向量组的秩和矩阵的秩.ppt
第四节 向量组的秩和矩阵的秩,一、向量组的秩,定义3.8,设有两个向量组,如果向量组()的每一个向量 都可以由向量组()表出，则称向量组()可由向量组()线性表出(线性表示)；,如果向量组()和()可以相互线性表出，则称向量组()和()等价，记作 或,例1,设向量组,不难看出：,即向量组()可以由向量组()线性表出。,由此又可解出,即向量组()可由向量组()线性表出。,于是向量组()和()等价。,考虑向量组,则向量组()可由向量组()线性表示：,故向量组()不能由向量组()线性表示。,于是向量组()、()不等价。,但向量 不能由 线性表示。,向量组等价具有下述性质：,(1)反身性,任一向量组和它自身等价，即,(2)对称性,如果,则,(3)传递性,如果,则,而,定理3.7,如果向量组 可由向量组 线性表示，并且st，则向量组 线性相关。,推论,如果向量组 线性无关，并且可以由向量组 线性表示，则,二、极大线性无关组和向量组的秩,定义3.9,如果向量组 的一个部分组 满足,(1)线性无关；,(2)向量组中的任意一个向量都可以由 线性表示，,则部分组 称为此 向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组。,(2)任意向量组 中的一个向量 添到部分组 中，则 线性无关。,例2,设向量组,不难看出，部分组 是线性无关的，且 中的任一向量都可以由此部分组线性表示：,所以部分组 是向量组 的一个极大无关组。,例3,设向量组 线性无关，其极大无关组就是自身。,如果一个向量组仅含零向量，则该向量组不存在极大无关组。,定理3.8,任一向量组和它的极大无关组等价。,推论1,向量组 中任意两个极大线性无关组等价。,推论2,两个等价的线性无关的向量组所包含的向量的个数相同。,推论3,向量组 的任意两个极大无关组所包含向量的个数相同。,定义3.10,向量组 的极大无关组中所包含向量的个数，称为次向量组的秩，记作,若一个向量组仅含零向量，规定其秩为零。,例4,对于例2中的向量组 有,例5,则仅含 的向量组必线性无关，其极大无关组就是其本身，所以,设向量,定理3.9,则它们的秩相等。,如果向量组 与向量组 等价，,定理3.10,如果向量组 可由向量组 线性表示，且，则,三、矩阵的秩,定义3.11,在mn矩阵 中任取k行、k列 位于这些行、列交叉处的k2个元素按原来的相应位置构成的一个k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式。,例6,在矩阵 中,若取定A的第1行和第2列，交叉处元素可构成一阶子式,若取定第1行、第2行，再取定第2列、第4列，可构成二阶子式,在例6中，已求得一个二阶子式不等于零。由于A的第三行为零行，所以A的任意三阶子式都等于零，所以r(A)=2.,定义3.12,设，A中不等于零的子式的最高阶数r称为矩阵A的秩，记作(A)=r或r(A)=r，即A中存在一个r阶子式不等于零，而所有r+1阶子式都等于零时，r(A)=r.,对于零矩阵 它的任一子式都等于零。规定r(O)=0.,例7,注意到例6中，矩阵A是一个阶梯形矩阵，A的秩恰等于它的非零行的行数，一般，这一结论也是正确的。,矩阵 的秩有下述性质：,特别地，当r(A)=m时，称A为行满秩矩阵；当r(A)=n时，称A为列满秩矩阵。,当 时，称矩阵 A为满秩矩阵。,定理3.11,矩阵经初等行变换后，其秩不变。,例9,设矩阵,求A的秩。,解,对A施以初等行变换，化为阶梯形矩阵：,由最后一个矩阵，有三阶子阵,而所有四阶子阵都等于0，得r(A)=3.,如果继续对A施以初等列变换，A就可以化为等价标准形,同样得到r(A)=3.,由定理3.11，得,推论,设A为mn矩阵，其中 均为可逆矩阵，,则,定理3.12,设A,B均为mn矩阵，,则矩阵A,B等价充分必要条件是,四、矩阵的秩与向量组的秩的关系,设矩阵 如果A按行分块为,则向量组 的秩称为矩阵A的行秩。,如果A按列分块为，,其中,则列向量组 的秩称为矩阵A的列秩。,定理3.13,矩阵 的秩等于A的秩。,推论,矩阵的行秩和列秩相等，都等于矩阵的秩。,例10,已知向量组,试求向量组 的一个极大无关组，并把其余向量用此极大无关组线性表示。,解,把向量 看作一个矩阵的行向量组，得矩阵,对A仅施以初等行变换，并在矩阵右侧标注所作的变换，把A化为阶梯形矩阵：,由最后的阶梯形矩阵，得r(A)=3。,因此向量组 的秩也是3。,由阶梯形矩阵的最后一行，得,由此可知,于是向量组 可以由向量组 线性表示。,因此,所以,即 就是与原向量的一个极大线性方程组，且,例11,设A,B均为mn矩阵，证明：,证,设矩阵 A,B的列向量组分别为,则,要证,只需证,设向量 的一个极大无关组为,向量组 的一个极大无关组为,向量组 的一个极大无关组为,可由向量组 线性表示；,因此可得,即,例12,证明,证,设矩阵,把矩阵A和C按列分块为,其中 是矩阵A的第j列，是矩阵C的第j列。,所以,则 可以写为,这相当于 的列向量组 可以由A的列向量组 线性表示。,根据定理3.10,可得,同时，由于,利用上面的结果，又有,所以,利用同样的方法，可以证明,
