6.3用正交变换化二次型为标准型.ppt
,6.3 用正交变换化二次型为标准形,由,一、问题的引入,利用配方法可得,(1)令,(2)令,或,或,引例,考察方程 所表示的曲线。,一、问题的引入,(3)令,即,其中,引例,考察方程 所表示的曲线。,一、问题的引入,二、正交矩阵,则称 A 为正交矩阵。,此时显然有,则有,故 A 为正交矩阵。,二、正交矩阵,性质,(1)若 A 为正交矩阵，则 也为正交矩阵；,(2)若 A 为正交矩阵，则 或,(3)若 A,B 为正交矩阵，则 A B 也为正交矩阵；,(4)方阵 A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列(行)向量,构成标准正交向量组。,将矩阵 A 按列分块,则,(2)B 不是正交矩阵。,(将 B 的每一列单位化即得到正交矩阵),即 A+I 不可逆。,证,从而有,上式两端取行列式并由 得,三、正交变换,性质,(1)线性变换 为正交变换；,(2)在线性变换 下，向量的内积不变，即,当 时，有,(3)线性变换 把 中的标准正交基变成标准,曲线(曲面)的形状、大小保持不变。,正交基。,(1)(2)：,(2)(3)：,经线性变换 后得向量组,即 C 为正交阵，,若 为正交变换,若在线性变换 下，向量的内积不变,则有,(3)(1)：,由于 和 都是正交阵，,若 把 中的标准正交基变成标准正交基，,经线性变换 后得向量组,从而 为正交变换。,目标,求正交矩阵 P，即,使得,或,要求,(1)矩阵 P 的列必须为 A 的特征向量；,(2)矩阵 P 的列必须为正交向量组；,三、正交变换,四、实对称矩阵与二次型的一些性质,1.实对称矩阵的性质,(1)A 的特征值都是实数；,(2)A 的对应于不同特征值的特征向量必正交；,证明,(1)设 l 是 A 的特征值,又由 有,故,则存在 使得,对上式两端取共轭转置，并利用 得,其中 是 X 的共轭。,从而有,即得,即实对称矩阵 A 的特征值都是实数。,证明,(2)设 是 A 的两个不同的特征值，,分别是,对应于 的特征向量，,则,因此,由 有,即 与 正交。,四、实对称矩阵与二次型的一些性质,1.实对称矩阵的性质,性质1,(1)A 的特征值都是实数；,设 A 为 n 阶实对称矩阵，则有,(2)A 的对应于不同特征值的特征向量必正交；,性质2,设 A 为 n 阶实对称矩阵，则必存在正交矩阵 C，使得,假设性质对于 阶成立，,需证对于 n 阶也成立。,对于 1 阶实对称矩阵，性质显然成立。,则 P 为正交阵，且,(1)设 A 的某特征值 对应的单位特征向量为,将 扩充为 中的标准正交向量组,其中,(2)对于 有,根据归纳法假设，存在 阶正交阵 使得,则 Q 为正交阵，且,则 C 为正交阵，且,令,正交变换,使得,四、实对称矩阵与二次型的一些性质,1.实对称矩阵的性质,2.主轴定理,总存在,(2)求出相应的一组线性无关的特征向量,(3)将 标准正交化注得到,步骤,(4)令,(1)求出二次型对应的矩阵A 的特征值,注,由于实对称矩阵 A 的对应于不同特征值的特征向量必,正交。,故标准正交化只需在每个特征值所对应的特征,向量之间进行。,五、用正交变换化二次型为标准形的方法,得特征值,求解得基础解系为,单位化得单位特征向量,求解得基础解系为,这两个向量已正交，只需单位化即得：,(4)于是可得正交矩阵,使得,由,可得 A 的特征值为,(2)当 时，,得基础解系,直接单位化得,求解方程组,因 已正交，,得基础解系,单位化得,(3)当 时，,求解方程组,(4)于是可得正交矩阵,由,可得 A 的特征值为,(2)当 时，,得基础解系,对其进行标准正交化得,求解方程组,得基础解系,单位化得,(3)当 时，,求解方程组,(4)于是可得正交矩阵,六、在二次曲线中的应用,当 时，,求得单位化的特征向量,当 时，,求得单位化的特征向量,则有,(2)令,即,原方程 化为,即,由此即可画出,(3)如何作图？,原方程所表示,的二次曲线为,1.对称矩阵的性质,本节小结,(1)特征值为实数；,(2)属于不同特征值的特征向量必正交；,(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的,(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵。且对角矩阵,个数相等；,的对角线上的元素即为其特征值；而正交矩阵的列,即为其特征向量。,1.对称矩阵的性质,2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤,(1)求特征值；,(2)求线性无关的特征向量；,(3)将特征向量正交化并单位化；,(4)由所求得的特征向量构成正交矩阵；,由特征值构成对角阵。,本节小结,1.对称矩阵的性质,2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤,用正交变换化二次型为标准型，具有保持几何特性不变,3.评述,的优点。这种方法无论在理论上还是在实际应用中都是化二,次型为标准型的重要方法。但它计算较繁，而且只能适用于,实二次型，使用时有一定的局限性。,如果化二次型为标准型时，所作变换矩阵不只限于正交,矩阵，也可以是一般的可逆矩阵，则可用配方法或者行列变,换法来实现。,本节小结,
