《高等数学教学课件》9.4～.ppt

,第四节,一元复合函数,求导法则,本节内容:,一、多元复合函数的求导法则,二、多元复合函数的全微分,微分法则,多元复合函数的求导法则,第九章,一、多元复合函数求导法则,定理.若函数,处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数,证:设 t 取增量t,且有,推广:,1)中间变量多于两个的情形.设,设下面所涉及的函数都可微.,2)中间变量是多元函数的情形.,例如：,又如,当它们都具有可微条件时,有,注意:,这里,口诀:,分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导,与,不同,例1.设,解:,例2.,解:,例3.设,求全导数,解:,注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与,验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握,这方面问题的求导技巧与常用导数符号.,为简便起见,引入记号,例4.设,f 具有二阶连续偏导数,求,解:令,则,二、多元复合函数的全微分,设函数,的全微分为,则复合函数,都可微,这性质叫做全微分形式不变性.,例 6.,解法1:,解法2:,第九章,第五节,一、一个方程所确定的隐函数 及其导数,二、方程组所确定的隐函数组 及其导数(不要求),隐函数的求导方法,所确定的函数为隐函数.,接下来怎么求隐函数的导数,1、一个方程所确定的隐函数及其导数,定理1.设函数,则方程,一个连续函数 y=f(x),并有连续,(隐函数求导公式),具本推导如下：,具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,若隐函数的二阶偏导数也都连续,二阶导数:,则隐函的,例1.验证方程,在点(0,0)某邻域,可确定一个可导隐函数,解:令,连续,由 定理1 可知,导的隐函数,则,在 x=0 的某邻域内方程存在可,且,并求,两边对 x 求导,两边再对 x 求导,令x=0,导数的另一求法,利用隐函数求导,定理2.,若函数,的某邻域内具有连续偏导数,则方程,在点,并有连续偏导数,定一个单值连续函数 z=f(x,y),公式推导如下:,满足,在点,满足:,某一邻域内可唯一确,两边对 x 求偏导,同样可得,则,例3.设,解法1 利用隐函数求导,再对 x 求导,解法2 利用公式,设,则,两边对 x 求偏导,