特征值特征向量.ppt
定义 1 设A为n阶方阵，X是n维向量，如果存在数l，使方程AX=lX有非零解，则称l为矩阵A的特征值，相应的非零解称为A的属于l的特征向量,方程AX=lX,AX-lX=O,(A-lE)X=O,特征值:使n元齐次方程AX=lX 有非零解的数l0,A的对应于l0的特征向量：,即不论l取何值，方程AX=lX一定有解,43 矩阵的特征值和特征向量,例如：对，取 l=4，代入方程AX=lX,(A-4E)X=O,有非零解,所以，l=4是矩阵A的一个特征值,对，取，得一个基础解系:,则方程(A-4E)X=O的全部解为：,c为任意常数,A的属于l=4 的特征向量：,1、求n阶方阵A的特征值：,数l0是A的特征值,l0使方程AX=lX有非零解,因此：l0是A的特征值,0使 成立,求A的特征值步骤：,(1)计算n阶行列式,解得方程的根l1，l2，ln，,则l1，l2，ln即是A的特征值,设,则方程 即 是的n次方程,在复数域上，方程 一定有 n个根。,定义 2 设A为n阶方阵，为其特征值组，则其特征方程可表示为：,则Ki称为i的代数重数(重数)，而i特征子空间的维数称为几何重数(度数)。,显然：,解：,令，得 l1=-1，l2=7,则A的特征值为l1=-1，l2=7,【例1】求 的特征值,2、求A的属于特征值l的特征向量,设li是A的特征值，则方程AX=liX有非零解.,即方程(A-liE)X=O有非零解，,方程组(A-liE)X=O的全部非零解,A的对应于特征值li的特征向量:,2）求出(A-liE)X=O的一个基础解系V1、V2、Vs,步骤：1）把 l=li代入方程(A-liE)X=O,得一齐次线性方程组(A-liE)X=O,3）A的属于特征值li 的特征向量为：,是不全为零任意常数,【例2】求矩阵 的特征值与特征向量,解：,得 l1=2，l2=l3=1（二重根）,则A的特征值为l1=2，l2=l3=1,把l1=2代入方程(A-lE)X=O，得,(A-2E)X=O,取x3=1得一基础解系:,于是，A的属于l1=2的全部特征向量为：,把l2=l3=1代入方程(A-lE)X=O，得:,(A-E)X=O,于是，A的属于2=1的全部特征向量为：,取x1=1,得一基础解系:,解：,得 1=-2，2=3=7（二重根）,则A的特征值为 1=-2，2=3=7,把l1=-2代入方程(A-lE)X=O，得,(A+2E)X=O,【例3】求矩阵 的特征值与特征向量,于是，A的属于l1=-2的全部特征向量为：,取x21，得一基础解系：,把l2=l3=7代入方程(A-lE)X=O，得,令 分别取,，得基础解系：,于是，A的属于l2=l3=7的全部特征向量为：,定理 1 n阶方阵A的不同特征值对应的特征向量线性无关。,即，若1是属于特征值l1 的特征向量，2是属于特征值2的特征向量，12，则1、2线性无关。,证明：设l1、l2、lm是A的m个不同的特征值，a1、a2、am是分别属于l1、l2、lm 的特征向量，,即i是方程AXiX 的非零解，即有Aiii，且i0。,要证：1,2,m 线性无关，设,在(1)式两边左乘A，得:,在(2)式两边左乘A，得:,做矩阵乘积:,不同特征值对应的特征向量线性无关。,所以：,则：,定理 2 设l是A的特征值，a是A的属于l的特征向量，则:(1)kl是 kA的特征值(k为任意常数)(2)lm 是Am 的特征值(m为正整数)(3)当A可逆时，l0，且l-1是A-1的特征值,因为 a是A的属于l的特征向量，即a是方程AX=lX的非零解，所以有 Aa=la，且a0。,证(1)：kl是 kA的特征值,且a0，所以a是方程kAX=klX的非零解，所以kl是kA的特征值。,要证方程(kA)X=(k)X 有非零解，因为：(kA)a=k(Aa)=k(la)=(kl)a,先证当A可逆时，l0：,反证：若不然，l=0,由Aa=la，得Aa=0,因为A可逆，两边左乘A-1，得=0。矛盾,证（3）当A可逆时，l0，且l-1是A-1的特征值,再证l-1是A-1的特征值：,因为 Aa=la，两边左乘A-1，得：,即a是方程A-1 X=l-1 X的非零解,故l-1是A-1的特征值,【例4】设四阶方阵A满足 求A*的一个特征值。,解：,即A可逆,由,所以l=-3是A的一个特征值,且由,再由定理2的（1）可知：,定理 3 矩阵A与其转置 矩阵A有相同的特征值,证明：,即 A与A有相同的特征多项式,故A与A有相同的特征值,定理 4 设l1、l2、l n是A的n个特征值，则,说明(1)利用本定理结论(1)可检验所求的特征值是否正确。,(2)由结论(2)可得性质：,(1)l1+l2+ln=a11+a22+ann(2)l1l2ln=|A|。,定义 3 若T为可逆矩阵，对矩阵A、B，若：,则称A与B相似。,定理 5 若矩阵A、B相似，则A、B具有相同的本征值。,【例6】设A满足，证明其特征值只能取1或2.,证明：,【例5】设A为n阶正交矩阵，证明A的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1。,证明：因为A为正交矩阵，,左边=,右边=,
