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圆锥曲线方程 灵溪一高 林秀川 专题设计立意及思路：高考试题中，解析几何试题的分值一般占20左右，而圆锥曲线的内容在试卷中所占比例又一直稳定在14左右，选择、填空、解答三种题型均有选择、填空题主要考查圆锥曲线的标准方程及几何性质等基础知识、基本技能和基本方法的运用；以圆锥曲线为载体的解答题设计中，重点是求曲线的方程和直线与圆锥曲线的位置关系讨论，它们是热中之热解答题的题型设计主要有三类：（1） 圆锥曲线的有关元素计算关系证明或范围的确定；（2） 涉及与圆锥曲线平移与对称变换、最值或位置关系的问题；（3） 求平面曲线（整体或部分）的方程或轨迹近年来，高考中解析几何综合题的难度有所下降随着高考的逐步完善，结合上述考题特点分析，预测今后高考的命题趋势是：将加强对于圆锥曲线的基本概念和性质的考查，加强对于分析和解决问题能力的考查因此，教学中要注重对圆锥曲线定义、性质、以及圆锥曲线基本量之间关系的掌握和灵活应用高考第二阶段的复习，应在继续作好知识结构调整的同时，抓好数学基本思想、数学基本方法的提炼，进行专题复习；做好“五个转化”，即从单一到综合、从分割到整体、从记忆到应用、从慢速摸仿到快速灵活、从纵向知识到横向方法.这一复习过程，要充分体现分类指导、分类要求的原则，内容的选取一定要有明确的目的性和针对性，要充分发挥教师的创造性，更要充分考虑学生的实际，要密切注意学生的信息反馈，防止过分拔高，加重负担.因此，在圆锥曲线这一章的复习中，设计了分类复习、分层复习、层层递进的复习步骤.一、高考考点回顾0104四年高考圆锥曲线试题回顾：年次题号题型内容类别分值总分百分率01年全国文科7选择题概念、性质类5分21分140%14填空题概念、性质类4分20解答题直线和圆锥曲线关系类12分理科7选择题概念、性质类5分21分140%14填空题概念、性质类4分19解答题直线和圆锥曲线关系类12分02年全国文科7选择题概念、性质类5分28分187%11选择题概念、性质类5分16填空题概念、性质类4分21解答题与圆锥曲线有关的轨迹类14分理科6选择题概念、性质类5分21分140%14填空题概念、性质类4分19解答题概念、性质类12分03年全国文科3选择题概念、性质类5分24分160%5选择题概念、性质类5分22解答题与圆锥曲线有关的轨迹类14分理科2选择题概念、性质类5分24分160%8选择题概念、性质类5分21解答题与圆锥曲线有关的轨迹类14分04年全国文科7选择题概念、性质类5分24分160%8选择题直线和圆锥曲线关系类5分22解答题直线和圆锥曲线关系类14分理科7选择题概念、性质类5分22分147%8选择题直线和圆锥曲线关系类5分21解答题直线和圆锥曲线关系类12分04年浙江文科6选择题直线和圆锥曲线关系类5分24分160%11选择题概念、性质类5分22解答题与圆锥曲线有关的轨迹类14分理科4选择题直线和圆锥曲线关系类5分22分147%9选择题概念、性质类5分21解答题与圆锥曲线有关的轨迹类12分 从以上四年的高考题中可以看出选择、填空题主要考察圆锥曲线有关的概念和性质问题；而解答题则是以直线和圆锥曲线关系、求轨迹类问题为主，当然也是圆锥曲线的概念性质为前提.所以在复习中，要求学生掌握一些直线和圆锥曲线关系和求轨迹问题的一般解题思路及思想方法，同时加强对圆锥曲线的概念和性质的理解和灵活应用的训练.二、基础知识梳理（一）概念及性质1椭圆及其标准方程 第一定义、第二定义；标准方程（注意焦点在哪个轴上）；椭圆的简单几何性质（a、b、c、e的几何意义，准线方程，焦半径）；椭圆的参数方程x=acos,y=bsin,当点P在椭圆上时，可用参数方程设点的坐标，把问题转化为三角函数问题.2 双曲线及其标准方程：第一定义、第二定义（注意与椭圆类比）；标准方程（注意焦点在哪个轴上）；双曲线的简单几何性质（a、b、c、e的几何意义、准线方程、焦半径、渐近线）.3 抛物线及其标准方程：定义以及定义在解题中的灵活应用（抛物线上的点到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离）；标准方程（注意焦点在哪个轴上、开口方向、p的几何意义）四种形式；抛物线的简单几何性质（焦点坐标、准线方程、与焦点有关的结论）.（二）常见结论、题型归类及应对思路：1中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为Ax2+Bx21.2共渐近线的双曲线标准方程为为参数，0）.3焦半径、焦点弦问题（1） 椭圆焦半径公式：在椭圆中，F、F分别左右焦点，P(x0，y0)是椭圆是一点，则：|PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 过椭圆（a>b>0）左焦点的焦点弦为AB，则，过右焦点的弦.（2）双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线（a>0,b>0）上任一点，焦点为F1(-c，0)，F2(c，0),则：当P点在右支上时，；当P点在左支上时，；（e为离心率）（3）抛物线焦半径公式：设P（x0，y0）为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为焦点，则；y2=2px （p<0）上任意一点，F为焦点，则；抛物线y2=2px （p>0）的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1，y1）、B(x2，y2)，则有如下结论：x1+x2+p；y1y2=p2，x1x2=.（4）椭圆、双曲线的通径（最短弦）为，焦准距为p=，抛物线的通径为2p，焦准距为p； 双曲线（a>0，b>0）的焦点到渐进线的距离为b.4直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则弦长 ,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想.5中点弦问题处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆（a>b>0）上不同的两点，M(x0，y0)是AB的中点，则KABKOM=；对于双曲线（a>0，b>0），类似可得：KABKOM=；对于y2=2px（p0）抛物线有KAB；另外，也可以用韦达定理来处理.6求与圆锥曲线有关的轨迹问题的常用方法（1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x，y)0，是求轨迹的最基本的方法；（2）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；（3）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（4）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)的变化而变化，并且Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；（5）参数法：当动点P（x，y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.三、重点、难点分析重点 圆锥曲线的概念、性质难点 圆锥曲线的概念、性质等的综合应用四、课时安排第一课时 圆锥曲线的概念、性质类问题第二课时 直线和圆锥曲线关系类问题第三课时 与圆锥曲线有关的轨迹类问题说明：问题的类别、知识是相互联系的，因此课时分类也不是绝对的.五、分课时讲解例题第一课时 圆锥曲线概念、性质类问题例1.（02北京）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 （ ） 分析：本题主要考查圆锥曲线的几何性质，即椭圆、双曲线焦点求法和双曲线渐近线方程求法.由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上，椭圆焦点，双曲线焦点，又双曲线渐近线为.代入，得，选D.例2（02全国文11）设，则二次曲线x2cot-y2tan=1的离心率的取值范围为 （ ） 分析：本题主要考察三角函数和二次曲线的基本知识以及基本的推理计算技能.有一定的综合性，涉及的知识面比较大.解一：因为，所以cot>0，tan>0，方程所表示的二次曲线是双曲线，离心率必然大于1.从而排除A、B、C，得D.解二：依题设知二次曲线是双曲线，半实轴长a和半虚轴长b分别为，.所以半焦距，离心率为，因为，所以e的取值范围为，选D.第二课时 直线和圆锥曲线关系类问题直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考查的重中之重，在高考中多以高档题、压轴题出现.主要涉及弦长、弦中点、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用，解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.例3<2004年天津高考·理工第22题，文史第22题只做第(1)和(2)问，本小题满分14分> 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点. （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程；（3理工类考生做）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.(I)解：由题意，可设椭圆的方程为 由已知得 解得 所以椭圆的方程为，离心率 (II)解： 由(I)可得设直线PQ的方程为由方程组 得 依题意 得 设 则 由直线PQ的方程得 于是 由得从而所以直线PQ的方程为 或(III)证明：由已知得方程组 注意解得 因故 而所以 例4已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆相切过点作斜率为的直线，使得和交于两点，和轴交于点，并且点在线段上，又满足（）求双曲线的渐近线的方程；（）求双曲线的方程；（）椭圆的中心在原点，它的短轴是的实轴如果中垂直于的平行弦的中点的轨迹恰好是的渐近线截在内的部分，求椭圆的方程讲解：（）设双曲线的渐近线的方程为：，则由渐近线与圆相切可得：所以，双曲线的渐近线的方程为：（）由（）可设双曲线的方程为：把直线的方程代入双曲线方程，整理得则 （） ，共线且在线段上， ，即：，整理得：将（）代入上式可解得：所以，双曲线的方程为（）由题可设椭圆的方程为：下面我们来求出中垂直于的平行弦中点的轨迹设弦的两个端点分别为，的中点为，则两式作差得：由于，所以，所以，垂直于的平行弦中点的轨迹为直线截在椭圆S内的部分又由题，这个轨迹恰好是的渐近线截在内的部分，所以，所以，椭圆S的方程为：点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）第三课时 与圆锥曲线有关的轨迹类问题解析几何主要研究两大类问题：一是根据题设条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点.解答轨迹问题时，若能充分挖掘几何关系，则往往可以简化解题过程例5（2004. 福建理）（本小题满分12分）如图，P是抛物线C：y=x2上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.（）若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；（）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求的取值范围.本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识，求轨迹方程的方法，解析几何的基本思想和综合解题能力.解：（）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，依题意x10，y1>0，y2>0.由y=x2， 得y=x.过点P的切线的斜率k切= x1，直线l的斜率kl=，直线l的方程为yx12= (xx1)，方法一：联立消去y，得x2+xx122=0.M是PQ的中点 x0=-， y0=x12(x0x1).消去x1，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).方法二：由y1=x12，y2=x22，x0=，得y1y2=x12x22=(x1+x2)(x1x2)=x0(x1x2)，则x0=kl=-，x1=，将上式代入并整理，得y0=x02+1(x00)，PQ中点M的轨迹方程为y=x2+1(x0).（）设直线l:y=kx+b，依题意k0，b0，则T(0，b).分别过P、Q作PPx轴，QQy轴，垂足分别为P、Q，则. y=x2由 消去x，得y22(k2+b)y+b2=0. y=kx+b y1+y2=2(k2+b)，则 y1y2=b2.方法一：|b|()2|b|=2|b|=2.y1、y2可取一切不相等的正数，的取值范围是（2，+）.方法二：=|b|=|b|.当b>0时，=b=+2>2；当b<0时，=b=.又由方程有两个相异实根，得=4(k2+b)2-4b2=4k2(k2+2b)>0，于是k2+2b>0，即k2>2b.所以>=2.当b>0时，可取一切正数，的取值范围是（2，+）.方法三：由P、Q、T三点共线得kTQ=KTP，即=.则x1y2bx1=x2y1bx2，即b(x2x1)=(x2y1x1y2).于是b=x1x2.22=+=+2.可取一切不等于1的正数，的取值范围是（2，+）.下面是探究型的存在性问题：例6（2004湖北理）（本小题满分12分）直线的右支交于不同的两点A、B.（I）求实数k的取值范围；（II）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.本小题主要考查直线、双曲线的方程和性质，曲线与方程的关系，及其综合应用能力.解：（）将直线依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故（）设A、B两点的坐标分别为、，则由式得假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）.则由FAFB得：整理得把式及代入式化简得解得可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题.四、思维能力训练（一） 选择题1（04年天津理4、文5）设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、F2分别是双曲线的左、右焦点，若，则 ( ) A. 1或5 B. 6C. 7 D. 92（04重庆高考理10、文10）已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为 （ ） A B C D3（04湖北理）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为 （ ）A B3 C D4（04 福建理）如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物.经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）A(22)a万元B5a万元C(2+1) a万元D(2+3) a万5（04 辽宁卷）已知点、，动点，则点P的轨迹是 （ ）A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线604全国（山东山西河南河北江西安徽）理8、文8设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 （ ） A， B2，2 C1，1D4，4（二）填空题1（2004年重庆高考·理工类第16题）对任意实数K，直线：与椭圆：恒有公共点，则b取值范围是_ 2（2004年湖南高考·理工类第16题）设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi（i=1，2，3，），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为 . （三）解答题1设抛物线过定点，且以直线为准线（）求抛物线顶点的轨迹的方程；（）若直线与轨迹交于不同的两点，且线段恰被直线平分，设弦MN的垂直平分线的方程为，试求的取值范围2.（2004. 辽宁卷）（本小题满分12分）设椭圆方程为，过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当l绕点M旋转时，求： （1）动点P的轨迹方程； （2）的最小值与最大值. 3.已知常数，向量，经过原点以为方向向量的直线与经过定点以为方向向量的直线相交于点，其中试问：是否存在两个定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由五、小结圆锥曲线方程这章扩展开的内容比较多，比较繁杂，对学生来说不一定要把所有的结论一一记住，关键是掌握圆锥曲线的概念实质以及直线和圆锥曲线的关系.因此，在复习过程中要注意下述几个问题： （1）在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键，同时勿忘用定义解题.（2）在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.（3）求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置；定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m0,n0)；定量由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.（4）在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义.（5）要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用.（6）求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等.解题时，注意求轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.（7）参数方程和极坐标的内容，请大家熟练掌握公式，后用化归的思想转化到普通方程即可求解.高考是注重能力的考试，特别是学生运用数学知识和方法分析问题和解决问题的能力，更是考查的重点. 数学能力的提高在于解题的质量而非解题的数量，复习过程中要重在研究解题方向和策略、推理，要着眼抽象思维水平的提高.要善于从题目的条件和求解(或求证)的过程中提取有用的信息，作为于记忆系统中的数学认知结构，提取相关的知识，推动题目信息的延伸，归结到某个确定的数学关系，从而形成一个解题的行动序列，这就是解题方向.题目信息与不同数学知识的结合，可能会形成多个解题方向，先取其中简捷的路径，就得到题目的最优解法.解题过程中不断进行这样的思考和操作，将使数学能力得到有效地提高.