向量空间的概念基维数.ppt

向量空间的概念、基、维数,4 向量空间,下页,关闭,本节是站在“空间”的高度研究“向量组”，同学们须对“向量空间”的概念有初步认识。,向量空间的定义,例 11 3 维向量的全体 R 3，就是一个向量空间，n 维向量全体 R n，也是一个向量空间。（由定义6易验证）。,定义6,上页,下页,返回,例12,上页,下页,返回,例13,上页,下页,返回,是两个已知的向量，集合,是一个向量空间。,因为若,例14,这个空间称为由,生成的向量空间。,上页,下页,返回,所生成的向量,试证 V1=V2。,例15,一般地，由向量组,空间为,上页,下页,返回,证 设,类似地可证：若,定义7 设有向量空间 V1 及 V2,若,则称V1,是 V2 的子空间。,上页,下页,返回,例如，任何由 n 维向量所组成的向量空间V，总有,所以这样的向量空间总是Rn 的子空间。,如果向量空间V 没有基，那么称V 的维数为0。0维向量空间只有一个零向量 0。,定义14 设V为向量空间，如果 r 个向量组成的向量组A:,个基，r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量空间。,就称为向量空间V 的一,上页,下页,返回,例如，任何 n 个线性无关的 n 维向量都可以作为向量空间 Rn 的一个基。Rn 的维数是n。又如向量空间,的一个基可取为：,由此可知它是 n1 维向量空间。,若把向量空间看着向量组，则按3定理5推论3可知，V 的基就是向量组的一个最大无关组。V 的维数就是向量组的秩。,上页,下页,返回,所生成的向量空间,若向量空间,则V 的维数不会超过 n。,当V 的维数等于 n 时，,上页,下页,返回,例16,设,解,的一个基，只要证,即只要证AE。,上页,下页,返回,施行初等行变换，,的一个基。且当A 变为E 时，,B 变为,若A 能变,上页,下页,返回,上页,下页,返回,的一个基。且,上页,返回,