隐函数、参数方程表示的函数求导.ppt

,应 用 高 等 数 学（06级融资理财1班）,主讲：彭如海教授 岭 南 学 院 江 苏 科 技 大 学,第9讲 隐函数及由参数方程所 确定的函数的导数,一、授课时间：20074173、4节二、教学目的要求：在复习巩固上节显函数 导数运算法则的基础上，讲述并要求掌握隐函数与参数方程确定的函数的求导方法。三、教学重点：隐函数与参数方程确定的函数的求导；教学难点：对数求导法求幂指函数的导数。四、课型、教学方法：讲述为主，讲练结合。五、教学手段：多媒体适当板书。,继续【22】课堂练习,课堂练习：习题22）2（14）,复习：导数公式与求导法则,1、基本导数公式2、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则(3)复合函数的求导法则,1、基本导数公式,（常数和基本初等函数的导数公式）,2、求导法则,(1)函数的和、差、积、商的求导法则,(2)反函数的求导法则,(3)复合函数的求导法则,注：以上公式与法则是针对 显函数而言的。,易知函数用解析法表示的方法有：,【1】显函数（上节已讲其求导公式与法则）【2】隐函数【3】用参数方程表示的函数，即问：对【2】、【3】表示的函数如何求导？,第9讲 隐函数及由参数方程所 确定的函数的导数,【1】23隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数【2】总结【3】课堂练习,【1】23隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数,一、隐函数的导数,二、由参数方程所确定的 函数的导数,第二章导数与微分,三、对数微分法,一、隐函数的导数,定义:,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,例1,解,解得,课堂练习1例2。30,设方程 x2+y2=R2(R 为常数)确定函数 y=y(x)，,解 将方将程两边求导，可得,当 y 0 时,或,例 2 设方程 y+x exy=0 确定了函数 y=y(x)，,解 方程两边求导，得,当 1-xexy 0 时，解得,即,例 3 求曲线 x2+y4=17 在 x=4 处对应于曲线上的点的切线方程.,解 方程两边求导数，可得,即对应于 x=4 有两个纵坐标，这就是说曲线上有两个点 P1(4,1)和 P2(4,-1).,将 x=4 代入方程，得 y=1.,在 P1 处的切线斜率 y|(4,1)=-2，,y 1=-2(x-4)即 y+2x 9=0,在点 P2 处的切线方程为,y+1=2(x-4)，即 y-2x+9=0,在 P2 处切线的斜率 y|(4,-1)=2.,所以，在点 P1 处的切线方程为,【再用隐函数求导法补证反三角函数的导数公式】,设 y=arcsin x，则 x=sin y，两边对 x 求导，得,cos y 取正号，,二、由参数方程所确定的函数的导数,例如,消去参数,问题:消参困难或无法消参如何求导?,由复合函数及反函数的求导法则得,解,所以,例5,解,所求切线方程为,例 6 设炮弹与地平线成 a 角，初速为 v0 射出，,如果不计空气阻力，以发射点为原点，,地平线为 x 轴，过原点垂直 x 轴方向上的直线为 y 轴(如图).,由物理学知道它的运动方程为,求(1)炮弹在时刻 t 时的速度大小与方向，,(2)如果中弹点与以射点同在一水平线上，求炮弹的射程.,O,中弹点,解(1)炮弹的水平方向速度为,炮弹的垂直方向速度为,所以，在 t 时炮弹速度的大小为,它的位置是在 t 时所对应的点处的切线上，且沿炮弹的前进方向，其斜率为,(2)令 y=0，得中弹点所对应的时刻,三、对数求导法,观察函数,上述函数的求导方法采用对数求导法：先对方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,适用范围:,例7,解,等式两边取对数得,例8,解,等式两边取对数得,一般地,课堂练习2,解两边取对数，得,两边求导，,所以,【2】总结：导数公式与求导法则,1、基本导数公式2、求导法则(1)函数的和、差、积、商的求导法则(2)反函数的求导法则(3)复合函数的求导法则(4)对数求导法(5)隐函数求导法则(6)参变量函数的求导法则,1、基本导数公式,（常数和基本初等函数的导数公式）,2、求导法则,(1)函数的和、差、积、商的求导法则,(2)反函数的求导法则,(3)复合函数的求导法则,(4)对数求导法,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,适用范围:,(5)隐函数求导法则,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,(6)参变量函数的求导法则,【3】课堂练习与课外作业,课堂练习：习题23）1（5）、3、7（3）课外作业：习题23）1（2）（6）、2、4（1）（4）、7（1）,