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    数值分析-第7章非线性方程与方程组的数值解法.ppt

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    数值分析-第7章非线性方程与方程组的数值解法.ppt

    1,第7章 非线性方程与方程组的数值解法,7.1 方程求根与二分法 7.2 不动点迭代法及其收敛性 7.3 迭代收敛的加速方法 7.4 牛顿法 7.5 弦截法与抛物线法 7.6 求根问题的敏感性与多项式的零点7.7 非线性方程组的数值解法,2,7.1 方程求根与二分法,引言,(1.1),本章主要讨论求解单变量非线性方程,其中 也可以是无穷区间.,如果实数 满足,则称 是方程(1.1)的根,或称 是 的零点.,3,若 可分解为,其中 为正整数,且 则称 为方程(1.1)的 重根,或 为 的 重零点,时为单根.,若 是 的 重零点,且 充分光滑,则,如果函数 是多项式函数,即,(1.2),其中 为实数,则称方程(1.1)为 次代数方程.,4,它在整个 轴上有无穷多个解,若 取值范围不同,解也不同,因此讨论非线性方程(1.1)的求解必须强调 的定义域,即 的求解区间,时的求根公式是熟知的,时的求根公式可在数学手册中查到,但比较复杂不适合数值计算,当 时就不能用公式表示方程的根,所以 时求根仍用一般的数值方法,根据代数基本定理可知,次方程在复数域有且只有 个根(含重根,重根为 个根).,另一类是超越方程,例如,5,迭代法要求先给出根 的一个近似,若 且,根据连续函数性质可知 在 内至少有一个实根,这时称 为方程(1.1)的有根区间.,非线性问题一般不存在直接的求解公式,故没有直接方法求解,都要使用迭代法.,通常可通过逐次搜索法求得方程 的有根区间.,6,例1 求方程 的有根区间.,解 根据有根区间定义,对 的根进行搜索计算,结果如下:,由此可知方程的有根区间为,7,检查 与 是否同号,如果同号,说明所求的根 在 的右侧,这时令否则 必在 的左侧,这时令见图7-1.,考察有根区间,取中点 将它分为两半,,二分法,假设中点 不是 的零点,然后进行根的搜索.,图7-1,不管出现哪一种情况,新的有根区间 的长度仅为 的一半.,8,对压缩了的有根区间 又可施行同样的手续,即用中点 将区间 再分为两半,然后通过根的搜索判定所求的根在 的哪一侧,从而又确定一个新的有根区间,其长度是 的一半.,如此反复二分下去,即可得出一系列有根区间,其中每个区间都是前一个区间的一半,因此 的长度,当 时趋于零.,9,就是说,如果二分过程无限地继续下去,这些区间最终必收缩于一点,该点显然就是所求的根.,作为根的近似,则在二分过程中可以获得一个近似根的序列,该序列必以根 为极限.,每次二分后,设取有根区间 的中点,10,由于,只要二分足够多次(即 充分大),便有,这里 为预定的精度.,(1.3),11,例2 求方程,在区间 内的一个实根,要求准确到小数点后第2位.,解 这里,而,取 的中点,将区间二等分,由于,即 与 同号,故所求的根 必在 右侧,这时应令,而得到新的有根区间,如此反复二分下去,按误差估计(1.3)式,欲使,只需,即只要二分6次,便能达到预定的精度.,12,计算结果如表7-2.,13,二分法是计算机上的一种常用算法,计算步骤为:,步骤1 准备 计算 在有根区间 端点处的值,步骤2 二分 计算 在区间中点 处的值,步骤3 判断 若,则 即是根,计算过程结束,否则检验.,若,则以 代替,否则以,代替.,14,此时中点 即为所求近似根.,15,7.2 不动点迭代法及其收敛性,不动点与不动点迭代法,将方程(1.1)改写成等价的形式,(2.1),若 满足,则;反之亦然,称为函数 的一个不动点.,求 的零点就等价于求 的不动点.,选择一个初始近似值,将它代入(2.1)右端,即可求得,16,如此反复迭代计算,(2.2),称为迭代函数.,如果对任何,由(2.2)得到的序列 有极限,则称迭代方程(2.2)收敛,且 为 的不动点,故称(2.2)为不动点迭代法.,17,方程 的求根问题在 平面上就是要确定曲线 与直线 的交点,对于 的某个近似值,在曲线 上可确定一点,它以 为横坐标,而纵坐标则等于,就是说,迭代过程实质上是一个逐步显示化的过程.,过 引平行 轴的直线,设此直线交直线 于点,,然后过 再作平行于 轴的直线,,与曲线 的交点,上述迭代法是一种逐次逼近法,其基本思想是将隐式方程 归结为一组显式的计算公式.,18,则点 的横坐标为,,图7-2,记作,,纵坐标则等于,按图7-2中箭头所示的路径继续做下去.,在曲线 上得到点列,,其横坐标分别为,19,例3 求方程,(2.3),在 附近的根,解 设将方程(2.3)改写成下列形式,依公式 求得的迭代值,如果点列 趋向于点,则相应的迭代值 收敛到所求的根,据此建立迭代公式,20,各步迭代的结果见表7-3.,这时可以认为 实际上已满足方程(2.3),即为所求的根.,如果仅取6位数字,那么结果 与 完全相同,,21,但若采用方程(2.3)的另一种等价形式,建立迭代公式,仍取迭代初值,则有,结果会越来越大,不可能趋于某个极限.,这种不收敛的迭代过程称作是发散的.如图7-3.,一个发散的迭代过程,纵使进行了千百次迭代,其结果也是毫无价值的.,图7-3,22,不动点的存在性与迭代法的收敛性,首先考察 在 上不动点的存在唯一性.,定理1 设 满足以下两个条件:,1.对任意 有,2.存在正常数,使对任意 都有,(2.4),则 在 上存在唯一的不动点,23,因,,以下设 及,,若 或,则不动点为 或,,存在性得证.,定义函数,显然,,由连续函数性质可知存在,且满足,使,即,即为 的不动点.,证明 先证不动点存在性.,24,再证唯一性.,设 都是 的不动点,,引出矛盾.故 的不动点只能是唯一的.,则由(2.4)得,25,(2.5),定理2 设 满足定理1中的两个条件,则对任意,由(2.2)得到的迭代序列 收敛到 的不动点,并有误差估计,证明 设 是 在 上的唯一不动点,由条件,可知,再由(2.4)得,因,故当 时序列 收敛到.,26,再证明估计式(2.5),,由(2.4)有,(2.6),反复递推得,于是对任意正整数 有,27,在上式令,注意到 即得式(2.5).,迭代过程是个极限过程.,在用迭代法实际计算时,必须按精度要求控制迭代次数.,原则上可以用误差估计式(2.5)确定迭代次数,但由于它含有信息 而不便于实际应用.,根据式(2.6),对任意正整数 有,在上式中令 知,28,对定理1和定理2中的条件2,如果且对任意 有,(2.7),则由中值定理可知对 有,表明定理中的条件2可用(2.7)代替.,29,例3中,当 时,,在区间 中,故(2.7)成立.,又因,故定理1中条件1也成立.所以迭代法是收敛的.,而当 时,在区间 中 不满足定理条件.,30,局部收敛性与收敛阶,上面给出了迭代序列 在区间 上的收敛性,,定理的条件有时不易检验,实际应用时通常只在不动点 的邻近考察其收敛性,即局部收敛性.,定义1 设 有不动点,如果存在 的某个邻域 对任意,迭代(2.2)产生的序列 且收敛到,则称迭代法(2.2)局部收敛.,通常称为全局收敛性.,31,证明 由连续函数的性质,存在 的某个邻域 使对于任意 成立,定理3 设 为 的不动点,在 的某个邻域连续,且,则迭代法(2.2)局部收敛.,此外,,对于任意,,总有,,于是依据定理2可以断定迭代过程 对于任意初值 均收敛.,这是因为,32,讨论迭代序列的收敛速度.,例4 用不同方法求方程 的根,解 这里,可改写为各种不同的等价形式 其不动点为 由此构造不同的迭代法:,33,取,对上述4种迭代法,计算三步所得的结果如下表.,34,从计算结果看到迭代法(1)及(2)均不收敛,且它们均不满足定理3中的局部收敛条件.,注意.,迭代法(3)和(4)均满足局部收敛条件,且迭代法(4)比(3)收敛快,因在迭代法(4)中.,35,定义2 设迭代过程 收敛于方程的根,如果迭代误差 当 时成立下列渐近关系式,则称该迭代过程是 阶收敛的.,特别地,时称线性收敛,,时称超线性收敛,,时称平方收敛.,36,定理4 对于迭代过程,如果 在所求根 的邻近连续,并且,则该迭代过程在点 邻近是 阶收敛的.,(2.8),证明 由于,据定理3立即可以断定迭代过程 具有局部收敛性.,再将 在根 处做泰勒展开,利用条件(2.8),,则有,37,注意到,,因此对迭代误差,,当 时有,(2.9),这表明迭代过程 确实为 阶收敛.,由上式得,上述定理说明,迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数 的选取.,如果当 时,则该迭代过程只可能是线性收敛.,38,在例4中,迭代法(3)的,故它只是线性收敛.,而迭代法(4)的,而 由定理4知,该迭代过程为2阶收敛.,39,7.3 迭代收敛的加速方法,埃特金加速收敛方法,设 是根 的某个近似值,用迭代公式迭代一次得,由微分中值定理,有,其中 介于 与 之间.,假定 改变不大,近似地取某个近似值,,(3.1),则有,40,由于,将它与(3.1)式联立,消去未知的,,由此推知,在计算了 及 之后,可用上式右端作为 的新近似,记作.,若将校正值 再迭代一次,又得,有,41,一般情形是由 计算,,(3.2)称为埃特金(Aitken)加速方法.,可以证明,它表明序列 的收敛速度比 的收敛速度快.,(3.2),记,42,斯蒂芬森迭代法,埃特金方法不管原序列 是怎样产生的,对 进行加速计算,得到序列.,如果把埃特金加速技巧与不动点迭代结合,则可得到如下的迭代法:,称为斯蒂芬森(Steffensen)迭代法.,(3.3),43,它的理解为,要求 的根,,已知 的近似值 及,其误差分别为,过 及 两点做线性插值函数.,它与 轴交点就是(3.3)中的,即方程,的解,令,44,实际上(3.3)是将不动点迭代法(2.2)计算两步合并成一步得到的,可将它写成另一种不动点迭代,(3.4),其中,(3.5),45,定理5 若 为(3.5)定义的迭代函数 的不动点,则 为 的不动点.反之,若 为 的不动点,设 存在,则 是 的不动点,且斯蒂芬森迭代法(3.3)是2阶收敛的.,解 例3中已指出,下列迭代,是发散的,现用(3.3)计算,取.,例5 用斯蒂芬森迭代法求解方程,计算结果如下表.,46,至于原来已收敛的迭代法(2.2),由定理5可知它可达到2阶收敛.,计算表明它是收敛的,这说明即使迭代法(2.2)不收敛,用斯蒂芬森迭代法(3.3)仍可能收敛.,47,例6 求方程 在 中的解.,解 由方程得等价形式,取对数得,由此构造迭代法,且当 时,,由于,根据定理2此迭代法是收敛的.,48,若取 迭代16次得,有六位有效数字.,若用(3.3)进行加速,计算结果如下:,这里计算2步(相当于(2.2)迭代4步)结果与 相同,,说明用迭代法(3.3)的收敛速度比迭代法(2.2)快得多.,49,7.4 牛顿法,牛顿法及其收敛性,设已知方程 有近似根(假定),,将函数 在点 展开,有,于是方程 可近似地表示为,(4.1),牛顿法是一种线性化方法,其基本思想是将非线性方程 逐步归结为某种线性方程来求解.,50,这是个线性方程,记其根为,,则 的计算公式为,(4.2),这就是牛顿(Newton)法.,牛顿法的几何解释.,方程 的根 可解释为,曲线 与 轴的交点的横坐标,图7-4,(图7-4).,51,设 是根 的某个近似值,过曲线 上横坐标为 的点 引切线,并将该切线与 轴的交点的横坐标 作为 的新的近似值.,注意到切线方程为,这样求得的值 必满足(4.1),从而就是牛顿公式(4.2)的计算结果.,由于这种几何背景,牛顿法亦称切线法.,由定理4,可以直接得到牛顿法的收敛性,,52,由于,假定 是 的一个单根,即,则由上式知 于是依据定理4可以断定,牛顿法在根 的邻近是平方收敛的.,(4.2)的迭代函数为,又因,53,故由(2.9)可得,(4.3),例7 用牛顿法解方程,(4.4),解 这里牛顿公式为,取迭代初值,迭代结果列于表7-6中.,所给方程(4.4)实际上是方程 的等价形式.,54,牛顿法的计算步骤:,步骤1 准备 选定初始近似值,计算,步骤2 迭代 按公式,迭代一次,,得新的近似值,,若用不动点迭代到同一精度,可见牛顿法的收敛速度是很快的.,要迭代17次.,计算,55,此处 是允许误差,而,其中 是取绝对误差或相对误差的控制常数,,步骤4 修改 如果迭代次数达到预先指定的次数,,步骤3 控制 如果 满足 或,则终止迭代,以 作为所求的根;否则转步骤4.,一般可取,56,或者,则方法失败;,否则以 代替 转步骤2继续迭代.,57,牛顿法应用举例,对于给定的正数,应用牛顿法解二次方程,可导出求开方值 的计算程序,(4.5),这种迭代公式对于任意初值 都是收敛的.,事实上,对(4.5)式施行配方手续,易知,58,以上两式相除得,据此反复递推有,(4.6),记,59,解 取初值,对 按(4.5)式迭代3次便得到精度为 的结果(见表7-8).,对任意,总有,故由上式推知,当时,即迭代过程恒收敛.,例8 求.,整理(4.6)式,得,60,由于公式(4.5)对任意初值 均收敛,并且收敛的速度很快,因此可取确定的初值如 编成通用程序.,61,简化牛顿法与牛顿下山法,牛顿法的优点是收敛快,缺点一是每步迭代要计算 及,计算量较大且有时 计算较困难,,为克服这两个缺点,通常可用下述方法.,(1)简化牛顿法,也称平行弦法.其迭代公式为,(4.7),迭代函数,62,若在根 附近成立,即取,则迭代法(4.7)局部收敛.,在(4.7)中取,则称为简化牛顿法,,这类方法计算量省,但只有线性收敛,,其几何意义是用平行弦与 轴交点作为 的近似.,如图7-5所示.,图7-5,即,63,(2)牛顿下山法.,牛顿法收敛性依赖初值 的选取.,如果 偏离所求根 较远,则牛顿法可能发散.,例如,用牛顿法求方程,(4.8),在 附近的一个根.,设取迭代初值,用牛顿法公式,(4.9),计算得,64,迭代3次得到的结果 有6位有效数字.,但如果改用 作为迭代初值,则依牛顿法公式(4.9)迭代一次得,这个结果反而比 更偏离了所求的根.,为了防止迭代发散,对迭代过程再附加一项要求,即具有单调性:,(4.10),满足这项要求的算法称下山法.,65,将牛顿法与下山法结合起来使用,即在下山法保证函数值稳定下降的前提下,用牛顿法加快收敛速度.,将牛顿法的计算结果,与前一步的近似值 适当加权平均作为新的改进值,(4.11),其中 称为下山因子,,(4.12),(4.12)称为牛顿下山法.,(4.11)即为,66,选择下山因子时从 开始,逐次将 减半进行试算,,若用此法解方程(4.8),当 时由(4.9)求得,直到能使下降条件(4.10)成立为止.,,它不满足条件(4.10).,通过 逐次取半进行试算,当 时可求得,此时有,,显然.,而,由 计算 时,均能使条件(4.10)成立.计算结果如下:,67,即为 的近似.一般情况只要能使条件(4.10)成立,则可得到,从而使 收敛.,68,重根情形,设,整数,则 为方程 的 重根,此时有,只要 仍可用牛顿法(4.2)计算,此时迭代函数,的导数为,且,所以牛顿法求重根只是线性收敛.,69,则.,(4.13),求 重根,则具有2阶收敛,但要知道 的重数.,构造求重根的迭代法,还可令,,若 是 的 重根,则,若取,用迭代法,70,从而可构造迭代法,(4.14),它是二阶收敛的.,故 是 的单根.,对它用牛顿法,其迭代函数为,71,例9 方程 的根 是二重根,用上述三种方法求根.,解,(1)牛顿法,先求出三种方法的迭代公式:,(2)用(4.13)式,(3)用(4.14)式,取初值,计算结果如表7-9.,72,从结果看出,经过三步计算,方法(2)及(3)均达到10位有效数字,而由于牛顿法只有线性收敛,所以要达到同样精度需迭代30次.,73,7.5 弦截法与抛物线法,当函数 比较复杂时,计算 往往较困难,,74,弦截法,(5.1),由于,因此有,(5.2),75,(5.2)可以看做将牛顿公式,中的导数 用差商 取代的结果.,接着讨论几何意义.,曲线 上横坐标为 的点分别记为,,则弦线 的斜率等于差商值,(5.2),76,按(5.2)式求得的 实际上是弦线 与 轴交点的横坐标.,表7-6,这种算法因此而称为弦截法.,其方程为,77,而弦截法(5.2),在求 时要用到前面两步的结果,,弦截法与切线法(牛顿法)都是线性化方法,但两者有本质的区别.,切线法在计算 时只用到前一步的值.,因此使用这种方法必须先给出两个开始值.,例10 用弦截法解方程,解 设取 作为开始值,用弦截法求得的结果见表7-10,,78,实际上,弦截法具有超线性的收敛性.,比较例7牛顿法的计算结果可以看出,弦截法的收敛速度也是相当快的.,定理6 假设 在根 的邻域 内具有二阶连续导数,且对任意 有,又初值 那么当邻域充分小时,弦截法(5.2)将按 阶收敛到根.,这里 是方程 的正根.,79,抛物线法,设已知方程 的三个近似根,,几何上,这种方法的基本思想是用抛物线与 轴的交点 作为所求根 的近似位置(图7-7).,图7-7,这样确定的迭代过程称为抛物线法,亦称密勒(Mller)法.,80,插值多项式,有两个零点:,(5.3),式中,问题是该如何确定.,假定在 三个近似根中,更接近所求的根.,81,为了保证精度,选(5.3)中较接近 的一个值作为新的近似根.,为此,只要取根式前的符号与 的符号相同.,例11 用抛物线法求解方程,解 设用表7-10的前三个值,作为开始值,计算得,82,故,代入(5.3)式求得,以上计算表明,抛物线法比弦截法收敛得更快.,在一定条件下可以证明,对于抛物线法,迭代误差有下列渐近关系式,83,可见抛物线法也是超线性收敛的,其收敛的阶,从(5.3)看到,即使 均为实数,也可以是复数,所以抛物线法适用于求多项式的实根和复根.,收敛速度比弦截法更接近于牛顿法.,84,7.6 求根问题的敏感性与多项式的零点,85,求根问题的敏感性与病态代数方程,方程求根的敏感性与函数求值是相反的,若,则由 求 的病态性与由 求 的病态性相反,光滑函数 在根 附近函数绝对误差与自变量误差之比若,则求根为反问题,即输入 满足若找到一个 使,则解的误差 与 之比为,即 误差将达到,如果 非常小,这个值就非常大,直观的可用图7-8表示.,86,图7-8,87,对多项式方程,若系数有微小扰动其根变化很大,这种根对系数变化的敏感性成为病态的代数方程.,若多项式 的系数有微小变化,可表示为,其中 是一个多项式,次数不大于 的零点表示为,令 为 的零点,即,将(6.2)对 求导,可得,(6.1),(6.2),88,于是当 时有,当 充分小时,利用 在 处的泰勒展开得,它表明系数有微小变化 时引起根变化的情况.,当 很大时代数方程(6.1)就是病态的.,(6.3),(6.4),89,例12 多项式,解 取 的根,由(6.4)可得,实际上,方程 的根 分别为,这说明方程是严重病态的.,90,多项式的零点,很多问题要求多项式的全部零点,即方程(6.1)的全部根,它等价于求,的全部根.,前面讨论的任一种方法都可用于求出一个根,但通常使用牛顿法最好,可利用秦九韶算法计算 及 的值.,(6.5),91,再求 的一个根,,如此反复直到求出全部 个根.,由牛顿法 计算到,则得到.,由于,即,将 的次数降低一阶.,一般地,这里 为二次多项式,在此过程中当 增加时不精确性也增加,为了解决此困难可通过原方程 的牛顿法改进 的结果.,92,由于 可能是复根,因此使用抛物线法对求复根更有利.,若 为复根,记,则 也是一个根,于是 是 的一个二次因子,于是 是 阶多项式,可降低二阶.,即使不是复根,也可通过抛物线法求出两个实根,它比牛顿法更优越.,93,例13 求 的全部零点.,解 先用抛物线法求方程的根,取 计算到 为止.结果见表7-11.,94,求得根为,从而可得,再由 可求得另外两根为,可对原方程,以此两根为初值,用牛顿法迭代一次可得到更精确的根,95,令一种求多项式零点的方法是将其转化为求矩阵的特征值问题.,由于方程(6.5)是矩阵,的特征多项式,利用计算矩阵特征值方法求矩阵 的全部特征值,则可得到方程(6.5)的全部根,MATLAB中的roots函数使用的就是这种方法.,此外还有专门针对求多项式全部零点的专门方法.,96,7.7 非线性方程组的数值解法,97,考虑方程组,(7.1),其中 均为 的多元函数.,用向量记号记,(7.2),(7.1)就可写成,非线性方程组,98,例14 求 平面上两条抛物线 及的交点,这就是方程组(7.1)中 的情形.,解 当 时无解.当 时有唯一解,当 时有两个解.及 当 时有4个解,99,求方程组(7.1)的根可直接将单个方程 的求根方法加以推广,实际上只要把单变量函数 看成向量函数,将方程(7.1)改写为方程组(7.2),就可将前面讨论的求根方法用于求方程组(7.2)的根.,为此设向量函数 定义在区域 若,则称 在 连续,这意味着对任意实数,存在实数,使得对满足 的,有,如果 在 上每点都连续,则称 在域 上连续.,100,向量函数 的导数 称为 的雅可比矩阵,它表示为,(7.3),101,多变量方程的不动点迭代法,为了求解方程组(7.2),可将它改写为便于迭代的形式,(7.4),其中向量函数,且在定义域 上连续,如果,满足,称 为函数 的不动点,也就是方程组(7.2)的一个解.,根据(7.4)构造的迭代法,称为不动点迭代法,称为迭代函数.,(7.5),102,如果由它产生的向量序列 满足,对(7.5)取极限,由 的连续性可得,故 是 的不动点,也就是方程组(7.2)的一个解.,103,类似于 时单个方程有下面的定理.,定理7 函数 定义在区域,假设:,(1)存在闭集 及实数,使,(2)对任意,有.,则 在 有唯一不动点,且对任意,由迭代法(7.5)生成的序列 收敛到,并有误差估计,定理的条件(1)称为 的压缩条件.,(7.6),(7.7),104,若 是压缩的,则它也是连续的.条件(2)表明 把区域 映入自身,此定理也称压缩映射原理.它是迭代法在域 的全局收敛性定理.,类似于单个方程还有以下局部收敛定理.,定理8 设 在定义域内有不动点 的分量函数有连续偏导数且,则存在 的一个邻域,对任意,迭代法(7.5)产生的序列 收敛于,(7.8)中的 是指函数 的雅可比矩阵的谱半径.,(7.8),105,类似于一元方程迭代法也有向量序列 收敛阶的定义,设 收敛于,若存在常数 及,使,则称 为 阶收敛.,(7.9),106,设,不难验证,故有 时.,例15 用不动点迭代法求解方程组,解 将方程组化为(7.4)的形式,其中,107,又对一切,,于是有,即 满足条件(7.6).根据定理7,在域 中存在唯一不动点 内任意点出发的迭代法收敛于.,今取,用迭代法(7.5)可求得,108,由于,对一切 都有,故,从而有,满足定理7的条件.,此外还可看到故,即满足定理8条件.,109,非线性方程组的牛顿迭代法,将单个方程的牛顿法直接用于方程组(7.2)则可得到解非线性方程组的牛顿迭代法,这里 是(7.3)给出的雅可比矩阵的逆矩阵.,求出向量,再令.每步包括了计算向量函数 及矩阵,(7.10),具体计算时记,先解方程组,110,定理9 设 的定义域为 满足 在 的开邻域 上 存在且连续,非奇异,则牛顿法生成的序列 在闭域 上超线性收敛于,若还存在常数,使,则 至少平方收敛.,牛顿法有以下收敛性定理.,111,例16 用牛顿法解例15的方程组,解,选,解线性方程组,即,112,解得,按牛顿迭代法(7.10)计算结果如表7-12.,

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