信号与系统郑君里版第二章.ppt

第二章 连续系统的时域分析,2.1 LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解 微分方程的经典解：y(t)(完全解)=yh(t)(齐次解)+yp(t)(特解）齐次解是齐次微分方程yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。特解的函数形式与激励函数的形式有关。,齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。,全响应齐次解(自由响应)特解(强迫响应)齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有频率）。根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。一般形式（无重根）：特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法确定。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。用初始值确定积分常数。一般情况下，n 阶方程有n 个常数，可用个 n 初始值确定。,为特征根,例2.1.1描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)，求（1）当f(t)=2，t0；y(0)=2，y(0)=-1时的全解；（2）当f(t)=，t0；y(0)=1，y(0)=0时的全解。,解:(1)特征方程为+5+6=0 其特征根1=2，2=3。齐次解为,由表2-2可知，当f(t)=2 时，其特解可设为,将其代入微分方程得解得 P=1于是特解为全解为：,其中待定常数C1,C2由初始条件确定。y(0)=C1+C2+1=2，y(0)=2C1 3C2 1=1解得 C1=3，C2=2最后得全解,（2）齐次解同上。当激励f(t)=时，其指数与特征根之一相重。由表知：其特解为 yp(t)=(P1t+P0)代入微分方程可得 P1=,所以 P1=1 但P0不能求得。全解为,将初始条件代入，得：y(0)=(C1+P0)+C2=1，y(0)=2(C1+P0)3C2+1=0解得 C1+P0=2 C2=1 最后得微分方程的全解为 上式第一项的系数C1+P0=2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。,二、关于 0-和 0+初始值 1、0 状态和 0 状态0 状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储能产生的；0 状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。从 0 状态到 0 状态的跃变当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0 状态到 0 状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t)及其各阶导数。,如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0状态到0状态发生了跳变。0 状态的确定已知 0 状态求 0 状态的值，可用冲激函数匹配法。求 0 状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。,各种响应用初始值确定积分常数 在经典法求全响应的积分常数时，用的是 0 状态初始值。在求系统零输入响应时，用的是 0 状态初始值。在求系统零状态响应时，用的是 0 状态初始值，这时的零状态是指 0 状态为零。,2、冲激函数匹配法 目的：用来求解初始值，求（0）和（0）时刻值 的关系。应用条件：如果微分方程右边包含（t）及其各阶导 数，那么（0）时刻的值不一定等于（0）时刻的值。原理：利用t0时刻方程两边的（t）及各阶导数 应该平衡的原理来求解（0）,mn，则设,mn，则设,将y(t)及其各阶导数带入原方程，求出C0.Cm;对y(t)及各阶导数求（0，0）的积分.,例2.1.2：描述某系统的微分方程为y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t)，已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=u(t)，求y(0+)和y(0+)。,解：将输入f(t)=u(t)代入上述微分方程得 y”(t)+3y(t)+2y(t)=2(t)+6u(t),列式得：,代入原方程得 a=2，b=0,由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。,从0-到0+积分得：,得：,三、零输入响应和零状态响应1、定义：（1）零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始状态所产生的响应。（2）零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统外加激励信号所产生的响应。LTI的全响应：y(t)=yx(t)+yf(t),2、零输入响应（1）即求解对应齐次微分方程的解 特征方程的根为n个单根 当特征方程的根(特征根)为n个单根(不论实根、虚根、复数根)1，2，n时，则yx(t)的通解表达式为,特征方程的根为n重根 当特征方程的根(特征根)为n个重根(不论实根、虚根、复数根)1=2=n时，yx(t)的通解表达式为:,（2）求yx(t)的基本步骤 求系统的特征根，写出yx(t)的通解表达式。将确定出的积分常数C1，C2，Cn代入通解表达式，即得yx(t)。,由于激励为零，所以零输入的初始值：确定积分常数C1，C2，Cn,3、零状态响应（1）即求解对应非齐次微分方程的解（2）求yf(t)的基本步骤 求系统的特征根，写出的通解表达式yfh(t)。根据f(t)的形式，确定特解形式，代入方程解得特解yfp(t)将确定出的积分常数C1，C2，Cn代入全解表达式，即得。,求全解，若方程右边有冲激函数（及其各阶导数）时，根据冲激函数匹配法求得，确定积分常数C1，C2，Cn,几种典型自由项函数相应的特解,例2.1.3：描述某系统的微分方程为y”(t)+3y(t)+2y(t)=2f(t)+6f(t),已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=u(t)。求该系统的全响应，零输入响应和零状态响应。解：（1）y”(t)+3y(t)+2y(t)=2(t)+6u(t)利用系数匹配法分析列式得：y(t)=a(t)+b，y(t)=a，y(t)=0 代入原方程得a=2，b=0,根据微分方程经典求法：齐次解：齐次解形式为：特解,根据特解形式得到:解得 B3 解得全响应为：,利用初始值解得：全响应为：,（2）零输入响应yx(t),激励为0，yx(0+)=yx(0-)=y(0-)=2 yx(0+)=yx(0-)=y(0-)=0根据特征根求得通解为：,解得系数为 代入得,（3）零状态响应yf(t)满足 y”(t)+3y(t)+2y(t)=2(t)+6u(t)利用系数匹配法解得：,对t0时，有 yf”(t)+3yf(t)+2yf(t)=6其齐次解为 其特解为常数 3，于是有根据初始值求得:,自由响应强迫响应(Natural+forced),零输入响应零状态响应(Zero-input+Zero-state),暂态响应+稳态响应(Transient+Steady-state),四系统响应划分,相互关系 零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应有自由响应的一部分和强迫响应构成。,自由响应,强迫响应,零输入响应,零状态响应,一冲激响应 1定义 系统在单位冲激信号(t)作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。,2.2 冲激响应和阶跃响应,例2.2.1 描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。解：根据h(t)的定义有h”(t)+5h(t)+6h(t)=(t)h(0-)=h(0-)=0，利用冲激函数匹配法，设：h”(t)=a(t)+b h(t)=a h(t)=0 解得：a=1,b=-5 h(0+)=h(0-)=0 h(0+)=1+h(0-)=1,微分方程的特征根为故系统的冲激响应为代入初始条件求得C1=1,C2=-1,所以,对t0时，h”(t)+5h(t)+6h(t)=0，故系统的冲激响应为齐次解。,例2.2.2 描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)=f”(t)+2f(t)+3f(t)，求其冲激响应h(t)。解：根据h(t)的定义有h”(t)+5h(t)+6h(t)=”(t)+2(t)+3(t)(1)h(0-)=h(0-)=0先求h(0+)和h(0-)，根据冲激函数匹配法得：h”(t)=a”(t)+b(t)+c(t)+d h(t)=a(t)+b(t)+c h(t)=a(t)+b带入方程求得：a=1，b=-3，c=12，d=-42,故 h(0+)=3，h(0+)=12对t0时，有 h”(t)+6h(t)+5h(t)=0微分方程的特征根为故系统的冲激响应为,所以:h(t)=(t)+b h(t)=(t)-3(t)+c h”(t)=”(t)-3(t)+12(t)+d,代入初始条件h(0+)=3，h(0+)=12求得C1=3，C2=6,所以结合式h(t)=(t)+b得:,系统的输入 e(t)=u(t)，其响应为 r(t)=g(t)。系统方程的右端将包含阶跃函数u(t)，所以除了齐次解外，还有特解项。,我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应。,二阶跃响应1定义 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用g(t)表示。,2阶跃响应与冲激响应的关系线性时不变系统满足微、积分特性,解：s由1转向2后，列写回路方程：R1 i(t)+vc(t)=e(t)vc(t)=L iL(t)+iL(t)R2列写结点方程：i(t)=Cvc(t)+iL(t),例2.2.4电路如图所示，求电流i(t)对激励e(t)=u(t)的阶跃响应，t0时，s由1转向2。,整理得到：i(t)+7i(t)+10i(t)=e(t)+6e(t)+e(t)阶跃响应满足：,g(0+)=g(0-)=0,得,特解B代入得：10B4，B2/5利用冲激函数匹配法求解初始值，,所以：a=1,b=-1,c=1,得：g(0+)=g(0-)+1=1 g(0+)=g(0-)-1=-1得到：A1+A2+2/5=1-2A1-5A2=-1 解得：A1=2/3,A2=-1/15得：,2.3 卷积积分,一、信号的时域分解1、任意信号的分解,2、任意信号作用下的零状态响应,3、卷积积分（1）定义：已知定义在区间（，）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分,记为：,任意信号的零状态响应即为：,（2）卷积积分的求解,例2.3.1求卷积：,解：,例2.3.2：解：,（b）卷积积分的图解：卷积过程可分解为四步：（1）换元：t换为得f1()，f2()（2）反转平移：由f2()反转 f2()右移t f2(t-)（3）乘积：f1()f2(t-)（4）积分：从到对乘积项积分。,例2.3.3 f(t),h(t)如图所示，求yf(t)=h(t)*f(t)。,解：,例2.3.4：f1(t)、f2(t)如图所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2).,解：,（1）换元（2）f1()得f1()（3）f1()右移2得f1(2)（4）f1(2)乘f2()（5）积分，得f(2)=0（面积为0）,三、卷积积分的性质,1、卷积的代数性质交换律：1(t)2(t)=2(t)1(t)分配律：1(t)2(t)+3(t)=1(t)2(t)+1(t)3(t)结合律：1(t)2(t)3(t)=1(t)2(t)3(t),2、主要性质：,微分性质：,积分性质：,微积分性质：,f(t)与阶跃函数的卷积：,f(t)与冲激函数的卷积：(t)(t)=f(t)(t)(t-t0)=(t-t0)(t-t1)(t-t2)=(t-t1-t2)(t-t1)(t-t2)=(t-t1-t2),f(t)与冲激偶函数的卷积：(t)(t)=f(t)(t)=(t)(t)(t)=(t),时移性质若1(t)2(t)=(t)，则有1(t-t1)2(t-t2)=(t-t1-t2),利用卷积积分的性质来计算卷积积分，可使卷积积分的计算大大简化，下面举例说明。,例 2.3.6 计算下列卷积积分：,解：(1)先计算u(t)*u(t)。因为u(-)=0，故可应用卷积运算的微积分性质求得 根据时移特性得,(2)利用卷积运算的分配律和时移性质，可将给定的卷积计算式表示为,例2.3.7：解：通常复杂函数放前面，代入定义式得,注意：套用显然是错误的。,例2.3.8求图所示两函数的卷积积分。,解：,=,=,=,例2.3.9已知 求 f1(t)。,解:将原式等号两端同时求一阶导数得,本章总结：1、LTI连续系统的响应：全响应齐次解(自由响应)特解(强迫响应)2、关于0-和0+初始值 当系统已经用微分方程表示时，如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0状态到0状态发生了跳变。冲激函数匹配法:,3、零输入响应和零状态响应 y(t)=yx(t)+yf(t)自由响应强迫响应；暂态响应+稳态响应；零输入响应零状态响应4、冲激响应和阶跃响应5、卷积积分 卷积过程可分解为四步：（1）换元：t换为得f1()，f2()（2）反转平移：由f2()反转 f2()右移t f2(t-)（3）乘积：f1()f2(t-)（4）积分：从到对乘积项积分。,6、卷积积分的性质,1(t)2(t)3(t)=1(t)2(t)3(t),