重积分的概念和性质北工大.ppt

第十三章 重积分,一、曲顶柱体的体积二、二重积分的概念三、二重积分的性质四、二重积分的计算五、二重积分的换元六、曲面的面积,第一节 二重积分,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,一曲顶柱体的体积,曲顶柱体,求曲顶柱体体积的方法：,分割、取近似、求和、取极限。,步骤如下：,1.分割,把R任意分成n个小区域,其中表示,第k个小区域，设其面积为,对应的小曲顶柱体体积为,2.取近似,在每个小区域 上任取一点,则,此分法记为,3.求和,4.取极限,设n个小区域的直径分别为,称是曲顶柱体的体积,二、二重积分的概念,定义,设 是有界闭区域R上的有界函数,任意分法T将闭区域R分成n个小闭区域：,设 表示第k个小闭区域,的面积，在每个 上任取一点,作乘积,并作和,令,如果当 和式的存在极限，记为,则称此函数在闭区域R上可积,有,是二元函数在R的二重积分，记为,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,面积微元,曲顶柱体的体积,大和，小和，振幅的定义,设与分别是函数在的上确界与下确界，则,小和,大和,振幅,二重积分存在的充分必要条件,定理1函数,在有界闭区域R可积,证明,已知函数 在R可积，设二,重积分是I,即,有,或,又已知小和与大和分别是积分和,在R的下确界与上确界,或,则,设,有,由已知条件，当时，有,设，有,由已知,对积分和,有,由上面两个不等式，有,可得,即函数 在有界闭区域R可积,定理2若函数,在有界闭区域R内,连续，则函数在R可积。,证明,由连续函数的性质,函数,在R一致连续，即,有,（表示的面积）,将R分成n个小闭区域,函数在必能取,到最大值与最小值，,即存在两点,使,与,则,有,函数在R可积,定理3若函数,在有界闭区域R内,则函数在R可积。,有界，间段点只分布在有限条光滑曲线上,二重积分的性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,性质,当 k 为常数时，,性质 若函数 与 在R都可积，则函数,在R也可积，且,性质,对区域具有可加性,没有公共的内点时,有,性质,若 为R的面积，,性质,若函数与在R上可积，,则有,特殊地,且对,性质 设、分别是 在闭区域R上,（二重积分估值不等式）,的最大值和最小值，为R的面积，则,性质 设函数 在有界闭区域R上,（二重积分中值定理）,为R的面积，则在R上至少存在一点,使得,连续，,证明,由连续函数的性质，在R上必存在最大值,与最小值，则存在两点,使得,有,则,由连续函数的介值性至少存在一点,使,即,例考察定义在上函数,的可积性,