线性代数1-3-分块矩阵、几种特殊方阵的运算.ppt

教学目的：通过本节的教学使学生理解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的性质和计算的方法.认识分块矩阵在矩阵理论中的地位与作用，为今后的学习打良好基础。,教学要求：理解分块矩阵的概念，深刻理解分块矩阵的性质，熟练掌握分块矩阵的计算方法，会用分块矩阵解决各种实际问题。,教学重点：分块矩阵的定义和性质，分块矩阵的计算方法，用分块矩阵的理论化简矩阵的运算。,教学难点：分块矩阵的乘法。,3 分块矩阵及矩阵的分块运算,在理论研究及一些实际问题中，经常遇到阶数很高或结构特殊的矩阵。对于这些矩阵，在运算时常常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。我们将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。,作用：简化高阶矩阵运算 简化运算的表达形式看清结构,一、分块矩阵的概念,例如,即,即,按行分块得分块列矩阵,按列分块得分块行矩阵,二、分块矩阵的运算规则,加法,数乘,乘法,转置,大块小块一起转,说明：,例3.1 设,解,(教材第17页例3.1),则,又,于是,例3.2,其中,其中,三、分块对角矩阵（准对角矩阵）形如其中Ai（i=1，2，s）均为方阵，且其余子块均为零矩阵的分块矩阵，称为分块对角矩阵或准对角矩阵。,设A、B均为分块对角矩阵，且,则有,由此可见，分块对角矩阵对于矩阵的线性运算、乘积以及转置运算均是封闭的。,请牢记以上几个公式!,对角线子块做相应运算,1、掌握分块矩阵的各种分块方法，会用分块矩阵的方法化简矩阵的运算.,2、重点掌握将矩阵按行分块、按列分块和分块对角矩阵的分块方法.,在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本、最重要的计算技巧与方法.,四、小结,3、分块矩阵之间的运算,分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似,第 四节 几种特殊矩阵,4.1 对角矩阵(diagonal matrix)，如下的矩阵称为对角矩阵，,可简记为,设A、B均为n阶对角矩阵，且,则有,由此可见，对角阵的和、差、乘积以及对角阵的数乘结果仍为对角阵。我们把这一特性称为对角矩阵的线性运算和乘法运算的封闭性。,数量矩阵(scalar matrix),也称标量矩阵,记作。,上（下）三角形矩阵的线性运算封闭，且对于n阶上（下）三角矩阵A、B，AB的主对角元恰是A、B相应主对角元的乘积。,（请大家自己证明）,对称阵与反称阵关于矩阵的线性运算封闭，而对矩阵的乘法不具封闭性。,1.,设A、B均为n阶上（下）三角矩阵，试证AB也为n阶上（下）三角矩阵。（书P25第一题）,证明：（不妨证上三角矩阵的情形),设,课堂练习：,则有,所以，n阶上（下）三角阵A、B的乘积也为n阶上（下）三角矩阵。,2.设A为n阶反称矩阵，B为n阶对称阵，则AB+BA是n阶反称矩阵。（P23例4.3）,证明：,解法1：,3.,由此归纳出,用数学归纳法证明,当 时，显然成立.,假设 时成立，则 时，,所以对于任意的 都有,书P14(B)第3题是本题 的情形。,解法2：分解,所以有,而,