6.2概率论与数理统计.ppt

1.定义：设X1，Xn是取自于总体X的样本称样本X1，Xn 的函数g(X1，Xn)且不含未知参数,则称g(X1，Xn)是总体X的一个统计量.,例：设X1，Xn是取自于总体X 的样本,其中 未知,一、统计量,这里,都是统计量,不是统计量.,而,6.2 统计量及分布,3.样本k阶矩,k阶原点矩,k阶中点矩,2、几个常用的统计量统计量,性质 如果总体X的期望为，方差为2，则,证明(1)、(2)的证明留给读者，下面证明性质(3)。,1、样本均值的分布,则,二.统计量的分布,设X1，Xn是取自于总体X 的样本,特别地:,例1:设X1，Xn 是取自于总体,的样本,是样本均值,试分别求出,和,在区间,上的概率,并且指出,服从什么分布.,二、,样本方差的分布,(1)卡方分布定义 设,相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1),则称,注1 n=1 时,其密度函数为,注2 n=2 时,其密度函数为,为参数为1/2的指数分布.,其中,称为函数，其具有性质,在 0时收敛，,分布的性质,定理2,相互独立；,(3)样本方差的分布,说明:本定理是统计学的核心定理,其证明也是统计学 比较经典的证明.,三.样本均值与样本方差适当比值的分布,则称T 服从自由度为 n 的T 分布,记为T t(n).其密度函数为,1.t分布的定义,t 分布的图形(红色的是标准正态分布),2.t 分布的性质,f n(t)是偶函数,定理3,3.样本均值与样本方差适当比值的分布,设X1，Xn是取自于总体X 的样本,证明,相互独立,并且,所以,由t-分布的定义有:,则,相互独立的简单随机样本.,设,与,分别是来,自正态总体,与,的,与,相互独立,四.两个样本的方差比值的分布,则称 F 服从为第一自由度为n,第二自由度为 m 的F 分布.,其密度函数为:,令,1.F 分布定义及性质,m=4,n=10m=10,n=10m=15,n=10,性质:,若,2.两个样本的方差比值的分布,定理4,相互独立的简单随机样本.,令,则,若,则,的概率不小于90%,则样本容量至少取多少?,解 设样本容量为 n,则,故,即,所以取,例3 设r.v.X 与Y 相互独立，X N(0,16),Y N(0,9),X1,X2,X9 与Y1,Y2,Y16 分别是取自 X 与 Y 的简单随机样本,求统计量,所服从的分布.,解,从而,简单随机样本,是样本均值,则服从自由度为n-1的t 分布的随机变量为,故应选(B),解,