变系数二阶线性齐次常微.ppt

5.1变系数二阶线性齐次常微 分方程的特殊解法,一.引言 二.线性常微分方程的变换性质 三.常系数化法 四.降阶法,一.引言,1.求解二阶线性常微分方程的重要性 2.困难 3.解决问题的途径,二.线性常微分方程的变换性质,设最一般的二阶变系数线性齐次常微分方程为（5。11）1.方程（5。11）对自变量的任意变换的保线性性 2.方程（5。11）对未知函数的线性变换的保线性性,三.常系数化法,1.通过自变量的变换使方程的系数化为常数 2.通过未知函数的齐次线性变换使方程的系数化为常数,例.将uler型方程,解:将方程化为标准型(.),(a,b为常数)常系数化,例.2.将 阶essel方程(为常数)常系数化.,解:,根据判别式,若,可以经未知函数的线性变换常系数化,只要在(5.1-12)中取,1.dAlembert 降阶法 设已知一个特解（用观察法）y1,用变换y=uy1 可以把原方程化为关于u的一阶线性方程。2.利用算子因式分解降阶,四.降阶法,END,求解二阶线性常微分方程的 重要性,这些方程 是物理学与科学技术最常见的，有直接应用；是解高阶线性常微分方程的基础；是解数学物理方程和学习后继课程的基础。,2.困难,最一般的二阶变系数线性常微分方程非常难解，至今没有一般的方法。,3.解决问题的途径,一阶线性常微分方程总是可解的;降阶法化二阶为一阶.二阶常系数线性常微分方程总是可解的;常系数化法化变系数为常系数.如：著名的Euler方程及其它一些方程。但是，都没有解决哪些方程可以常系数化，用什么变换，怎么找到这个变换，变换成什么样的常系数方程，以便迅速求解。,方程（5。11）对自变量的任意变换的保线性性,方程（5。11）化为,2.方程（5。11）对未知函数 的线性变换的保线性性,若=0，上式化为,1.通过自变量的变换使方程的系 数化为常数,如,2.通过未知函数的齐次线性变换使 方程的系数化为常数,