勒让德多项式及性质.ppt

第三篇：特殊函数,第二章 勒让德多项式,主要内容：勒让德多项式（轴对称问题）及性质连带勒让德函数（转动对称问题）球函数（一般问题）,在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程,在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程,和球谐函数方程,同样若记,则上述方程也可写为下列形式的,阶勒让德方程,21 勒让德多项式,勒让德方程的求解勒让德多项式勒让德多项式的性质、母函数和递推公式勒让德多项式的应用,一、勒让德方程的解：,我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解,为,式中,上式具有多项式的形式，故称,为,阶勒让德多项式勒让德多项式也称为第一类勒让德函数,二、勒让德多项式,（注意到,1、前几个勒让德多项式:,勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真)得到,2、勒让德多项式的微分表示,上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues）表示式,3、勒让德多项式的积分表示,根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有,容易证明微分表示也可表示为环路积分形式,为,平面上围绕,并取正方向这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式,点的任一闭合回路，,还可以进一步表为下述拉普拉斯积分,22 勒让德多项式的性质,奇偶性：,根据勒让德多项式的定义式，作代换,容易得到,即当,为偶数时，勒让德多项式,为偶函数，,为奇数时,为奇函数,式中记号,而,因此，,一、勒让德多项式的正交关系,两式称为正交性,代入,的微分式得：,模为：,二、勒让德多项式的模：,三、广义傅立叶级数,由前面的分析可以看出，勒让德多项式,为本征函数族，（,可以作为广义傅立叶级数的基。,若函数,定义在区间,上，或,定义在区间,上，则,或,）是正交的、完备的。,其中系数：,或,例题一：以勒让德多项式为基本函数族，将函数,在区间（-1，+1）上进行广义傅立叶展开。,另一解法：,推广：,例题2、以勒让德多项式为基本函数族，将函数,在区间（-1，+1）上进行广义傅立叶展开。,4,四、解方程：要选取对称轴为球坐标的极轴，,例题3、在球,的内部,求解,u=0,使得满足边界条件,解：m=0 通解为：,有限值,通解为,例题4：半径为,的半球，其球面上温度为,，底面绝热，试求这个半球里的稳定温度分布。,选取球心为极点，Z轴为极轴，Z轴为对称轴，,无关。,Z,X,Y,O,对定解问题解析延拓到整个球形区域,x=0上满足第二类边界条件，是关于Z轴对称的。所以边界条件应进行偶延拓。,或,通解为：,对于球的内部：,代入边界条件得：,展开,为广义傅立叶级数。,可以导出：,比较系数得：,例题5、在匀强电场中，放入一均匀介质球（原来不带电），场强为,，球的半径为,，介电常数为,，试求解介质球内外的场强。,解：选取球心为极点，极点，平行于,即：Z轴为对称轴，,由于介质球的极化，球面上产生了束缚电荷。,的直线为Z轴。,无关。,场强,在球面上不连续。,在球面上无意义。所以，球内外电势要通过衔接条件连接。,1、设球内电势为：,，满足：,2、设球外电势为：,，满足：,比较系数得：,3、衔接条件：电势在球面上连续。,电位移矢量,的法向分量在球面上连续,4、解方程：代入衔接条件：,比较系数得：,解出：,其中,与零电势的选取有关。,5、求场强：球内场强：,可以看出，球内场强沿原方向也是匀强电场。只是场强削弱了。,一般情况,球内极化强度：,为常数，所以，球的极化是均匀的。球外场强：,为匀强电场。,五、母函数,1、定义：设在单位球北极放置正电荷,，求球内外任意点,解：,取球心为极点，Z轴为极轴。球内外任一点的电势关于Z轴对称。球内外电势满足：,（无源场）,无关。,的电势。,x,y,z,通解为：,球内电势：,取球内任一点：,则M点的电势为：,，它到电荷的距离为d，,其中：,叫,的母函数。,球外电势：,对于任一点：,母函数：,对于半径为R的球，母函数为：,2、应用,在点正电荷,放置接地的导体球，球的半径为a，球心与电荷相距为,，求解静电场。,的电场中，,解：取球心O为极点，极轴通过点电荷，电势满足：,（无源场）,无关。通解为：,无导体球时：任一点电势为：,由于导体的存在，导体球上产生静电感应电荷，它引起的电势变化为,对于定解问题：,代入边界：,引入母函数：,时,比较系数得：,其中：,按照母函数的定义：,物理意义：,相当于某个点电荷,电场中的静电势。位置在极轴上，距球心的距离为,。因为,所以,即，点电荷在球内。,结论：导体球外的静电场，好像似存在一个点电荷，叫原来那个点电荷的电像。,利用母函数求：,球内：,两边求导得：,同理可得：,六、利用母函数推出勒让德多项式的递推公式。,由母函数的定义：,两边对r求导：,两边乘以：,得：,由母函数的定义：,两边取,项的系数得：,小结：归纳母函数的定义及应用,