太原XX大学线性代数题库及真题.doc

第一章 行列式填空题1. ,该排列是排列。2. ,该排列是排列。3在四阶行列式中，包含的项为，且该对应项的符号为。4设，则。（用表示）5设，则。（用表示）6 设，则，。（用行列式表示）7. 。8. 。9. 若的代数余子式，则代数余子式。10. 已知，则，。11.设，则 ， 。12。13。14. 。15. 。16. 。17. 已知齐次线性方程组有非零解，则 或。线性代数第二章试题一选择题1.设为阶可逆方阵，下式恒正确的是（ B ） 2.设为三阶方阵且，则（ ）-108-12 12 1083.设为四阶矩阵，且，则（ ）2 4 8 124.设为阶非零矩阵，为同阶单位矩阵，若，则。 不可逆，不可逆。 不可逆，可逆。 可逆，可逆。 可逆，不可逆。5若方阵与方阵等价，则（） 存在可逆矩阵，使得P-1AP=B6.设为阶方阵，若，则必有（    ）   7.设为矩阵，若秩，则秩（    ）2   3 4  58. 设矩阵的秩为，则中（ ） 所有阶子式都不为0所有阶子式全为0 至少有一个阶子式不等于0所有阶子式都不为09. 设阶方阵不可逆，则必有（ ） 方程组只有零解10. 设，则关系式（） 的矩阵表示形式是 二填空题1，（为3阶单位矩阵），则_。2.设, 则=_。3已知，且，则=_。4设，为的伴随矩阵，则_。5已知，则_。6. 设，则 。7. 已知，则 。8. 若，则 。9. 设，其中均为可逆方阵，则 。10. 设均为2阶方阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为 。第三章1. 判断下述向量组的线性相关性：（1），是线性 .（2），是线性 .2. 设，则将向量表示成的线性组合，为 .3. 设，则当 时，线性无关.4. 设向量组线性无关，则必满足关系式 5. 已知向量组线性无关，则（1）向量组线性 （2）向量组线性 6. 设维向量线性相关，则向量组的秩 .7. 设线性无关，而线性相关，则向量组 的极大无关组为.8. 已知向量组的秩为2，则 9. 已知向量组线性相关，而向量组线性无关，则向量组的秩为 .10. 矩阵列向量组的一个最大无关组是 ，秩为 .11. 设向量组能由向量组线性表示，则与一定满足 .12. 设是的矩阵，则 .13. 设三阶矩阵，三维向量，若向量与线性相关，则 14. 从的基到基的过渡矩阵为 15. 已知向量与向量正交，则 1. 下列命题正确的是（ ）（A）如果有一组不全为零的数，使，则线性无关（B）如果有一组全为零的数，使，则线性无关（C）若向量组线性相关，则可由线性表示（D）若向量组线性相关，则至少有一个向量是其他向量的线性组合 （E）如果有不全为零的数，使，则线性相关，也线性相关2. 设，则（ ）时，可由线性表示（A）(2，0，0) （B）（-3，0，4） （C）（1，1，0） （D）（0，-1，0）3. 设向量组（1）:与向量组（2）:等价，则( ).(A) 向量组（1）线性相关 （B）向量组（2）线性无关（C）向量组（1）线性无关 （D）向量组（2）线性相关4. 设维向量组线性无关，则( ).（A）向量组中增加一个向量后仍线性无关（B）向量组中去掉一个向量后仍线性无关（C）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关（D）向量组中每个向量任意增加一个分量后仍线性无关5. 设三阶行列式，则( ).（A）中至少有一行向量是其余行向量的线性组合（B）中每一行向量都是其余行向量的线性组合（C）中至少有两行向量线性相关（D）中每一行向量都线性相关.6. 设不能由非零向量线性表示，则( ).(A)线性相关 (B)线性相关(C)与某个线性相关 (D)与任一都线性无关.7. 若向量组线性无关，则向量组线性无关的充分必要条件是（ ）（A）向量组可由向量组线性表示（B）向量组可由向量组线性表示（C）向量组与向量组等价（D）向量组与向量组的秩相等8. 设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）（A）（B）（C）（D）9. 设，则向量组的秩是（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）310. 设A：是一组维向量，且线性相关，则( ). (A)A的秩等于4 (B) A的秩等于 (C) A的秩等于1 (D) A的秩小于等于3.第四章、线性方程组1 设为阶方阵，若，则的基础解系所含向量的个数是（ ）。0个(即不存在) 1个 2个 个 2如果元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩小于，则（ ）。 方程组有无穷多个解 方程组有惟一解 方程组无解 不能断定解的情况3设满足条件：(1) ()，其中是元素的代数余子式；(2) ；(3) ，则方程组，的解是（ ）。 4设为阶奇异方阵，中有一元素的代数余子式，则齐次线性方程组的基础解系所含向量个数为（ ）。个 个 1个 个5要使，都是线性方程组的解，只要系数矩阵为（ ）。 (1 ) 6设为矩阵，且的行向量组线性无关，则（ ）。 的列向量组线性无关 方程组的增广矩阵的行向量组线性无关 方程组的增广矩阵的任意四个列向量构成的向量组线性无关 方程组有惟一解7已知是非齐次线性方程组的两个不同的解，是其导出组的基础解系，是任意常数，则的通解是（ ）。 8要使都是线性方程组的解，只要系数矩阵为（ ）。 (，1，1) 9齐次线性方程组有非零解的充要条件是（ ）。 系数矩阵的任意两个列向量线性相关 系数矩阵的任意两个行向量线性无关 系数矩阵中至少有一个列向量是其余列向量的线性组合 系数矩阵中任一列向量都是其余列向量的线性组合10设元齐次线性方程组中，则有非零解的充分必要条件是（ ）。 11设为阶方阵，且是的三个线性无关的解向量，则的基础解系是（ ）。 12设是矩阵，则方程组有非零解的充要条件是（ ）。 的列向量组线性相关13对非齐次线性方程组及其导出组，（ ）。 若仅有零解，则无解 若有非零解，则有无穷多解 若有无穷多解，则有非零解 若有唯一解，则有非零解14设为阶方阵，且秩，是的两个不同的解向量，则的通解为（ ）。 15齐次线性方程组的系数矩阵记为，若存在三阶矩阵，使得，则（ ）。 且 且 且 且16设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，则有非零解的充分必要条件是（ ）。 17设是矩阵，是非齐次方程组所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）。 若仅有零解，则有惟一解 若有非零解，则有无穷多个解 若有无穷多个解，则仅有零解 若有无穷多个解，则有非零解18若方程，有个不等实根，则必有（ ）。 全为零 不全为零 全不为零 为任意常数 19设为矩阵，则与线性方程组同解的方程组是（ ）。 当时， ，为初等矩阵 秩()=秩()=时，由的前个方程所构成的方程组 ，其中为矩阵，且20设是阶矩阵，是维列向量，若秩=秩()，则线性方程组（ ）。 必有无穷多解 必有惟一解 仅有零解 必有非零解第五章一、 填空1.设三阶方阵A 的的特征值为1，-1，2，则分块矩阵的特征值为 .2. 已知3阶方阵A的特征值为1，-1，2，则矩阵的特征值为 ，行列式= .3.设A,B为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，为B的n个特征值，且存在可逆矩阵P使，则 .4.已知A为三阶实对称矩阵，满足,且，那么A的三个特征值为 . 5.设A为n阶矩阵，为A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵，若A有特征值，则必有特征值 . 6.设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是 .7.矩阵，且A相似于B，则a . 8.n阶单位矩阵的特征向量为 .9.齐次线性方程组 解，都是A的特征向量.10.矩阵的全部特征值之和为 .11. 矩阵的全部特征值之积为 .12.设A是n阶方阵，为A的伴随矩阵，且，则方阵的特征值为 .13.如果x是矩阵A的特征向量，则 是矩阵的特征向量. 14.矩阵可以求特征值的条件是 .15.设是的特征值，则 .16.已知矩阵，且A与B相似，则 .17.设矩阵有三个线性无关的特征向量，则x，y应满足的条件是 .18.设三阶方阵A有3个特征值，如果，则 .19.已知四阶矩阵A相似于B，A的特征值为2，3，4，5，则 ，= ，= ，= . 20.已知三阶不可逆矩阵A的特征值是1和2，矩阵,则 .二、选择1. 设三阶矩阵A的特征值全是0，1，-1，则下列命题不正确的是 .(a) 矩阵是不可逆矩阵 (b) 矩阵和对角矩阵相似 (c) 矩阵A属于1和-1的特征向量正交(d) 方程组的基础解系由一个向量组成2.矩阵的特征根是 . (a) 1，0，1 (b) 1，1，2 (c) -1，1，2 (d) -1，1，13.设三阶矩阵A的特征值全为0，则必有 . (a) (b) (c) (d)条件不足，不能确定 4.设2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵有一特征值等于 .(a) (b) (c) (d) 5.如果n阶矩阵A任意一行的n个元素之和都是a，则A有一个特征向量 .(a)a (b) a (c) 0 (d) a-16.若三阶方阵A相似于 ，则A的特征值为 . 7.n阶方阵A具有n个不同特征值是A与对角阵相似的 . (a)充要条件 (b) 充分而非必要条件 (c) 必要而非充分条件 (d) 既非充分也非必要条件8.设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则 . (a) (b) A与B有相同的特征值与特征向量 (c) A与B都相似于一个对角阵 (d)对任意常数t，与相似9.与n阶单位矩阵E相似的矩阵是 . (a)数量矩阵kE() (b) 对角矩阵A(主对角元素不为一) (c) E (d) 任意n阶可逆矩阵 10.设，且A的特征值为，则A有3个线性无关的特征向量，则x . (a)2 (b) -2 (c) 4 (d) -4 11.设矩阵，A的特征值为1，2，3，则 .(a) (b) (c) (d) 12.设矩阵 ，矩阵A与B相似，则与之和等于 .(a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 513.若矩阵A与B相似，即，则有 .(a) (b) (c) A与B都相似与一个对角阵 (d)对相同的特征值，矩阵A与B有相同的特征向量14.设A是n阶方阵，是A的特征值，是A的分别对应于的特征向量，下列结论正确的是 .(a)若，且也是A的特征值，则对应的特征向量是 (b)若 ，则一定有的对应分量成比例 (c) 若 ，则(d) 若， 则一定不是A的特征向量15.设，则A相似于 .(a) (b) (c) (d) 16.已知三阶矩阵A的特征值是0，则下列结论不正确的是 .(a)矩阵A是不可逆的 (b)矩阵A的主对角元素之和为0 (c) 1和-1所对应的特征向量是正交的 (d) 的基础解系由一个向量组成17.设A为n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵，已知，则矩阵属于特征值的特征向量是 .(a) (b) (c) (d) 18.已知三阶矩阵A与三维列向量X，若向量组线性无关，而,则矩阵A属于特征值的特征向量是 .(a)X (b) (c) (d) 19.已知A为n阶可逆矩阵，若,则下列命题中 正确的命题共有 .(a)4个 (b)3个 (c) 2个 (d)1个20.设A为n阶方阵，则下列结论正确的是 .(a)若A可逆，则A的对应于的特征向量也是A*的对应于特征值的特征向量(b) A的特征向量就是方程组的全部解向量(c) A的特征向量的任一线性组合仍为A的特征向量(d) A与具有相同的特征向量第六章1已知二次型的标准形为则参数 。2设的秩为2，则参数 ，此二次型对应矩阵的特征值为 。3设问（1）当的取值范围为 时，是正定矩阵；（2）当= 时，存在可逆矩阵矩阵，使得（3）当= 时，存在可逆矩阵矩阵，使得（4）当的取值范围为 时，存在可逆矩阵矩阵，使得4二次型经过可逆线性变换可化为标准形 ，正惯性指标 ，符号差 。5设二次型是正定的，则的取值范围 。6二次型的矩阵为 （）（）（）（）7如果是阶正定实矩阵，则一定是 （）实对称矩阵；（）正交矩阵；（）正定矩阵；（）可逆矩阵。8二次型是正定二次型的充要条件是 （）存在维向量，使；（）；（）的正惯性指标为；（）的负惯性指标为0。9如果是阶正定实矩阵，且正定，如果矩阵与相似，则必为 （）实对称矩阵； （）正交矩阵；（）可逆矩阵； （）以上答案都不对。线性代数模拟试卷（一）一. 填空题：（每题3分，共30分）1. 五阶行列式中含有因子 的正项为_.2. 设，且向量组线性无关，则向量组线性_.3. 若n阶矩阵A可逆，则=_.4. 已知矩阵A=，则_.5. 若A满足，则=_.6. 设4阶行列式，则=_.7. 设为三阶方阵，=1，则=_.8. 三阶矩阵A的特征值为1，-2，3，设，则B的全 部特征值为_.9. 已知矩阵相似，则_，_.10. 设则_.二. 设阶矩阵满足条件，（1）证明为可逆矩阵；（2）已知，求矩阵. （12分）三. 计算n阶行列式的值： （6分）四. 求非齐次线性方程组的通解. （15分）五. 已知三阶实对称阵A的特征值为, ,对应的特征向量为，求矩阵. （15分）六. 求下列向量组的秩及一个最大无关组，并将其余向量用这个最大无关组线性表示：（7分）七.求一个正交变换，把二次型化为标准型，并判定是否为正定二次型. （15分）线性代数模拟试卷（二）一、选择题:(每题4分，共20分)1. 阶方阵与对角阵相似的充要条件是 ( ).()是实对称阵; ()有个互异特征值; ()有个线性无关的特征向量; ()的特征向量两两正交.2. 若齐次方程组有无穷多解，则非齐次方程组 ( ). () 必有无穷多解. () 可能有唯一解. () 必无解. 有解时必有无穷多组解.3、若向量组线性无关，向量组线性相关，则( ). () 必可由线性表示; () 必不可由线性表示; () 必可由线性表示; () 必不可由线性表示4、阶方阵满足，是阶单位阵，则 ( ).() ，但; () ，但; ()，且; () ，且.5、向量组()线性无关的充分必要条件是该向量组中( ).() 所有向量非零 () 任意两个向量的对应分量不成比例() 有一个部分组线性无关 () 任意一个向量不能由其余向量线性表示二、填空题: (每题4分，共20分)1.向量组(A): 与向量组(B): 等价，且向量组(A)线性无关，则r与s的大小关系是 . 2. 若, 则x的一次项的系数是 .3. 设矩阵 则= . 4. 如果A是3阶可逆矩阵矩阵，互换A的第一，第二行得矩阵B ,且，则= . 5. 设矩阵，其中都是维列向量，若的行列式，的行列式 则的行列式 . 三、设矩阵，且，求矩阵B. (15分)四、解方程组.(15分)五、用正交变换化二次型 为标准形，给出所用的变换，并指出是否为正定的. (20分)六、设向量组线性相关，向量组线性无关，证明(1) 能由线性表出（5分）； (2) 不能由线性表出（5分）.第一章答案1. 3，奇排列 212，偶排列 3 4 5 6，7. 8. 9. 10, 11. ， 1275 13. 14. 15. 16. 17. 或第二章答案一 选择题1. B 2. D 3. C 4. C 5. A 6. D 7. C 8. C 9.A 10. B二 填空题1. ，2. 3. 4.16 5. 6. 7. 2 8. 9. 10. 第三章答案1.（1） 无关 . （2） 相关 .2. 3. .4. 5.（1） 相关 （2） 无关 6. 2 .7. .8. 3 9. 2 .10. ， 3 .11. .12. 2 .13. -114. 15. -2 二选择题 1. D 2. A B 3. A 4. B D 5. A 6. D 7. D 8. C 9. C 10 D 第四章答案1. C 2.D 3.C 4.C 5.B 6. B 7. B 8.A 9. C 10. B 11.A 12.D 13.C 14.C 15.C 16.B 17.D 18.A 19.B 20.D第5章 特征值与特征向量答案一、填空(1)由知，B的特征值由及的特征值构成，即为2，-2，1， ，-1 (2) -1，-3，0，0 (3) n (4) 因A是实对称矩阵，故,由得，由得,故A的特征值为3，3，0 (5) (6) n，0，0，0 (7) 1 (8) 任何非零n维向量 (9) 非零(10) 0 (11) 0 (12) 5 (13) (14) (15) <n (16) 6 (17) (18) 6 (19) 120，360，4928 (20) 矩阵A不可逆，则必为A的特征值，则B的特征值为3，2，3，所以二、选择(1)C (2) C (3)D (4)B (5)A (6)A (7)B (8) D (9)C (10)B(11)B (12)C (13)B (14)D (15)C (16) C (17)C (18)C (19)B (20)A第六章答案12， 23 ， 0，4，9 3， 0 ，5 ，4 ， 2 ，2 ，56D7D8C9C线性代数期末考试 课程试卷 B 卷一选择题 (每题3分，共18分)1. 阶方阵满足，是阶单位阵，则 ( ).(A) ，但； (B) ，但；(C) ，且； (D) ，且.2. 设矩阵的秩为，则中（ ） (A) 所有阶子式都不为0(B) 所有阶子式全为0 (C)所有阶子式都不为0 (D) 至少有一个阶子式不等于03. 向量组 ()线性无关的充分必要条件是该向量组中 ( )() 任意两个向量的对应分量不成比例 () 任意一个向量不能由其余向量线性表示() 有一个部分组线性无关 () 所有向量非零4. 已知是非齐次线性方程组的两个不同的解，是其导出组的基础解系，是任意常数，则的通解是（ ）. 5 .已知三阶矩阵A的特征值是0，则下列结论不正确的是 . 矩阵A是不可逆的 矩阵A的主对角元素之和为0 的基础解系由一个向量组成 1和-1所对应的特征向量是正交的6. 阶方阵与对角阵相似的充要条件是 ( ).(A) 有个互异特征值 (B) 有个线性无关的特征向量(C) 是实对称阵 (D) 的特征向量两两正交.二、填空题：（每题3分，共18分）1. 已知，则_.2. 已知，则.3. 矩阵，其列向量组的一个极大无关组为（用表示其第列）.4. 已知，且，则=_.5. 已知三阶不可逆矩阵A的特征值是1和2，矩阵, 则.6. 设二次型是正定的，则的取值范围 .三、设矩阵，且，求矩阵. (13分)四、求解行列式的值(10分)五、求非齐次线性方程组的通解，并写出基础解系. （13分）六、已知三阶实对称阵A的特征值为, ,对应的特征向量为，求矩阵.（13分）七、用正交变换化二次型 为标准形，给出所用的变换，并指出是否为正定的. (15分)线性代数考试试卷 A卷一. 填空题：（每题4分，共32分）1若的代数余子式，则代数余子式.2已知，则_.3. 设是的矩阵，则_. 4. 矩阵，且A相似于B，则a_.5. 设二次型是正定的，则的取值范围是_.6.如果A是3阶可逆矩阵矩阵，互换A的第一，第三行得矩阵B ,且，则= . 7. 已知，线性相关，那么= _.8. 三阶矩阵A的特征值为1，-2，3，设 ，则B的全部特征值为_.二选择题（每题3分，共18分） 1. 设为四阶矩阵，且，则( ).（A） 2 （B） 4 （C） 8 （D） 12 2. 设矩阵的秩为，则中( ). （A） 所有阶子式都不为0（B） 所有阶子式全为0 （C）所有阶子式都不为0 （D） 至少有一个阶子式不等于0 3. 设三阶行列式，则( ).（A） D中至少有一行向量是其余行向量的线性组合 （B） D中每一行向量都是其余行向量的线性组合（C） D中至少有两行向量线性相关 （D） D中每一行向量都线性相关.4. 若向量组线性无关，向量组线性相关，则( ).(A) 必可由线性表示 (B) 必不可由线性表示(C) 必可由线性表示 (D) 必不可由线性表示 5. 阶方阵与对角阵相似的充要条件是 ( ). (A) 有个线性无关的特征向量 (B) 有个互异特征值 (C) 是实对称阵 (D) 的特征向量两两正交6. 对非齐次线性方程组及其导出组，有( ).(A) 若仅有零解，则无解 (B) 若有无穷多解，则有非零解(C) 若有非零解，则有无穷多解 (D) 若有唯一解，则有非零解三（本题满分10分）已知向量组的秩等于3，令证明线性无关。四（本题满分14分）求非齐次线性方程组的通解： 五（本题满分12分）设矩阵A=, 矩阵X满足：，求X。 六（本题满分14分）用正交变换化二次型为标准形，并写出所作的正交变换。