多元函数微积分学.doc

第六章 多元函数微积分学§6.1空间解析几何习题 6-1.在空间直角坐标系中，指出下列各点所在的卦限: 2.写出坐标面上和坐标轴上的点的坐标的特征，并指出下列各点的位置:3.求点关于各坐标面;各坐标轴;坐标原点的对称点的坐标.4.求以点为球心，且通过坐标原点的球面方程.5.求与原点和的距离之比为1:2的点的全体所构成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？6. 指出下列方程组所表示的曲面；7.指出下列方程组所表示的曲线:； ；.§6.2 多元函数的基本概念习题 6-2.设，求.已知函数，试求.求下列各函数的定义域:; ; ; ;.求下列各极限:; ; ; ;.证明下列极限不存在:; ; .研究下列函数的连续性:; .设，讨论在处的连续性.§6.3 偏 导 数习题6-3.求下列函数的偏导数:; ; ; ; ; ; ;.设，证明.设，求.设，求，.曲线在点处的切线与轴正向所成的倾角是多少？.求下列函数的，和:; ; .设，求，及.设，其中函数可导，证明.设，求及.§6.4 全微分及其应用习题6-4.求下列函数的全微分:; ; ; .求函数在时的全微分.设，求.求函数在时的全增量和全微分.求下列函数在各点的线性化.; .计算的近似值. 计算的近似值.已知边长为与的矩形，如果边增加2，而边减少5，问这个矩形的对角线的近似值怎样变化？.用某种材料做一个开口长方体容器，其外形长5，宽4,高3，厚20，求所需材料的近似值与精确值.由欧姆定律，电流，电压及电阻有关系.若测得，测量的最大绝对误差为，测得，测量的最大绝对误差为.问由此计算所得到的的最大绝对误差和最大相对误差是多少？§6.5 复合函数微分法习题6-5.设，而，求.设，而，求.设，而，求，.设，求，.设，求.求下列函数的一阶偏导数（其中具有一阶连续偏导数）:; ; .设，其中为可导函数，验证.设函数，其中具有二阶连续偏导数，求.设，其中具有二阶连续偏导数，求.求下列函数的，（其中具有二阶连续偏导数）.; .设二次可微，且，试证:.设，其中函数具有二阶连续导数，验证:.§6.6 隐函数微分法习题7-6.已知，求.设,求，.设函数由方程所确定，证明.设，其中可导，求，.设具有连续偏导数，证明由方程所确定的隐函数满足.设，求，.设，求.设，求，.设，求，.设，求，.设，证明:.§6.7 多元函数的极值及其求法习题6-7 .求函数的极值.求函数的极值.求函数的极值.求函数的极值.求由方程确定的函数的极值.欲围一个面积为60的矩形场地，正面所用材料每米造价10元，其余三面每米造价5元，求场地的长、宽各为多少米时，所用材料费最少？.将周长为的矩形绕它的一边旋转构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才能使圆柱体的体积最大？.抛物面被平面截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长与最短距离.某工厂生产两种产品与，出售单价分别为10元与9元，生产单位的产品与生产单位的产品的总费用是（元）.求取得最大利润时两种产品的产量.为了测定刀具的磨损速度，按每隔一小时测量一次刀具厚变的方式，得如下表所示的实测数据顺序编号01234567时间（小时）01234567刀具厚度（毫米）2726.826.526.326.125.725.324.8试根据这组实测数据，建立变量和之间的经验公式.§6.8 二重积分的概念与性质习题6-8.设其中又；试用二重积分几何意义说明与的关系.利用二重积分定义证明： （为区域的面积）；（其中为常数）；（，为两个无公共内点的闭区域） .根据二重积分性质比较下列积分大小： 与，其中积分区域是由轴，轴与直线所围成； 与，其中积分区域是由圆周所围成； 和，其中.利用二重积分的性质估计下列积分的值： ，其中； ，其中； ，其中； ,其中.§6.9 二重积分的计算(一)习题6-9计算下列二重积分： ，其中；,其中区域D由坐标轴以及围成； ,其中D：； 其中D是顶点分别为，和的三角区域.画出积分区域并计算二重积分： ，其中是由围成的闭区域； ,其中是圆周及轴所围成的右半闭区域； ，其中： ,其中:; ,其中是由及所围成的闭区域； ，其中由所围成； ,其中由围成； ,其中由围成； ， 其中由围成的在轴上方的区域.改变下列二次积分的次序： ； ； ； ； ； ；. 4.证明：.5.如果二重积分的被积函数是两个函数及的乘积，即，积分区域，证明此二重积分恰为两个单积分的乘积：. 设在上连续，其中是由直线围成的区域，证明：. 设在上连续，并且，求. 用二重积分表示由曲面所围成的立体体积. 计算由四个平面所围成的柱面被平面及抛物面所截得的立体体积.求由曲面围成的立体体积.§6.10 二重积分的计算（二）习题 6-10把化为极坐标形式的二次积分，其中积分区域为:； ； .化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：； ； ； .化下列积分为极坐标形式并计算积分值： ； ； . 计算下列二重积分： ,其中是由所围成的闭区域； ,其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域； ,其中是由及直线所围成的在第一象限内的闭区域；，其中是由,及轴围成； .选用适当坐标计算下列各题：,其中是由所围成的闭区域； ,其中是由圆周及坐标轴围成的在第一象限的闭区域； ,其中是由直线所围成的闭区域； ，其中是由圆环形闭区域：； ，其中：； ,其中是由所围成的区域.进行适当变量代换，化二重积分为单积分，其中为由曲线所围成的闭区域.做适当变量代换证明等式：，其中闭区域：.总习题六.求函数的定义域.求下列极限:; .试判断极限是否存在.讨论二元函数在点处的连续性.求下列函数的偏导数:; .设，证明：.求函数的全微分.求的全微分.设，求，.设，求及.设，讨论在点处的可微性.设，问在点处，偏导数是否存在？偏导数是否连续？是否可微？说明理由.设，求.设，而，为可导函数，证明.设，其中具有连续的二阶偏导数，求.设，求（，为自然数）.设为由方程所确定的隐函数，求和.设方程确定了函数，求，.设为由方程所确定的函数，求，.设，求.设，求，.求函数的极值.将正数分成三个正数，使最大，其中均为已知数.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为和，销售量分别为和，需求函数分别为和，总成本函数为.试问:厂家如何确定商品在两个市场的售价，才能使获得的总利润最大？最大总利润为多少？.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种产品的广告.根据统计资料，销售收入（万元）与电台广告费用（万元）及报纸广告费用（万元）之间的关系有如下的经验公式:. 在广告费用不限的情况下，求最优广告策略; 若广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略.计算二重积分：，其中是顶点分别为和的梯形闭区域；，其中；其中D是圆周所围成的闭区域；,其中.交换二次积分的次序：；.证明：；把积分表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域.计算二重积分：，其中是由，和所围成的闭区域；，其中是由，和所围成的在轴上方的闭区域；，其中：；,其中是由圆心在点，半径为且与坐标轴相切的圆周的较短一段弧和坐标轴所围成的闭区域.交换二次积分的次序：； ；.32.证明： .33.证明：.证明：.35. 计算 ，其中由围成，是连续函数.