得,方程的解为：,在达到稳定态时，系统振动频率等于强迫力的频率。,3.稳态解,x=Acos(t+),4.特点,稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化,(1)频率:等于策动力的频率,(2)振幅:,求A 的极值得：,(3)初相:,二.共振,在一定条件下,振幅出现 极大值,振动剧烈的现象。,1.位移共振,(1)共振频率:,(2)共振振幅:,若 则 r 0 Ar h/(2)称尖锐共振,2.速度共振,一定条件下,速度幅 A极大的现象。,r=0 m r=h/2 v r=0,速度共振时，速度与策动力同相，一周期内策动力总作正功，此时向系统输入的能量最大。,1940年，Tacoma Narrows大桥在通车4个月零6天后因大风引起扭转振动，又因振动频率接近于大桥的共振频率而突然坍塌。,物体同时参与两分振动：,合振动的振幅为：,一、同方向同频率振动的合成,4.1.6 简谐振动的合成,x=A cos(t+),3.两种特殊情况,(1)若两分振动同相 2 1=2k(k=0,1,2,),(2)若两分振动反相 2 1=(2k+1)(k=0,1,2,),如 A1=A2,则 A=0,则A=A1+A2,两分振动相互加强,则A=|A1-A2|,两分振动相互减弱,例：设有N个矢量,模的大小都为a，相邻两个矢量依次构成夹角，求合矢量的大小和方向，并作讨论。,解：,N,二.同方向N个同频率的简谐振动的合成,R,N,二.同方向N个同频率的简谐振动的合成,例：三个同方向同频率的谐振动,试用旋转矢量法求合振动的方程,解：三个对应的旋转矢量如图所示,2.合振动,合振动不是简谐振动,当 2 1时 2-1 2+1,其中,随缓变,随快变,合振动可看作振幅缓变的简谐振动,x=x1+x2,4.1.7 同方向不同频率的简谐振动的合成,1.分振动,x1=Acos 1 t x2=Acos 2t,例：第一音叉和第二音叉（f2=384Hz)的标准音叉同时振动，它们每秒产生三个拍频。当第一个音叉的臂上涂了一层石腊时，拍频减少。试问第一个音叉的频率是多少？,拍频:单位时间内强弱变化的次数,合振动振幅为,4.1.8 垂直方向同频率简谐振动的合成,1.分振动,2.合运动,设：,设：,合振动振幅为,合运动一般是在 2A1(x向)、2A2(y向)范围内的一个椭圆,椭圆的性质(方位、长短轴、左右旋)在 A1、A2确定之后,主要决定于=2-1,四.垂直方向不同频率简谐振动的合成,两分振动频率相差很小,=(2-1)t+(2-1),可看作两频率相等而 2-1随缓慢变化 合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化,轨迹称为李萨如图形,x y=32 2=0,1=/4,两振动的频率成整数比,频率比为整数时相互垂直振动的合成,李萨如图形,1：2,1：3,2：3,4.1.9 谐振分析,一.一个周期性振动可分解为一系列 频率分立的简谐振动,若周期振动的频率为:，角频率,则各分振动的频率为:,2,3,角频率，2，2(基频,二次谐频,三次谐频,),为付里叶变换,为正交基,X(t)的周期为T，则,方波的分解,频 谱,二.一个非周期性振动可分解为无限,阻尼振动曲线,阻尼振动频谱图,多个频率连续变化的简谐振动,