信号与系统第二章连续时间系统的时域分析.ppt

第二章 连续系统的时域分析,1 引言,常系数线性微分方程的求解时域法直接求解卷积法变换域法傅里叶变换法（频域分析法）拉普拉斯变换法（复频域分析法）,例：写出图示电路的微分方程。根据KVL有 L R+e（t）C 根据各元件端电压与电流的关系-i（t）整理后代入KVL式，得,建立数学模型,例,列出电路的微分方程，变量为 i2。,解：微分方程为：,描述连续时间系统激励与响应关系的数学模型,一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系，总可以用下列形式的微分方程来描述：,n阶常系数微分方程的求解法,经典法,积分法,经典法,经典法的不足之处,微分方程的解由两部分组成。一部分是与该方程相应的齐次方程（即令方程式右边为零）的通解，称为齐次解；另一部分是满足此非齐次方程的特解，称为特解。齐次解的形式由齐次方程的特征根确定，特解的形式由方程式右边激励函数的形式确定。作为系统的响应来说，齐次解部分是自然响应，特解部分是受迫响应。,（1）若微分方程式右边激励信号较复杂，则难以处理。（2）若激励信号发生变化，则须重新求解。（3）若初始条件发生变化，则须重新求解。（4）这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。,经典法求解过程,积分法,卷积法分析思路,系统的响应划分为零输入响应和零状态响应。,（1）将激励信号分解为单位冲激信号的线性组合；（2）求出单位冲激信号作用在系统上的响应 冲激响应；（3）利用线性时不变系统的特性，即可求出激励信号作用下系统的零状态响应。,零输入响应：是指输入激励为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。根据齐次方程的特征根确定零输入响应的形式；再由初始条件确定其中的待定系数。,零状态响应：指系统的初始状态为零，仅由系统的输入激励单独作用而产生的输出响应。（1）直接求解初始状态为零的非齐次方程。（2）积分法卷积积分：将函数分解为一系列脉冲函数；杜阿梅尔积分：将函数分解为一系列阶梯形函数。,求解过程,2 系统方程的算子表示法,定义,则：,对于算子方程：,其含义是：,微分算子的主要特性,微分算子不是代数方程，而是算子记法的微积分方程。式中算子与变量不是相乘，而是一种变换。多项式的算子可以像代数量那样进行乘法运算，也可以像代数式那样进行因式分解的运算。算子方程两边的公共因子一般不允许消去。,但在某种情况下公共因子可以消去，如：,但,算子符号的一般运算规则,转移算子,转移算子：,H(p)把激励和响应联系起来，故它可以完整地描述系统。即：,算子阻抗：,引入了算子阻抗后，网络的微分方程可以通过电路分析课程的分析方法列出。如网孔法、节点法、叠加定理、戴维南定理等。,例 1,列出电路的微分方程，变量为 i2。,故，微分方程为：,例 2,求如图所示电路的转移算子：,3 系统的零输入响应,全响应零输入响应零状态响应零输入响应的求法 设系统为,零输入 e(t)=0 时，即 D(p)r(t)=0,齐次微分方程：D(p)r(t)=0，特征方程：D(p)=0,为特征根，其中 i=1，2，n,零输入响应的一般形式,对于一阶系统,若有K阶重根，即：,等式两边取不定积分：,对于 n 阶系统,若无重根：,零输入响应系数的确定,若知 n 个初始条件：，有：,对于 n 阶系统,若无重根：,可由此求出 n 个常数。,例 1,已知系统的转移算子，初始条件为,试求系统的零输入响应 rzi(t)。并画出草图。,解：令 得：,故：,例 2,已知系统的转移算子，初始条件为,试求系统的零输入响应 rzi(t)。并画出草图。,解：令 得：,解得：,例：设L1H，C1F，R2，若激励电压源e(t)为零，且电路的初始条件为 L R+e（t）C-i（t）,书上例21,(1)i(0)=0;i(0)=1A/s(2)i(0)=0;uc(0)=10V分别求上述两种条件时电路的零输入响应,解：,(1)直接代入初始条件得：,(2)由方程：,例：设L1H，C1F，R1，若激励电压源e(t)为零，且电路的初始条件为 L R+e（t）C-i（t）,书上例22,i(0)=0;i(0)=1A/s，求电路的零输入响应,代入初始条件得：,解：,4 奇异函数,函数本身或其有一个或多个间断点的函数。阶跃函数冲激函数斜变函数冲激偶,单位阶跃函数,此函数在t=0处不连续，函数值未定义。可代替电路中的开关，故又称为开关函数。,延迟的阶跃函数定义为：,用阶跃函数可以表示方波或分段常量波形：,这就是一个门函数(方波)的表达式。用这种门函数可表示其它一些函数,延迟的阶跃函数,也可以用门函数的方法求：,也可以用门函数的方法求：,用阶跃函数表示函数,f(t)(t)的意义,(a)(b)(c),冲激函数（狄拉克函数）,单位冲激函数,面积为1,(t)与(t)的关系：,冲激函数的性质,延迟的冲激函数,加权特性,抽样特性,是冲激函数的严格的数学定义。,冲激函数的性质,单位冲激函数为偶函数,尺度变换,这里 a 和 t0为常数，且a0。,冲激偶,(t)的导数及其性质,定义：称单位二次冲激函数或单位冲激偶。,冲激偶的性质,冲激偶的抽样特性,冲激偶的加权特性,冲激偶(t)是 t 的奇函数,任何偶函数的导数为奇函数。,1.定义,斜变函数,符号函数和抽样函数,符号函数,Sgn(t)是奇函数，可以表示成：sgn(t)=-1+2(t)=(t)-(-t),抽样函数,Sa(t)是偶函数，Sa(0)=1t=n 时，Sa(t)=0,t 时，Sa(t)0,例 1,下列各表达式中错误的是_。,C,例 2,绘出下列各时间函数的波形，注意它们的区别：,例 3,绘出下列各时间函数的波形，注意它们的区别：,课堂练习题,画出下列信号的波形。,(1),(2),5 信号的脉冲分解,门函数及其应用,f 2(t)的第0个周期：,f 2(t)的第1周期将第0个周期延迟1：,f 2(t)的第K个周期：,周期性脉冲的表示,单边周期性锯齿波,门函数,任意信号的阶跃函数表示,第个阶跃函数：,第1个阶跃函数：,第K个阶跃函数：,任意信号的阶跃函数表示,阶梯形的近似函数为：,当 0,即 为d,则 k 为，f(t)成为 d f()。,任意信号的冲激函数表示,当 0,即 为d,而 k 为,且,6 冲激响应和阶跃响应,冲激响应的求法 直接求解法 转移算子法 阶跃响应的求法 是冲激响应的积分,阶跃响应与冲激响应,阶跃响应与冲激响应的关系：,阶跃响应:输入信号为单位冲激函数时系统的零状态响应，用 h(t)表示；阶跃响应:输入信号为单位阶跃函数时系统的零状态响应，用 r(t)表示。,对于因果系统：,冲激响应 转移算子求解法,对于 n 阶系统：,当 nm 且无重根时：,以上n 阶系统可看成是n 个一阶系统并联。,若一阶系统为,两边从0-到t 取定积分：,对于 n 阶无重根系统,冲激响应 转移算子求解法,当 nm 且无重根时：,后一项可看成一nm的n 阶系统,当 n=m 且无重根时：,当 nm 且无重根时：,前一项对应的系统：,冲激响应 转移算子求解法,当 nm 且有一r 重(r n)重根时：,可以证明系统对应的冲激响应为：,转移算子法求解冲激响应的步骤,确定系统的转移算子 H(p)；将转移算子展开成的部分分式之和；求各部分分式项所对应的冲激响应分量；将所有的冲激响应分量相加，即得系统的冲激响应。,例 1,已知系统的微分方程为,试求其冲激响应h(t)。,解：先求出方程的特征根：,转移算子为,故，系统的冲激响应为,例 2,如图所示电路,以 uS为输入,u2为输出，试列出其微分方程，用时域分析法求出电路的冲激响应和阶跃响应。,解：系统转移算子为：,电路的微分方程为：,冲激响应为：,阶跃响应为：,冲激响应 直接求解法,对于 n 阶系统为,当 nm 时：,当 n=m 时：,当 nm 时：,首先定出解的形式：,再将其解代入到微分方程，利用等式两边各对应项应相等来确定各项的系数。,例 1 方法二：用直接求解法,已知系统的微分方程为,试求其冲激响应h(t)。,解：先求出方程的特征根：,冲激响应的形式为：,对上式求导，得：,将上述三个等式及 代入原微分方程，经整理,比较方程两边系数，解得：,故，系统的冲激响应为：,教材例23,教材中用直接求解法计算,试用转移算子法求冲激响应h(t)。,冲激响应与零输入响应的比较,冲激响应也可通过求零输入响应的方法求得,冲激响应与零输入响应的形式相似，只不过零输入响应中没有冲激函数项，另外零输入响应的系数 c 由初始条件求得，而冲激响应的系数 k 是转移函数展开为部分分式时的各系数。相似原因:零状态的系统输入是冲激函数时，该输入信号只在t=0时存在。那时，系统在一瞬间输入了若干能量，储存在系统的储能元件里，这就相当于系统在 t=0+时具有某种初始状态。等到 t 0 时，系统已不再有输入信号，所以响应就由上述储能的状态惟一地确定。,关于初始状态的讨论,0-状态和 0+状态0 状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储能产生的；0 状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。各种响应用初始值确定积分常数的区别在经典法求全响应的积分常数时，用的是 0 状态初始值。在求系统零输入响应时，用的是 0 状态初始值。在求系统零状态响应时，用的是 0 状态初始值减去 0 状态初始值的结果。,关于初始状态的讨论,从 0 状态到 0 状态的跃变当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0 状态到 0 状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t)及其各阶导数。如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0状态到0状态发生了跳变。0 状态的确定已知 0 状态求 0 状态的值，可用冲激函数匹配法。见有关参考资料。求 0 状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出，见第5章内容。,冲激响应 零输入响应求解法,考察 如下n 阶系统：,为保证奇异函数平衡，上式左边必有冲激函数项，且只能出现在第一项中。第二项为阶跃函数项，其后各项为相应的 t 的正幂函数项。对上面式子两边取0-到0+的定积分：,冲激函数项只能出现在第一项中因果系统,求得了对应的0条件,冲激响应 零输入响应求解法,推广到更一般情况,冲激响应还可以用拉普拉斯变换的方法求得。,教材例24方法一：用直接求解法,已知系统的微分方程为试求此系统的冲激响应,解：先求出方程的特征根：,冲激响应的形式为：,对上式求导，得：,将上述三个等式及 代入原微分方程，经整理求解得,教材例24方法二：用零输入响应法,已知系统的微分方程为试求此系统的冲激响应,解：先求出方程的特征根：,冲激响应的形式为：,由微分方程得：,对上式求导，得：,而,则可求出：,教材例24方法三：用转移算子法,已知系统的微分方程为试求此系统的冲激响应,请同学们自己求解,教材例25,已知系统的微分方程为试求此系统的冲激响应,解：先用算子方程式表示：,比较两式有：,激励为单位冲激函数：,而系统的冲激响应为：,则可求出：,课堂练习题,求系统 的冲激响应。,求系统 的冲激响应。,求系统 的冲激响应。,7 卷 积 积 分(convolution integral),卷积积分的意义 卷积积分的图解计算 卷积积分的性质,卷积积分的意义,用(t)表示任意信号,即任意信号 f(t)可以分解为无穷多个不同强度的冲激函数之和。也就是任意信号可以用函数(t)来表示。,卷积积分的图解计算 步骤,计算,扫描,卷积积分的图解法步骤：换元：t 换成 反折：将波形反折 扫描：从左向右移动 分时段：确定积分段 定积分函数和积分限 计算积分值；,例 1,计算,例 1,计算,例 2,计算,例 3,已知线性非时变系统的冲激响应，激励信号为。试求系统的零状态响应。,解：系统零状态响应为：,将e(t)反折，再扫描可确定积分上下限。,卷积积分的解析法求解,卷积表,1、2、3、6、8、9、,卷积积分的性质,卷积的代数性质交换律：1(t)2(t)=2(t)1(t)分配律：1(t)2(t)+3(t)=1(t)2(t)+1(t)3(t)结合律：1(t)2(t)3(t)=1(t)2(t)3(t)卷积的微分与积分性质,微分性质：,积分性质：,微积分性质：,卷积积分的性质,时移性质若1(t)2(t)=(t)，则有1(t-t1)2(t-t2)=(t-t1-t2)，含有冲激函数的卷积(t)=(t)(t)，(t-t0)=(t)(t-t0)，(t)(t)=(t),(t)(t)=(t),与阶跃函数的卷积,即：,利用卷积积分的性质来计算卷积积分，可使卷积积分的计算大大简化，下面举例说明。,例 4,与冲激函数的卷积,*,=,*,=,*,=,例 5,利用卷积的微积分性质 计算例。,例 6,冲激响应为,解：将转移算子按部分分式展开有：,系统的转移算子为,已知，试求全响应。,零输入响应：,零状态响应：,例 7,已知某线性系统单位阶跃响应为,试利用卷积的性质求如图信号激励下的零状态响应。,解一：利用非时变特性：,解二：利用卷积性质：,9 线性系统响应的时域求解,线性系统为 r(t)=H(p)e(t),其中,零输入响应,零状态响应,全响应,指数函数信号激励下系统的响应,当激励函数为：,当,指数函数信号激励下系统的响应,当,自然响应分量,受迫响应分量,系统函数,一个线性系统，当受指数形式的信号激励时，受迫分量仍是同形式的指数函数。,系统函数H(s)在特定激励频率s时的值即为受迫响应中该频率分量在t=0时的值。,瞬态响应分量：系统响应中随着时间增长而趋于零的部分。稳态响应分量：随着时间增长而趋于稳定的部分。,指数函数信号激励下系统的响应,当,书例210,求下图电容上的响应电压，已知,解：,故有,书例210,求下图电容上的响应电压，已知,全响应电容电压为：,系统的方框图表示,子系统串联：,等效于：,子系统并联：,等效于：,例 4,如图所示系统，它由几个子系统组成。各子系统的冲激响应分别为：，,试求系统的冲激响应。,解：冲激响应为,微分方程的经典解法,全响应齐次解(自由响应)特解(强迫响应)齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有频率）。根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。一般形式（无重根）：特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法确定。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。用初始值确定积分常数。一般情况下，n 阶方程有n 个常数，可用个 n 初始值确定。,为特征根,若特征根 为n个单根，则其齐次解式中常数 由初始条件确定。不同特征根所对应的齐次解,齐次解的一般形式,例,描述某线性非时变系统的方程为,试求：当 时的全解。,解：(1)求齐次解，特征根为：,(2)求特解：设特解为：,比较系数可得：,全解的通解为：,将初始条件代入上式，得：,故，全解为：,返回,全响应=零输入响应+零状态响应,零输入响应的求法与齐次解一样,零状态响应的求法与求非齐次方程一样,例 2,描述某线性非时变系统的方程为,试求：当 时的零输入响应和零状态响应。,解：(1)零输入响应，特征根为：,(2)零状态响应：特解求法同例1，,将初始条件代入上式，得：,代入初始值，得,解得,返回,例 8,解：列网孔方程,如图所示电路，其输入电压为单个倒锯齿波，求零状态响应电压 uL。,冲激响应为,例 8,阶跃响应为,零状态响应为：,课堂练习题,2-1 已知系统的微分方程为，且初始条件为y(0)=3和y(0)=4。求系统的自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应及全响应。并弄清楚几种响应之间的关系。,