变号级数的审敛准则.ppt
2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,1,第4章 无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,付氏级数,函数项级数,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,2,第4章 无穷级数,第1节 常数项级数第2节 函数项级数第3节 幂级数第4节 Fourier级数,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,3,第1节 常数项级数,1.1 常数项级数的概念、性质与收敛原理1.2 正项级数的审敛准则1.3 变号级数的审敛准则,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,4,1.3 变号级数的审敛准则,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,5,1 交错级数及其审敛准则,2 绝对收敛与条件收敛,3 Dirichlet and Abel判别法,1.3 变号级数的审敛准则,4 绝对收敛级数的性质,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,6,定义1:正、负项交替出现的级数称为交错级数.,1 交错级数及其敛散性,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,7,证明,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,8,满足收敛的两个条件,定理证毕.,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,9,解,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,10,解,原级数收敛.,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,11,收敛!,存在!,存在!,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,13,？,2 绝对收敛与条件收敛,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,14,证明,注：该定理可由柯西收敛原理证明（见P.273),2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,15,定理1.9的作用：,任意项级数,正项级数,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,16,解,故由定理知原级数绝对收敛.,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,17,解,故由定理知原级数条件收敛.,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,18,例5,以下填写是绝对收敛,还是条件收敛,还是发散,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,19,例7,解,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,20,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,21,3 Dirichlet and Abel判别法,-判别条件收敛的两个方法,(1).Abel变换,(2).Abel引理,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,22,(3).Dirichlet判别法,证明:由Abel引理和Cauchy收敛原理,注意:由Dirichlet判别法可推出Lebuniz判别法,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,23,(4).Abel判别法,证明:由条件(1),由条件(2)有,由Dirichlet判别法,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,24,例9,解,由Dirichlet判别法知所讨论的级数收敛!,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,25,更一般的情形：若数列an具有性质:,都收敛.,例如：,解,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,27,例10 级数,收敛但不绝对收敛.,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,28,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,29,例11,解,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,30,解,是条件收敛,由Abel判别法,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,31,小结:任意项级数敛散性判别法,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,32,(5)绝对收敛级数的性质,1).级数的重排,我们把正整数列1,2,n,到它自身的一一映射,作,称为正整数列的重排,相应地对于数列,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,33,意重排后所得到的级数绝对收敛且和也为S.,定理 设级数 绝对收敛,且其和等于S,则任,注 定理只对绝对收敛级数成立.条件收敛级,数重排后得到的新级数,不一定收敛,即使收,敛,也不一定收敛于原来的和.,事实上，条件收敛的级数经过适当重排后,既可以得到发散级数,也可以收敛于任何给定的数.,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,34,将上述两个级数相加,得到的是上述级数的重排:,例如下面的级数是条件收敛的,设其和为A,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,35,2).级数的乘积,积,即,那么无穷级数之间的乘积是否也有上述性质?,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,36,设有收敛级数,将级数(1)与(2)中每一项所有可能的乘积列成下表：,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,37,可以按各种方法排成不同的级数,常用的有按正方形顺序或按对角线顺序.,上述表中的所有乘积,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,38,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,39,2008年12月25日,南京航空航天大学 理学院 数学系,40,依次相加,于是分别有,和,也绝对收敛,且其和等于AB.,
