数值分析课件(第4章).ppt

第四章 数值积分和数值微分,内容提要4.1 引言4.2 牛顿-柯特斯公式4.3 复化求积公式4.4 龙贝格求积公式4.5 高斯求积公式4.6 数值微分,4.1 引言一、数值求积的基本思想 对定义在区间a,b上的定积分,但有时原函数不能用初等函数表示，有时原函数又十分复杂，难于求出或计算；另外如被积函数是由测量或数值计算给出的一张数据表示时，上述方法也不能直接运用。因此有必要研究积分的数值计算问题。,积分中值定理告诉我们：,平均高度,梯形公式,平均高度,中矩形公式,平均高度,更一般地，我们构造具有下列形式的求积公式,求积节点,求积系数,这类数值方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿-莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难。,二、代数精度的概念,利用代数精度的概念构造求积公式,三、插值型的求积公式,4.2 牛顿-柯特斯公式一、牛顿-柯特斯公式的导出,柯特斯系数,牛顿-柯特斯公式的代数精度,4.3 复合求积公式 一、问题与基本思想 在使用牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当n8时,牛顿.柯特斯求积系数会出现负数)，因而不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。为了提高精度通常采用将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式(梯形公式或辛普森公式)，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。本节只讨论复化的梯形公式和复化的辛普森公式。,二、复合梯形公式,三、复合辛普森公式,4.4 龙贝格求积公式 一、梯形法的递推化(变步长求积法),于是可以逐次对分形成一个序列T1,T2,T4,T8,此序列收敛于积分真值 I。当|T2n-Tn|时，取T2n为 I 的近似值。以上算法称为变步长求积法。但由于此序列收敛太慢。下节我们将其改造成为收敛快的序列。,二、龙贝格算法如何提高收敛速度以节省计算量是龙贝格算法要讨论的中心问题。,这样我们从收敛较慢的Tn序列推出了收敛较快的Sn序列。可以证明Sn序列实际上就是逐次分半的复化辛普森公式序列。,这样我们从Cn序列又推出了收敛更快的Rn序列.Rn序列也称为龙贝格序列。我们从收敛较慢的Tn序列只用了一些四则运算，便推出了收敛更快的Sn序列,Cn序列和Rn序列。,运算顺序表,这里利用二分3次的数据（它们的精度都很差，只有两三位有效数字）通过三次加速求得R1=0.9460831,这个结果的每一位数字都是有效数字，可见加速效果是十分显著的。,4.5 高斯求积公式 一、一般理论,4.6 数值微分一、中点方法与误差分析 数值微分就是要用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值。由导数定义差商近似导数得到数值微分公式。,二、插值型的求导公式,知识结构图四,数值积分与数值微分,数值积分,基本概念,牛顿-柯特斯公式,复合求积公式,数值微分,中点方法,插值型求导公式,龙贝格求积公式,高斯求积公式,End!,