材料力学第七章-应力和应变分析-强度理论.ppt

王 培 荣,材料力学课堂教学课件,2023年5月27日,教学要求1.了解三向应力状态的应力圆画法，熟练掌握单元体最大剪应力计算方法。2.掌握广义胡克定律及其应用。3.了解关于复杂应力状态下变形比能、形状改变比能和体积改变比能的一些主要结论和公式。,75 三向应力状态,至少有一个主应力及其主方向已知,三向应力状态特例的一般情形,200,50,300,50,*76位移与应变分量,自 学,*77 平面应变分析,当构件内某点处的变形均平行于某一平面时，则称该点处于平面应变状态。,一、任意方位的应变分析,研究正应变,研究剪应变,二、应变圆,应力圆,应变圆,C,R,三、最大应变与主应变,四、通常采用测定一点处沿a、b、c三个方向的线应变的方法，来确定该点处的主应变l、2及其方向。,a、b、c,x、y、xy,1、2,78 广义胡克定律,1 单向应力状态的虎克定律,轴向拉伸或压缩时,或,由于轴向变形还引起横向变形,2 纯剪切应力状态的虎克定律,或,一、广义胡克定律,一般情况下，描述一点处的应力状态需要九个应力分量,在小变形及线弹性范围内，线应变只与正应力有关，而与剪应力无关；剪应变只与剪应力有关，而与正应力无关，满足应用叠加原理的条件。所以，我们利用单向应力状态和纯剪切应力状态的虎克定律，分别求出各应力分量相对应的应变，然后，再进行叠加。,正应力分量在不同方向对应的应变,得出、和 方向的线应变表达式为,根据剪切虎克定律，在、和 三个面内的 剪应变分别为,三、三个弹性常数之间的关系,4 主单元体时的广义虎克定律,当单元体为主单元体时，且使、和 的方向分别与、和 的方向一致。这时,二、体积应变及应力的关系,1体积应变,变形前单元体的体积为,变形后，三个棱边的长度变为,由于是单元体，变形后三个棱边仍互相垂直，所以，变形后的体积为,于是，单元体单位体积的改变,2体积应变与应力的关系,称为体积弹性模量,体积应变只与平均应力有关，或者说只与三个主应力之和有关，而与三个主应力之间的比值无关。体积应变与平均应力成正比，称为体积虎克定律。,是三个主应力的平均值,例题：图示直径为d的圆截面轴，承受力偶矩m的作用。设由实验测得轴表面上与轴线成-45o方向正应变-45o，试求力偶矩m之值。材料的弹性常数E、均为已知。,此题有实际意义，传动轴上所受的外力偶矩m的大小，有时采用实验方法。测得轴上某个方向的正应变，再由应变值计算出外力偶矩大小。,解题思路：寻找已知量-45o和未知量m间的联系。1.本题已知正应变-45o,通过广义胡克定律可将正应变-45o和正应力-45o(45o)联系起来。2.再通过应力状态分析，找到正应力-45o(45o)和横截面上的剪应力的关系。3.而是由外力偶矩引起的，由此即可求出外力偶矩m的大小。,解:,由此得,由圆轴扭转应力公式:,所以,例 边长为10mm的铝质方块，紧密无隙地嵌入一个深度和宽度都是10mm的钢槽中，如图所示。当铝块受到P=60MPa的作用时，设钢块不变形。若铝的弹性模量E=70GPa，v=0.3.求铝块的三个主应力、三个主应变。,解：（1）求主应力及主应变,例 壁厚t=10mm、外径D=60mm的圆筒，在表面上k点与其轴线成45度角和135度角，x、y两方向上分别贴上应变片，然后使其承受外力矩m的作用，发生扭转变形，如图所示。已知圆筒材料的弹性模量为E=200GPa，v=0.3。若该圆筒的变形在弹性范围内，且k点横截面上的剪应力为=80MPa，试求圆筒k点处的线应变 x、y及变形后的筒壁厚度。,解:(1)求 x、y,取单元体如（b）所示。易知k点处于纯剪切状态。对k点进行应力状态分析知，在45度和135度方向上分别作用着3和 1，且,于是由广义胡克定律知：,（2）求变形后的筒壁厚度,由于k点处的径向方向即为z方向，且 z=2=0，所以,薄壁圆筒纯扭转变形时，筒内任一点都处在纯剪切应力状态。用类似方法可推知筒壁中任一点处（该点到圆心的距离为）的径向应变为,因此，该薄壁圆筒变形后的厚度并无变化，仍然为t=10mm.,79 复杂应力状态的应变密度,1、微元应变能(Strain Energy),dy,dx,dz,变形(应变)比能,dW=,2、应变比能(Strain-Energy Density),3、体积改变比能与形状改变比能,+,:Strain-Energy Density Corresponding to the Distortion,:Strain-Energy Density Corresponding to the Change of Volume,作 业,719（a）、（b）726728,例每边长均为10mm的钢质立方体放入一个四周为刚性的立方孔（立方孔的宽度正好是10mm），若立方体的上表面受到均布压力 P=150 MPa。试求列各种情况时钢质立方体中的三个主应力。设钢材的弹性模量E=200GPa,泊松比=0.3。,解：,一、横向变形与泊松比,对于各向同性材料,-泊松比,二、三向应力状态的广义胡克定律叠加法,三、三个弹性常数之间的关系,第六节 复杂应力状态的应变比能,在轴向拉伸或压缩时，根据外力功和应变能在数值上相等的关系，导出比能的计算公式为,本节讨论在已知主应力的复杂应力状态下的比能,在此情况下，弹性体储存的应变能在数值上仍与外力所作的功相等。但在计算复杂应力状态的应变能时，需要注意以下两点。,（1）应变能的大小只决定于外力和变形的最终数值，而与加力次序无关。这是因为若应变能与加力次序有关，那么，按一个储存能量较多的次序加力，而按另一个储存能量较小的次序卸载，完成一个循环后，弹性体内将增加能量，显然，这与能量守恒原理相矛盾。（2）应变能的计算不能采用叠加原理 这是因为应变能与载荷不是线性关系，而是载荷的二次函数。从而不满足叠加原理的应用条件。,一、应变比能,假定应力按：的比例同时从零增加至最终值，在线弹性情况下，每一主应力与相应的主应变仍保持线性关系，因而与每一主应力相应的比能仍可按 计算，于是，复杂应力状态下的比能是,二、体积改变比能和形状改变比能,对于单元体的应变能 也可认为是由以下两部分组成：因体积改变而储存的比能。称作体积改变比能。体积不变，只因形状改变而储存的比能。称作形状改变比能（或歪形能）,对于图所示的应力状态（只发生体积改变），将平均应力 代入公式，得到单元体的体积改变比能为,根据,考虑特殊情况，在单向应力状态下（例如，），单元体的形状改变比能为,