第八章第三节圆的方程.ppt
1.掌握确定圆的几何要素2掌握圆的标准方程与一般方程,1圆的方程(1)圆的标准方程,(2)圆的一般方程,思考探究方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是什么？,提示：充要条件是D2E24F0.,2点与圆的位置关系,1方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的 取值范围是()AaB a0 C2a0 D2a,解析：方程表示圆，则a2(2a)24(2a2a1)0，2a.,答案：D,2已知点A(1，1)，B(1,1)，则以线段AB为直径的圆 的方程是()Ax2y22 Bx2y2 Cx2y21 Dx2y24,解析：圆心坐标为(0,0)，半径r圆的方程为x2y22.,答案：A,3若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的 取值范围是()A11或a1 Da1,解析：点(1,1)在圆内，(1a)2(1a)24，即1a1.,答案：A,4若圆x2y22x4y0的圆心到直线xya0的距 离为，则a的值为 _,解析：将圆的方程化为标准方程：(x1)2(y2)25.故圆心C(1,2)到直线的距离da0或a2.,答案：0或2,5圆心在直线x2上的圆C与y轴交于两点A(0，4)，B(0，2)，则圆C的方程为_,解析：线段AB的垂直平分线方程为y3，故圆心坐标为(2，3)半径r圆C的方程为(x2)2(y3)25.,答案：(x2)2(y3)25,确定圆的方程主要采用待定系数法，依据条件设出圆的方程，建立关于a，b，r或D、E、F的三元方程组解之即可 一般地，求圆的方程时，当条件中给出的是圆上若干点的坐标，较适合用一般式，通过解三元方程组求待定系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式,特别警示在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质：(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任一弦的中垂线上；(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线,求经过点A(2，4)，且与直线l：x3y260相切于点B(8,6)的圆的方程,思路点拨,课堂笔记法一：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0.则圆心C.kCB.由kCBkl1，1.,又有(2)2(4)22D4EF0，82628D6EF0.解可得D11，E3，F30.所求圆的方程为x2y211x3y300.,法二：设圆的圆心为C，则CBl，从而可得CB所在直线的方程为y63(x8)，即3xy180.由A(2，4)，B(8,6)，得AB的中点坐标为(3,1)又kAB 1，AB的垂直平分线的方程为y1(x3)，,即xy40.由联立后，解得即圆心的坐标为.所求圆的半径r所求圆的方程为,求圆心在直线l：x3y260，且过点A(2，4)，和点B(8,6)的圆的方程.,解：法一：AB的中点坐标为(3,1)，kAB1，AB的垂直平分线方程为y1(x3)，即xy40.,由 得，即圆心坐标为(7,11)所求圆的半径为r 5，所求圆的方程为(x7)2(y11)2250.,法二：设所求圆的方程为x2y2DxEyF0.则圆心C()在直线x3y260上，D3E520.又A、B在圆上，202D4EF0，1008D6EF0.由、得D14，E22，F80，所求圆的方程为x2y214x22y800.,研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解，一般地，1形如u 形式的最值问题，可转化为动直线的 斜率的最值问题；2形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线的 截距的最值问题；3形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动 点到定点的距离的最值问题,已知实数x、y满足方程x2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x2y2的最大值和最小值,思路点拨,课堂笔记方程x2y24x10变形为(x2)2y23表示的图形是圆(1)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为2.,(2)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线和圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为 2，所以x2y2的最大值是(2)274；最小值是(2)274.,求轨迹方程的一般步骤为：1建系：设动点坐标为(x，y)；2列出几何等式；3用坐标表示得到方程；4化简方程；5除去不合题意的点，作答,如图所示，已知P(4,0)是圆x2y236内的一点，A、B是圆上两动点，且满足APB90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程,思路点拨,课堂笔记设AB的中点为R，坐标为(x，y)，则在RtABP中，|AR|PR|.又因为R是弦AB的中点，在RtOAR中，依勾股定理，|AR|2|AO|2|OR|236(x2y2)又|AR|PR|，所以有(x4)2y236(x2y2)即x2y24x100.因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动设Q(x，y)，R(x1，y1)因为R是PQ的中点，所以x1，y1.代入方程x2y24x100，得()2()24 100.整理得x2y256.即矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为x2y256,本节从内容上看，主要考查利用待定系数法确定圆的标准方程及一般方程.从形式上看，主要以选择题、填空题出现，属中低档题目.2009年宁夏、海南高考将圆的方程与对称问题结合起来，有一定的综合性.,考题印证(2009海南、宁夏高考)已知圆C1：(x1)2(y1)21，圆C2与圆C1关于直线xy10对称，则圆C2的方程为()A(x2)2(y2)21 B(x2)2(y2)21 C(x2)2(y2)21 D(x2)2(y2)21,【解析】设点(x，y)与圆C1的圆心(1,1)关于直线xy10对称，则，解得，从而可知圆C2的圆心为(2，2)，又知其半径为1，故所求圆C2的方程为(x2)2(y2)21.,【答案】B,自主体验 如果圆x2y23n2至少覆盖函数f(x)sin 的两个最大值点和两个最小值点，则正整数n的最小值为()A1 B2 C3 D4,解析：因为f(x)sin 为奇函数，图象关于原点对称，令，解得f(x)距原点最近的一个最小值点P()，由题意3n2()2()2，得正整数n的最小值为2.,答案：B,1方程y 表示的曲线是()A一条射线 B一个圆 C两条射线 D半个圆,解析：由题意y0，由y 得x2y225，此曲线为一半圆,答案：D,2当a为任意实数时，直线(a1)xya10恒过定 点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为()Ax2y22x4y0 Bx2y22x4y0 Cx2y22x4y0 Dx2y22x4y0,解析：由(a1)xya10得a(x1)(xy1)0，直线恒过定点(1,2)，圆的方程为(x1)2(y2)25，即x2y22x4y0.,答案：C,3如果直线l把圆x2y22x4y0平分，且不通过第四 象限，那么直线l的斜率的取值范围是()A0,1 B0，C0，)D0,2,解析：将圆的方程化为(x1)2(y2)25，圆心C(1,2)则过原点O和点C的直线的斜率为2，画出图形可得，直线l的斜率的取值范围是0,2,答案：D,4圆x2y26x4y0的周长是_,解析：将圆的方程化为标准方程(x3)2(y2)213.r，圆的周长为2.,答案：2,5圆心在x轴上，经过原点，并且与直线y4相切的圆 的标准方程是_,解析：由题意知，圆心坐标是(4,0)，半径为4，圆的方程为(x4)2y216.,答案：(x4)2y216,6已知方程x2y22(m3)x2(14m2)y16m490 表示一个圆(1)求实数m的取值范围；(2)求该圆半径r的取值范围；(3)求圆心C的轨迹方程,解：(1)由4(m3)24(14m2)24(16m49)0得 m1.(2)r0r.,(3)圆心C的坐标为(m3,4m21)，令，消去m，得y4(x3)21.又由(1)知，m1，x4，圆心C的轨迹方程是y4(x3)21(x4),
