《高等数学教学课件》9.1多元函数微分学法及其应用.ppt

第九章 多元函数微分学法及其应用,准备知识：空间解析几何简介,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,一、空间直角坐标,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,空间的点,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,二、空间两点间的距离,特殊地：若两点分别为,曲面方程的定义：,三、空间曲面与曲线,S,方程特点:,（2）圆锥面,（1）球面,（3）椭球面,(3)抛物柱面,(4)椭圆柱面,(2)圆柱面,3、柱面,第九章,第一节,一、区域,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,多元函数的基本概念,一、区域,1.邻域,点集,称为点 P0 的邻域.,例如,在平面上,(圆邻域),在空间中,(球邻域),点 P0 的去心邻域记为,例如，在平面上,开区域,闭区域,二、多元函数的概念,引例:,圆柱体的体积,定量理想气体的压强,定义1.设非空点集,点集 D 称为函数的定义域;,数集,称为函数的值域.,特别地,当 n=2 时,有二元函数,当 n=3 时,有三元函数,映射,称为定义,在 D 上的 n 元函数,记作,例如:(1)二元函数,定义域为,圆域,(3)三元函数,定义域为,单位闭球,0,三、多元函数的极限,定义2.设 n 元函数,则称常数A 为函数,(也称为 n 重极限),当 n=2 时,记,二元函数的极限可写作：,若存在常数 A,记作,都有,对任意正数,总存在正数,例1.设,求：,例2.,若当点,趋于不同值或有的极限不存在，,解:设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.,则可以断定函数极限,则有,k 值不同极限不同!,在(0,0)点极限不存在.,以不同方式趋于,不存在.,例3.讨论函数,函数,四、多元函数的连续性,定义3.设 n 元函数,定义在 D 上,如果函数在 D 上各点处都连续,则称此函数在 D 上,如果存在,否则称为不连续,此时,称为间断点.,则称 n 元函数,连续.,连续,例如,函数,在点(0,0)极限不存在,又如,函数,上间断.,故(0,0)为其间断点.,在圆周,结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.,定理：若 f(P)在有界闭域 D 上连续,则,在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m;,(3)对任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:,解:原式,例4.求,例5.求函数,的连续域.,解:,