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    第8讲第2章第5节变换群.ppt

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    第8讲第2章第5节变换群.ppt

    近 世 代 数(Abstract Algebra),主讲教师:蔡 炳 苓,(河北师范大学数学与信息科学学院),第8讲,第5节 变换群,河北师范大学,研究一种代数体系就是要解决这种代数体系的下面三个问题:存在问题 数量问题 结构问题关于数量问题,指的是彼此不同构的代数体系的数量,因为同构的代数体系抽象地看可以认为是相同的代数体系。,对于任意给定的一个群,如果能够找到一个具体的,并且和它同构的群,那么这个群的结构问题就很清楚了。,本讲的凯莱定理将告诉我们,如果将所有变换群都研究清楚了,也就等于把所有群都研究清楚了,无论是否如此简单,但至少从理论上知道凯莱定理的重要性。,变换群是一种有重要意义的群。一方面可以说它是一种具体的群,它的元有明确的具体意义,运算也有具体意义;另一方面,它又代表了一切可能的群,研究所有的群,只要研究清楚全部的变换群即可,但这样做有一定难度。,从历史上来讲,研究群首先是研究对称群,其概 念是抽象代数创始人E.Galois在证明4次以上一元 代数方程不能用根号求解时引进的,而群的真正 抽象化是自弗罗宾纽斯(1849-1917)开始的。,集合的变换,变换:设,是一个非空集合,若,是,就称,是,的一个变换.,到,上的映射,变换集合:由,的全体变换做成的集合记为,,由,的全体一一变换做成的集合记为,例1 设,的全部变换如下,变换乘法:,2.规定代数运算变换乘法,考虑:1.集合,任取T(A)中元,也是A上的一个变换,即属于T(A)。,称为同的乘积,从而得到T(A)上一个代数运算。,作变换群,3.A上恒等变换是T(A)上单位元:,2.变换乘法适合结合律:,?考察T(A)对于变换乘法是否构成群?,1.T(A)对变换的乘法是封闭的;,4.T(A)中每个元是否有逆元?,例1:设A=1,2。则T(A)包含A的4个变换:,?考察S对于变换乘法是否构成群?,非空;封闭;结合律成立;单位元是,因为对于任意,?考察S对于变换乘法是否构成群?,答案是否定的,原因何在?如何解决?但一些变换构成的子集可构成群。下面讨论一些变换构成群的条件。,定理1:假定G是集合A的若干变换所构成的集合,并且G包含恒等变换。若对于变换乘法来说,G构成群,那么G只包含A上的一一变换。,证明:设G是群,恒等变换是其中元素,则一定是其单位元。,令 是G的任意元,由G是群,则它有逆元,下证 是A上的一一变换。,满射 设a是A中任意一个元素,,单射 设a,b是A中元素,若,则,定义1:一个集合A的若干一一变换对于变换乘法作成的一个群叫做A的一个变换群。,证明:封闭性:两个一一变换的乘积是一一变换;结合律成立;恒等变换是一一变换,是单位元。一一变换的逆变换是一一变换,是其逆元。,定理2:一个集合A上的所有一一变换作成一个变换群。称为集合A上的对称群。,例2:设Z是整数集。令,则G是Z的一个变换群,并且和整数加群同构。,证明 封闭性,单位元,逆元,结合律当然成立,例3:平面上绕一点旋转的旋转群,证明 封闭性,单位元,逆元,例4:平面上的平移群,证明 封闭性,单位元,逆元,注:(1)一个集合的变换群一般不是唯一的;,(2)变换群一般不是交换群。,(3)以下的凯莱定理将告诉我们,如果将所有变换群都研究清楚了,也就等于把所有群都研究清楚了。,定理3(凯莱定理),任何群都能同一个变换群同构.,证:设,是任意一个群,,规定,,且易证它是一个一一变换。,(2)令,,则,所以,则它是G的一个变换,构造与G相关的变换群,(1),所以,(3)证明群G与变换群 同构。,规定映射:,#由构作方式可知显然是满射。,#单射,若,则由消去律可知,设,即对任意,#同态,时,其上的对称群即全体置换作成的,群称为n 次对称群,记作,当,定义:,定义:有限集合的一个一一变换称为一个置换.,一个有限集合的若干个置换作成的变换群称为一个置换群.,定义:,特别的,定理4:n次对称群,的阶为,定理5:任何有限群都与一个置换群同构.,

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