反函数、复合函数的求导法则.ppt

一、反函数的导数,二、复合函数的求导法则,基本初等函数的导数公式小结,三、求导法则小结,2.3 反函数、复合函数的求导法则,上页,下页,结束,返回,首页,一、反函数的导数,如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j(y)0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且,简要证明：,因为y=f(x)连续，所发当Dx0时，Dy0。,下页,例1求(arcsin x)及(arccos x)。,一、反函数的导数,如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j(y)0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且,解：,因为y=arcsin x是x=sin y的反函数，所以,下页,例2求(arctan x)及(arccot x)。,一、反函数的导数,如果函数x=j(y)在某区间Iy内单调、可导且j(y)0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，并且,解：,因为y=arctan x是x=tan y的反函数，所以,下页,(1)(C)=0，(2)(xm)=m xm-1，(3)(sin x)=cos x，(4)(cos x)=-sin x，(5)(tan x)=sec2x，(6)(cot x)=-csc2x，(7)(sec x)=sec x tan x，(8)(csc x)=-csc x cot x，(9)(ax)=ax ln a，(10)(ex)=ex，,基本初等函数的导数公式小结：,，,上页,二、复合函数的求导法则,如果u=j(x)在点x0可导，函数y=f(u)在点u0=j(x0)可导，则复合函数y=fj(x)在点x 0可导，且其导数为,假定u=j(x)在x0的某邻域内不等于常数，则Du0，此时有,简要证明：,=f(u 0)j(x 0)。,下页,二、复合函数的求导法则,如果u=j(x)在点x0可导，函数y=f(u)在点u0=j(x0)可导，则复合函数y=fj(x)在点x 0可导，且其导数为,如果 u=j(x)在开区间 Ix内可导，y=f(u)在开区间 Iu内可导，且当xIx时，对应的uIu，那么复合函数y=fj(x)在区间Ix内可导，且下式成立：,下页,复合函数的求导法则：,解：函数y=lntan x是由y=ln u，u=tan x复合而成，,下页,复合函数的求导法则：,下页,复合函数的求导法则：,下页,复合函数的求导法则：,对复合函数求导法则比较熟练以后，就不必再写出中间变量。,下页,复合函数的求导法则：,下页,复合函数的求导法则：,复合函数求导法则可以推广到多个函数的复合。,下页,复合函数的求导法则：,下页,解：y=(sin nx)sin nx+sin nx(sin nx)=ncos nx sin nx+sin nx n sin n-1x(sin x)=ncos nx sin nx+n sin n-1x cos x=n sin n-1x sin(n+1)x。,复合函数的求导法则：,上页,函数的和、差、积、商的求导法则：(1)(u v)=u v，(2)(Cu)=Cu(C是常数)，(3)(uv)=uv+u v，,复合函数的求导法则：,反函数求导法：,三、求导法则小结,结束,