向量组线性相关性.ppt
线性表示的定义回顾,4.2 向量组的线性相关性,线性相关的定义1,定义1 设有m个n维向量1，2，m，如果存在一组不全为零的数 使,则称向量组1，2，m线性相关；否则，称向量组线性无关,线性相关两种定义的等价性 向量组a1，a2，am线性相关的充要条件是：向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。,必要性：因为a1，a2，am线性相关，故存在不全为零的数l1，l2，lm，使 l1a1l2a2 lmamo。不妨设l10，于是,即a1为a2，a3，am的线性组合。,充分性：不妨设a1可由其余向量线性表示：a1=l2a2l3a3 lmam，则存在不全为零的数1，l2，l3，lm，使(1)a1+l2a2l3a3 lmam=o，即a1，a2，am线性相关。,证明：,1.含有零向量的向量组一定线性相关。,2.由一个向量构成的向量组线性相关当且仅当该向量为零向量。,3.由两个向量构成的向量组线性相关当且仅当这两个向量的分量 对应成比例。,4.n 维基本单位向量e1，e2，en是线性无关的。,5.几何意义,定义1 设有m个n维向量1，2，m，如果存在一组不全为零的数 使,则称向量组1，2，m线性相关；否则，称向量组线性无关,思考题：给出线性无关的直接定义,证明向量组 线性无关.,证,(1)式成为,(2),(2)式左乘,同理推出,例3,例2,设向量 可由线性无关的向量组,线性表示,证明表法是唯一的.(p99定理3.2.2),证 设有两种表示方法,由 线性无关,所以方程组有非零解。,得方程组,由于,解:设,使,所以 线性相关。,例1 讨论向量组的线性相关性,即存在一组不全为零0的数,易见 向量组a1，a2，am线性相关的充分必要条件是：以x1，x2，xm为未知量的齐次线性方程组 x1a1 x2a2 xm am o有非零解。,而上述方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知量的个数m，即,由此即得：,存在不全为零的数 使,(按定义),(转化为方程组),齐次方程组,(用矩阵的秩),把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性无关，否则如果矩阵的秩小于向量的个数就线性相关。,证明向量组线性相关性的基本方法,（向量方程）,思考题：如向量个数=向量维数，向量组线性相关及线性无关的条件是什么？,答案：线性相关当且仅当其构造的矩阵对应行列式的值为0；,线性无关当且仅当其构造的矩阵对应行列式的值不为0。,例3t取何值时向量组线性无关、线性相关？,1=（3，2，0），2=（5，4，-1）3=（3，1，t）,解 由于,当 2t-30，即t3/2时，1，2，3 线性无关,当 2 t-3=0，即t=3/2时，1，2，3 线性相关,例2、已知,讨论向量组a1，a2，a3及向量组a1，a2的线性相关性,解：,A=（a1，a2，a3）=,R（A）=23，a1，a2，a3线性相关。,R（a1，a2）=2，向量组a1，a2的线性无关。,另解：,例4设向量组a1，a2，a3线性无关，b1a1a2，b2a2a3，b3a3a1。试证向量组b1，b2，b3也线性无关。,证明：（一）考虑 x1b1 x2b2x3 b3 o，,从而b1，b2，b3线性无关。,方程组只有零解，,即 x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)o，,整理得(x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3=o。,因为向量组a1，a2，a3线性无关，所以必有,例4设向量组a1，a2，a3线性无关，b1a1a2，b2a2a3，b3a3a1。试证向量组b1，b2，b3也线性无关。,证明：（三）,从而R（B）=R（A），,而向量组a1，a2，a3线性无关，,所以R（A）=3,R（B）=3可知向量组b1，b2，b3也线性无关。,例4设向量组a1，a2，a3线性无关，b1a1a2，b2a2a3，b3a3a1。试证向量组b1，b2，b3也线性无关。,证明：（二）,只有,即只有,所以向量组b1，b2，b3也线性无关。,例4设向量组a1，a2，a3线性无关，b1a1a2，b2a2a3，b3a3a1。试证向量组b1，b2，b3也线性无关。,证明：（四）,从而，,即向量组a1，a2，a3与向量组b1，b2，b3等价。,从而R（B）=R（A）=3，,所以向量组b1，b2，b3也线性无关。,(参见P.99101),(1)“部分相关,则整体相关.等价地”,观察知 相关,从而 相关.,相关.,书P.98例2,(2)“个数大于维数必相关”,A 的列组是 4 个 3 维向量,必相关.,P.101推论1,如：,(3)“短的无关,则长的也无关.等价地”,是无关的.,也是无关的.,P.101推论3,再如：,(4)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）,P.101推论2,由它构成的n阶矩阵的行列式,t 取何值时,下列向量组线性相关?,解,记,当 t=5 时,上面向量组线性相关.,例4,则 可由 A 唯一表示.,这由,有唯一解.,为以后引用方便,给它起个名子叫唯一表示定理.,P.99 定理,写成矩阵乘积:,从而,(6)向量 组 B 可由向量组 A 表示,则,(后者的 A,B是矩阵),存在矩阵 C 使得 B=AC,为以后引用方便,给它起个名子叫表示不等式.,也体现在P.108 性质3,(7)如果一个向量组能由向量个数比它少的向量组表示,则必相关（Steinitz定理）.,表示,又 mn,由表示不等式,从而 B 必相关.,P.107 引理1,练习题,一填空题在一向量组，n中，如果有 部分向量组线性相关，则向量组必（）,二、多选题：下列命题中正确的有（）非零向量组成的向量组一定线性无关 含零向量的向量组一定线性相关 由一个零向量组成的向量组一定线性无关 由零向量组成的向量组一定线性相关 线性相关的向量组一定含有零向量。,三、分析判断题：若不能被，r线性表出，则向量，r线性无关。（）,四、证明题：设可由，r线性表示，但不能由，r线性表示，证明r可由，r，线性表示,例题7,作业：P108：7，8,
