平面向量的概念及线性运算(IV).ppt

第五单元 平面向量与复数,第一节 平面向量的概念及其线性运算,基础梳理,1.向量的有关概念及其表示法,大小,方向,长度,模,0,1,e,0,相同,相反,平行,相等,相同,ab,ab,共线,相反,相等,a,2.向量的线性运算,三角形,平行四边形,ba,a(bc),三角形,a(b),3.向量共线定理非零向量a与向量b共线的充要条件:存在唯一一个实数,使.,ab,|a|,相同,相反,0,()a,aa,ba(a0),基础达标,1.(必修4P57习题3改编)如图,O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED,OCFB都是正方形，在图中所示的向量中，与向量AE相等的向量是，与向量BF共线的向量是，与向量CF的模相等的向量是.,解析：由向量的相关定义结合正方形的性质可知,2.(必修4P66习题6改编)已知向量a,b,且5(x+a)+3(x-b)=0，则x=.,解析：原式可变形为5x5a3x3b0，8x=-5a+3b，x=,3.一辆汽车向西行驶了10千米，然后改变方向向南行驶了10千米，则该汽车两次位移的和为.,西南方向10 千米,4.(2011如东中学考试)已知ABC，若点M满足AB+AC-3AM=0,则MA+MB+MC=.,0,解析：由已知得,5.已知e1,e2是不共线向量，a=ke1+e2,b=e1+ke2,若ab,则k=.,解析：ab，由向量共线等价条件得：ab(R)，即ke1e2(e1ke2)，(k)e1(1k)e20，又e1，e2不共线，由平面向量基本定理得k1.,1,经典例题,题型一 平面向量的有关概念,【例1】给出下列五个命题:两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;若|a|=|b|,则a=b;在ABCD中,一定有AB=DC;若m=n,n=p,则m=p;若ab,bc,则ac.其中正确的序号是.,分析,在正确理解有关概念的基础上，注意特殊的情况，是解决本题的关键,解：若两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，所以不正确；|a|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等，故不正确；零向量与任一非零向量都平行，当b0时，a与c不一定平行，故不正确正确,【例2】如图,D、E、F分别为ABC的三边BC、AC、AB的中点.求证:AD+BE+CF=0.,题型二 平面向量的线性运算,分析：在三角形中其他向量最好向三条边上的向量靠拢，即用，来分别表示待求的向量,解析：,变式2-1(2011南京师大附中期中考试)在如图所示的平面图形中，已知OA=a,OB=b,点A、B分别是线段CE、ED的中点.试用a,b表示CD.,连结AB，则AB为CDE的中位线 ba，2(ba),解析：,【例3】设两非零向量a和b不共线,如果AB=a+b,CD=3(a-b),BC=2a+8b.求证:A、B、D三点共线.,题型三 向量的共线问题,分析：用向量法证明A、B、D三点共线，可以利用向量共线定理，得到(或 等)，说明直线BD和AB平行或重合；因为有公共点B，所以只能重合，从而由向量共线推出三点共线,解：2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)5(ab)，.由向量共线定理得，又直线AB和BD有公共点B，所以A、B、D三点共线,变式3-1设两个非零向量e1,e2不共线,已知AB=2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD=2e1-e2.若A、B、D三点共线,试求k的值.,解析：2e1e2(e13e2)e14e2.若A、B、D三点共线，则，从而存在唯一实数，使，即2e1ke2(e14e2)，整理得(2)e1(k4)e2，e1、e2不共线，解得A、B、D三点共线时，k8.,链接高考,(2010湖北)已知ABC和点M满足,若存在实数m使得 成立，则m.知识准备：1.要知道点M满足,说明点M为ABC的重心；2.要知道三角形重心的性质，即重心为中线的一个三等分点；3.要知道三角形中线所在向量的性质:若AD为边BC上的中线，则.,由 知，点M为ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则 所以，故m=3.,解,