电磁学教学资料第4章.ppt

1,第三章 稳恒电流,1、电流 电流密度2、电源 电动势3、复杂电路与基尔霍夫定律,1电流和电流密度2电流的连续性方程 3欧姆定律，焦耳定律4电源和电动势5含源电路的欧姆定律 6基尔霍夫定律,2,静电场中的导体处于静电平衡时，其内部的场强为零，内部没有电荷作定向的宏观运动。,如果把导体接在电源的两极上，则导体内任意两点之间将维持恒定的电势差，在导体内维持一个电场，导体内的电荷在电场力的作用下作宏观的定向运动，形成电流。,3,电流 电流密度,电流的微观机制：导体内自由电子在电场力作用下在原来 不规则的热运动上附加了定向漂移运动.,1800年春，意大利人伏打制成了伏打电池，从而获得持续的电流。有了稳定的电源，就为人类从研究静电现象过渡到研究动电现象提供了坚实的技术基础。,4,二、电流强度与电流密度,单位：,5,电流密度与电荷运动速度的关系,n导体中自由电子的数密度e电子的电量vd假定每个电子的漂移速度在时间间隔dt内，长为dl=vddt、横截面积为S 的圆柱体内的自由电子都要通过横截面积S，所以此圆柱体内的自由电子数为nSvddt，电量为dq=neSvddt通过此导体的电流强度为,电流强度与电子漂移速度的关系,6,电流密度是一个矢量，其方向和该点正电荷运动的方向一致，数值上等于通过该点单位垂直截面的电流强度。电流密度矢量构成的矢量场称之为电流场。,3.电流线：用电流线描述电流场 曲线方向：该点电流密度方向；曲线密度：与该点电流密度的大小成正比。,2.电流密度矢量,定义,电流强度是标量,它只能描述导体中通过某一截面的整体特征.为反映导体中各处电荷定向运动的情况，需引入电流密度概念.,与电荷运动速度的关系,7,三、电流的连续性方程,左侧：单位时间内由S 面流出的电量；右侧：单位时间内S 面的电量减少量。,8,恒定电流的电流线不可能在任何地方中断，它们永远是闭合曲线。,2.电流的恒定条件,利用数学上的高斯定理,9,欧姆定律对金属或电解液成立。对于半导体、气体等不成立，对于一段含源的电路也不成立。,G 电导（S西门子）R=1/G电阻（欧姆）,1、电阻率，欧姆定律,欧姆（Georg Simom Ohm，1787-1854）德国物理学家，在1827年发现了以他名字命名的欧姆定律。电流和电阻这两个术语也是由欧姆提出的。,四 电阻率，欧姆定律,10,2、电阻定律,对于粗细均匀的导体，当导体的材料与温度一定时，导体的电阻与它的长度l 成正比，与它的横截面积S成反比,r：电阻率=1/r：电导率,3、电阻与温度的关系,a 叫作电阻的温度系数，单位为K-1，与导体的材料有关。,电阻率的数量级：纯金属：10-8W.m 合金：10-6W.m半导体：10-510-6W.m绝缘体：1081017W.m,r 小用来作导线r 大用来作电阻丝a 小制造电工仪表和标准电阻a 大金属电阻温度计,11,超导现象的几个概念：有些金属在某些温度下，其电阻会突变为零。这个温度称为超导的转变温度，上述现象称为超导现象。在一定温度下能产生零电阻现象的物质称为超导体。,4、超导现象 超导体最早是由荷兰物理学家昂尼斯于1911年发现的。他利用液态氦的低温条件，测定在低温下电阻随温度的变化关系，观察到汞在4.2K附近时，电阻突然减少到零，变成了超导体。在低温物理作出的杰出贡献，获得1913年诺贝尔物理学奖。,迄今为止，已发现28种金属元素（地球的常态下）以及合金和化合物具有超导电性。还有一些元素只高压下具有超导电性。提高超导临界温度是推广应用的重要关键之一。超导的特性及应用有着广阔的前景。,12,在导体中取一长为dl、横截面积为dS的小圆柱体，圆柱体的轴线与电流流向平行。设小圆柱体两端面上的电势为V和V+dV。根据欧姆定律，通过截面dS的电流为：,欧姆定律的微分形式：通过导体中任一点的电流密度，等于该点的场强与导体的电导率之积,说明:欧姆定律的微分形式 对非稳恒电流也成立.,5、欧姆定律的微分形式,13,例1、一块扇形碳制电极厚为 t，电流从半径为 r1的端面 S1流向半径为 r2的端面 S2，扇形张角为，求：S1 和 S2面之间的电阻。解：,dr 平行于电流方向，dS 垂直于电流方向。,14,1、J法向分量的连续性,导体2,导体1,对恒定电流,对图中的闭合曲面,6、两种导体分界面上的边界条件,15,2、E切向分量的连续性,介质2,介质1,16,导体2,导体1,根据边界条件,由欧姆定律,讨论:,7、电流线在导体界面上的折射,17,五、焦耳楞次定律,在一段纯电阻电路中，电功等于电热。但在非纯电阻电路中（如含有电动机等输出设备）电功和电热两者不相等。,电流通过一段电路时，电场力要对移动电荷做功,电功率则为,18,表明：在导体中某点的热功率密度与该点的电场强度的平方成正比，也与导体的电导率成正比。,热功率密度：纯电阻导体内单位体积内的热功率。,焦耳楞次定律的微分形式,19,欧姆定律的经典解释,金属内自由电子在电场E作用下，会在热运动的同时逆电场E的方向附加一个定向加速度,六、经典金属电子论,金属导体的微观电结构图像（自由电子模型）：金属具有晶格点阵结构；电场力作用下电子的无规热运动附加了定向运动；大量电子不断地与晶格碰撞。,自由电子的定向运动是一段一段加速运动的衔接，各段加速运动都从定向速度为0开始。,20,自由电子同原子实碰撞，只能在连续两次碰撞的时间间隔内得以定向加速，从统计角度考虑，平均定向运动速度为,若导体内自由电子（载流子）密度为n，则,由经典电子论导出的结果只能定性说明金属导电的规律由上式计算出的电导率与实际相差甚远.这些困难需要量子理论来解决。,21,例题2 两同轴铜质圆形套管，长为L，内圆柱的半径a，外圆柱的半径为b，两圆柱间充以电阻率为 的石墨。若以内、外圆柱分别为一个电极，求石墨的电阻。,解：两根铜管分别作为一个等势面，电流 沿着径向由一个圆筒流向另一个圆筒，根据对称性,通过各柱面的I是相等的，故,22,两极间的电势差为,23,电源 电动势,为维持恒定电流，除了静电场外，必须有非静电力，使正电荷逆着电场力的方向运动，从低电势处返回高电势处，同时，用其它形式的能量补偿焦耳热的损失。,24,闭合电路的电流方向和电势的变化,（1）在外电路中,沿电流方向电势降低（2）在内电路中,沿电流方向电势升高,A,B,C,D,I,I,外电路电流由正极流向负极,内电路电流由负极流向正极,25,电 源,+,-,W电0,W非0,化学能转化为电势能,外电路中，电场力是做正功的，电荷的电势能减小。,26,二、电源的电动势,设K表示作用在单位正电荷上的非静电力，其方向在电源内与电场E的方向相反，量纲、单位相同。在有电场E和非电场力K同时存在的电路中（如电源内），应把欧姆定律推广为普遍形式的欧姆定律：,在实际应用中，常用电动势 反映电源中非静电力做功的本领。其定义为将单位正电荷从负极经电源内部到正极时非静电力所做的功，即,就是衡量电源转换能量的能力大小的物理量。,27,利用欧姆定律，得,全电路欧姆定律,在闭合回路中，静电力和非静电力作的功为,而,28,说明：,1、是外电路上总的电势降落，叫路端电压.,2、是内电路上的电势降落，叫内电压.,电动势等于内外电路电势降落之和。,29,闭合电路的十个图象,一、U-I关系图象,短路状态,短路状态,外电压与总电流的关系：,开路状态,内电压,30,二、U-R关系图象,0,U,R,0,短路状态,断路状态,r,31,0,开路状态,短路状态,三、I-R关系图象,I,R,32,0,总,外,内,外,r,P,R,四、P-R关系图象,33,0,总,外,内,五、P-U关系图象,P,U,34,0,总,外,内,六、P-I关系图象,P,I,外,E2/r,E2/4r,35,0,开路状态,短路状态,1,七、效率-R关系图象,效率,R,36,1,0,八、效率-U关系图象,E,U,效率,37,1,0,I,效率,九、效率-I关系图象,38,0,60,50,40,30,1,2,3,4,5,6,120,80,40,十、组合图象,如图所示的图线表示某电池组的输出电压与电流的关系(图线)，图线表示其输出功率与电流的关系(图线)。则下列说法正确的是()A）电池组的电动势为60V。B）电池组的内阻为10欧。C）电流为2.5A时，外电路的电阻为14欧。D）输出功率为80W时，输出电压可能为40V。,U/V,I/A,P/W,20,10,39,作业,40,三、一段含源电路的欧姆定律,如图所示，在一段含源的电路中,将上式从a端经电源到b端线积分，得,R,a,b,c,放电,R,a,b,c,充电,41,积分时注意到，电路 中 与 方向相反，电路中 与 方向相同，而 与 的方向相反，故得,（放电）,（充电）,上式即为一段含源电路的欧姆定律.,此时是电源正、负极间的电势差，称为电源的端电压。,若R=0，则有,42,电源的电动势与端电压的区别:,电动势：非静电力做功，仅取决于电源本身的性质，与外电 路性质及是否接通无关；端电压：从正极到负极时静电力所做的功，与外电路的情况 有关。,一段含源电路的欧姆定律的一般计算式为,符号约定：先任意选取沿电路线积分的方向，写出初末 两端点的电势差,若通过电阻中电流的流向与积分路径的方向相同，该 电阻上电势降取“+”号，相反则取“-”号.,43,若电动势的指向与积分路径的方向相同，该电动势前 取“+”号，相反则取“-”号.,对电源有,44,.,匹配条件:电源向负载输出功率最大的条件.,电源向负载输出的功率为,根据求极值的方法,上式称为匹配条件。应当注意，对于一般化学电源，内阻都很小当满足匹配条件时，总电阻很小，会使电流超过额定值，故一般条件不能在匹配条件下使用化学电源。但在电子技术中的某些电源，其内阻很大，考虑匹配是很重要的。,45,稳恒电路中电荷和静电场的作用,46,2、稳恒电路中静电场的作用,在电流达到稳恒的过程中，这种调节作用不仅表现在导线表面上的电荷分布的变化，还包括非均匀导体内部体电荷分布的变化，以及在两种不同导体交界面上电荷分布的变化。,1)、调节电荷分布的作用,在闭合电路中，静电场作的总功为零。但是，在电源外部以及电源内部不存在非静电力的地方，静电场将正电荷从高电势处送到低电势处，作功为正，使电场能减少；存在非静电力的地方，非静电力把正电荷从低电势处送到高电势处，反抗静电场作功，消耗非静电能，使电场能增加。电路上消耗的能量归根到底是非静电力提供的。,2)、起着能量的中转作用。,3)、静电场与非静电力合在一起保证了电流的闭合性。,47,基尔霍夫（Gustav Robert Kirchhoff）德国物理学家。当他21岁在柯尼斯堡就读期间，就根据欧姆定律总结出网络电路的两个定律（基尔霍夫电路定律），发展了欧姆定律，对电路理论作出了显著成绩。大学毕业后，他又着手把电势概念推广到稳恒电路。长期以来，电势与电压这两个概念常常被混为一谈。基尔霍夫明确区分了这两个概念，同时又指出了它们之间的联系。在光谱研究中，他与本生合作，开拓出一个新的学科领域光谱分析，采用这一新方法，发现了两种新元素铯（1860年）和铷（1861年）。,复杂电路与基尔霍夫定律,48,一、四个基本概念,2、支路：复杂电路中每一分支电路称为支路。特点是支路可由一个或多个元件组成，支路上各处电流相等，即支路上所有元器件都是串联而成的。,1、节点：由三条或三条以上支路汇合的点称为节点。,图示电路中，a、b、c、d点是节点。,49,3、回路：由支路组成的闭合路径称为回路。,图示电路中 1,2、1,3,4,6、1,3,5,6、2,3,4,6、2,3,5,6和4,5都是回路。,4、网孔：将电路画在平面上内部不含有支路的回路，称为网孔。,图示电路中的1,2、2,3,4,6和4,5回路都是网孔。,50,二、基尔霍夫定律,1、基尔霍夫第一定律（节点电流定律）,它可表述为：对于电路的任一节点，流进节点的电流之和等于流出节点的电流之和。,可作如下符号规定：对电路某节点列写方程时，流入该节点的支路电流取正号，流出该节点的支路电流取负号，反之亦可。,对于节点A：,对于节点B：,它是稳恒电流条件 的必然结果。,51,基尔霍夫第一定律的一个重要应用是：根据电路中已知的某些支路电流，求出另外一些支路电流。,注意：（1）n个节点只能列（n-1）个独立的节点电流方程。,（2）列方程时可以先任意假设电流方向,52,2、基尔霍夫第二定律（回路电压定律）,陈述为：对于电路的任一回路，在任一时刻，沿该回路全部支路电压的代数和等于零，数学表达式：,参考分析方向：A B,UAB=UA-UB,规定：沿选定方向（参考方向）电势降落为正，电势升高为负。,设各支路电流方向如图所示,=I1R1+1+I1r1-2-I2r2-I2R2+3-I2r3,沿任一闭合回路中电动势的代数和等于回路中电阻上电势降落的代数和。,53,应用基尔霍夫定律列方程组应注意：,注意方程的独立性及独立方程数目应等于所求末知量数.对于n个节点p条支路的复杂电路，可列出（n-1）个独立节点电流方程和（p-n+1）个独立回路电压方程.（在新选定的回路中，必须至少有一段电路在已选的回路中未曾出现过）。,在给定电路上标定各支路上电流的参考方向.,方程组中各项之前的正负号约定：对于节点方程，流出节点的电流I之前取正号，流入取负号.对回路方程，首先标定回路绕行方向.若电阻中电流方向与绕行方向一致，电位降落，IR之前加正号，反之加负号.若电动势与绕行方向一致，电位升高，之前加正号，反之加负号.,54,两种方法,先设定每个支路电流及方向和取值，再设定每个独立回路绕行方向，然后利用基尔霍夫两个定律写出方程组。共L=m+n-1 个独立方程。其中：m为独立回路数，n为节点数，L为支路数。可解得每个支路电流，如是正值，则与设定方向一致；如是负值，则与设定方向相反。,1、支路电流法：,先设定独立回路的电流及方向，只需用基尔霍夫第二定律，便可解出各回路电流。然后再由所求得的回路电流计算各支路电流，它们将自动满足基尔霍夫第一定律。,2.回路电流法：,55,例：设电路的绕行方向为顺时针。,对ACBA回路：,对ABDA回路：,对ACBDA回路：,只有两个独立方程,基尔霍夫第二定律的一个重要应用是：根据电路中已知的某些支路电压，求出另外一些支路电压。,选独立回路的方法:网眼法,56,基尔霍夫方程组原则上可以解决任何直流电路问题.为避免方程过多，在具体解题过程中可灵活运用，充分运用基尔霍夫笫一方程组，使未知变量数目尽可能少，从而使问题简化.,如下图所示，在设定 之后，对CA支路可不必再设新的变量，直接设它为，这样便将三个未知变量减少到两个.,57,整理后联立求解，得到.由所得结果的正负，判明实际电流的方向。,根据基尔霍夫笫二方程，选择回路ABCDEA和AEDCA，则有,58,稳恒电流和静电场的综合,59,60,61,62,63,64,一般情况：物理上的结论,65,(四)电路的等效变换和计算,一 电阻的串、并联、混联及等效电阻二 电阻的星形与三角形联接及等效变换,66,1 电阻的串、并、混联及等效电阻,由独立电源及线性电阻元件组成的电路称为 线性电阻电路。,一、电阻的串联,二、电阻的并联,67,两个电阻并联,68,三、电阻的混联,求a、b之间的等效电阻R a b,如何求？,如图所示：,方法一：标等电位法,69,重新画图 ab,求得a、b之间的等效电阻Rab为：14,70,作业：,6,3,2,71,解 设ab间接上电压为U的电源.电路中各处的电流如图所示.应用基尔霍夫笫一定律，有,例 五个己知电阻 联接如图，试求a、b间电阻.,方法二：基尔霍夫原理法,72,回路cbdc：,回路acbUa：,由式联立解得,取三个独立回路，由基尔霍夫笫二定律得,回路acda：,73,流过a、b两点的电流为,于是得a、b间的电阻为,式中,74,这就是惠斯通电桥的平衡条件，这时,这个结果表明，平衡电桥的电阻 与桥电阻 无关.这个结论在解决一些电路中有用.,讨论 平衡电桥 a、b间的电路也是惠斯通电桥的 电 路.当 时，电桥达到平衡，这时,75,在 的条件下，下面（a）、（b）、（c）三个电路的a、b间的电阻 都相等.,76,例题六个相同的电阻r联接成如图的电路，试求a、b间的电阻 以及a、c间的电阻.,解图中上边五个r是桥路电阻.根据上题结论，这桥路电阻为r.它与下边的r并联，故 为,因图中的电路构成一个对称的四面体，故由对称性可知,方法三：对称法,77,作业 有如图1所示的由阻值相同的电阻组成的网络，求RAB=？,由对称性简化电路的方法总结,分析相对网络的二端：电阻的几何、大小的分布情况.确定对哪些点可进行、需进行保证电势始终不变（因而总电流总电压保持不变）的操作：断路、短路、拆分.对所得的简单电阻网络计算等效电阻.,78,包含有无限多个网孔的电阻网络称为无限电阻网络.,解答的基本方法：,先假定此网络由有限的（k+1）个网络元构成.,（1）假定后面的k个网络元的等效电阻为Rk（即图中）.再连接上最前端的一个网络元后其电阻变为Rk+1（即图中）.,（2）确定Rk和Rk+1的数量关系：,于是有方程,（4）解方程得RAB.,（3）,如果网络由某种小网络元有规律的连成如下图的二端网络,则常用极限法求等效电阻.,方法四：极限法,79,例 如图1，无限长金属丝细框中每一段金属丝的电阻均为R，求A、B两点间的等效电阻.,解,由于背后金属丝上的各节点电势相等，所以背后的金属丝上无电流通过.可拆除.得如图3的平面网络.,由于图3所示的网络关于AB左右对称，故可将左边部分折叠至右边部分.如图4,80,先计算图4中去掉左边第一个网络元后的规范的无限电阻网络的等效电阻Rxy=?,由图5、图6得,代入上式得,整理为,解方程得,又由图4便得到,81,用叠加原理计算无限网络的等效电阻,叠加原理？,电路中有多个电源,则通过电路中任意支路的电流等于各个电动势单独存在时（所有电阻包括电源内阻分布均不变）在该支路产生的电路的代数和.,应用叠加原理之逆定理计算无限电阻网络的等效电阻,例 如图1所示的平面无限电阻网络，设每一段电阻丝的电阻均为r.求RAB=?,解,(a)如图2，设想在A、B加上恒定电压便有电流I从A流进从B流出.如图2.,图示的各电流的大小关系你能做出哪些判断？,方法五：叠加原理,82,（b）如图3，设想让电流I从A流进后各向均衡地流向无限远.,此时，有,（c）如图4，设想让电流I从无限远各向均衡地流进从B流出.,此时，有,观察各图电流的分布,不难看出：,所以在图2中，,83,在图3、图4中的电源如何连接？,在图5中，RAC=?RAD=?RAE=?,在图3、图4中的电源和图2的电源电动势 的大小关系？,84,上一题电阻网络（图2）的空间分布对称性已被讨厌的“R”破坏了！咋办呢？,例 如图1所示的平面无限电阻网络，A、B间的较粗的电阻丝的阻值为R，其余各段电阻丝的电阻均为r.求RAB=?,解,图2所示的网络可认为是在由图3所示的网络的A、B两点间并联r所构成.,设图3所示网络的A、B二端点的电阻为RAB.,则据例1所得结果，有,由此解出,所以在图1中,85,推导电阻的Y形联接和 形联接的代换公式，以保持两种联接中任意两对应点之间的总电阻都分别相等，试推导之.,当Y形电阻与 形电阻等效时，两种联接中任意两对应点之间的总电阻都分别相等.在Y形联接和 形联接的1-2，1-3，2-3之间的总电阻应相等，故,2 电阻的星形与三角形联结及等效变换,86,87,当 r1=r2=r3=r,R12=R23=R31=R 时：,88,例题：在右图所示网络中已知R=150，求 网络输入电阻.,整个网络输入电阻则为,89,解法二,将原图中a、b、d点间Y形网络变换成 形,整个网络输入电阻则为,