信号与系统第二章.ppt

,第2章 连续信号与系统 的时域分析,2.1 对下列信号，当0(0)时，f(t)(t)，试确定系数值K(提示:利用的特点求解)。,解(1)因为对上式两边从到取积分，考虑到求得所以,(2)因为所以,2.2 写出下列复频率s所表示的指数信号est的表达式，并画出其波形。(1)2；(2)2；(3)j5；(4)1+j2。,解(1)f1(t)=e2t,波形如题解图2.2(a)所示。(2)f2(t)=e2t,波形如题解图2.2(b)所示。显然,f1(t)和f2(t)都是实指数信号。(3)f3(t)=ej5t=cos5tj sin5t。f3(t)是虚指数信号，其实部、虚部分别是等幅余弦、正弦信号。实部信号波形如题解图2.2(c)所示。(4)f4(t)=e(1+j2)t=etej2t=et(cos2t+j sin2t)。f4(t)是复指数信号，其实部和虚部分别是幅度按指数规律衰减的余弦和正弦信号。实部信号波形如题解图2.2(d)所示。,题解图 2.2,2.3 各信号波形如题图2.1所示，计算下列卷积，并画出其波形。(1)f1(t)*f2(t)；(2)f1(t)*f3(t)；(3)f4(t)*f3(t)；(4)f4(t)*f5(t)。,题图 2.1,解 波形如题解图2.3-1所示。,题解图 2.3-1,(2)波形如题解图2.3-2所示。,题解图 2.3-2,(3)波形如题解图2.3-3所示。,题解图 2.3-3,(4)用图解法求卷积积分。求解过程及f4(t)*f5(t)波形如题解图2.3-4所示。,题解图 2.3-4,因为,所以,2.4 计算卷积积分f1(t)*f2(t)：,解 应用卷积性质和公式计算卷积积分。,结合题解图2.4,求得所以,题解图 2.4,(9)将f1(t)、f2(t)改写为,先计算再应用卷积时移性质，求得,(10)因为所以,2.5 已知f(t)如题图2.2(a)所示。试用f(t),T(t)=进行两种运算(相乘和卷积)，构成题图2.2(b)和(c)所示的f1(t)和f2(t)。解,题图 2.2,2.6 f1(t)和f2(t)如题图2.3(a)和(b)所示，试用图解法求卷积积分f1(t)*f2(t)，并画出其波形。,题图 2.3,解 先画出f1(t)|t=0,即f1()和f2()波形如题解图2.6(a)所示。再令t从 开始增长，随f1(t)波形右移，分区间计算卷积积分：,最后整理得波形如题解图2.6(b)所示。,题解图 2.6,2.7 试计算下列卷积：(1)2*t(t+2)(t1)；(2)(t)*tn(t)；(3)et(t)*(t)*(t)；(4)e2t(t)*(t)*t(t)。,解(1)画出f1(t)=t(t+2)-(t-1)波形如题解图2.7所示。,题解图 2.7,由于f1(t)波形净面积S=2+0.5=1.5所以，卷积积分 y1(t)=2*f1(t)=2S=3(2)因为()=0,故可应用卷积的微积分性质简化公式得,(3)因为()=0,故有所以,(4)由于t(t)|t=0,有所以,2.8 已知f1(t)和f2(t)如题图2.4所示。设f(t)=f1(t)*f2(t)，试求f(1)、f(0)和f(1)的值。,题图 2.4,解 计算两个分段信号在某时刻的卷积积分值，应用图解法求解比较方便。当t=1时,f2(t)=f2(1)。画出f1()、f2(1)波形如题解图2.8(a)所示,两波形重叠区间为2,0,求得,题解图 2.8,同理，当t=0和1时，分别画出f1()、f2(t)波形如题解图2.8(b)、(c)所示，并在相应重叠区间上计算卷积结果，得自然，根据积分运算的几何意义，上述结果也可通过直接观察乘积信号f1()f2(t)波形的净面积得到。,2.9 已知信号f1(t)和f2(t)波形如题图2.5所示，试计算f1(t)*f2(t)。,题图 2.5,解 先计算g1(t)=(t)(t1)和g2(t)=et(t)两信号的卷积积分:然后，根据卷积时移性质，求得,或者写成,2.10 给定如下传输算子H(p)，试写出它们对应的微分方程。,解 设连续系统的输入为f(t),输出为y(t)。(1)因为系统传输算子算子方程所以系统微分方程为,(2)因为系统传输算子算子方程所以系统微分方程为,(3)因为系统传输算子算子方程所以系统微分方程为,(4)因为系统传输算子算子方程或写成所以，系统微分方程为,2.11 给出如下联立微分方程，试求出只含一个变量的微分方程(提示：写出算子方程，应用克莱姆法则求解)。,解 将微分方程组写成p算子方程组，用克莱姆法则求出各未知变量解的p算子表达式，最后写出只含有单个变量的微分方程组。,因为,也就是所以,同理可得(2)、(3)、(4)结果为,2.12 在如题图2.6所示电路中，开关S在t=0时刻由位置“1”投向位置“2”，求uC(t)对is(t)的传输算子H(p)(t0)。,题图 2.6,解 画出换路后电路算子模型如题解图2.12所示。由节点a列KCL方程得即 所以传输算子,题解图 2.12,2.13 在如题图2.7所示电路中，试分别求出响应i1(t)、i2(t)、i3(t)对激励f(t)的传输算子H1(p)、H2(p)、H3(p)。,题图 2.7,解 画出算子模型，并标记网孔电流i1、i2和i3如题解图2.13所示。列出网孔方程:,题解图 2.13,结合松弛系统，函数乘、除算子p操作可逆，求解上述方程，得,所以，响应i1、i2和i3对激励f的传输算子为,2.14 求题图2.8所示电路中uo(t)对f(t)的传输算子H(p)。,题图 2.8,解 画出算子电路模型如题解图2.14所示。,题解图 2.14,因为所以,2.15 已知某连续系统的传输算子和零输入响应初始条件为 求零输入响应yzi(t)(t0)。,解 由题意知:因为所以,其一、二阶导函数为代入初始条件，整理得,联立求解得最后得系统零输入响应为,2.16 如题图2.9所示电路。已知iL(0)=0,uC(0)=1 V,C=1 F,L=1 H,求i(t)(t0)。,题图 2.9,解 算子电路模型如题解图2.16所示。列出回路KVL方程,并代入元件参数，得,题解图 2.16,或写成令A(p)=p2+1=0,解得p1,2=j,故有考虑初始条件,联立求解上面方程，得最后得,2.17 描述LTI连续系统的微分方程如下：试求系统的零输入响应yzi(t)。,解(1)微分方程:算子方程:,由特征方程A(p)=p2+5p+6=0,求得特征根p1=2,p2=3,故有代入初始条件，联立解得最后得系统零输入响应:,(2)系统微分方程:算子方程:,由特征方程A(p)=p2+4p+4=0，求得特征根p1,2=2(二阶重根),故有代入初始条件yzi(0+)=1,yzi(0+)=1,联立求得c0=1,c1=3,代入式得到系统零输入响应:,2.18 已知连续系统的输入输出算子方程及初始条件如下:,解(1)因为特征方程A(p)=p(p2+3p+2)=0,特征根p0=0,p1=1,p2=2。写出零输入响应及相应一、二阶导函数表示式：将初始条件yzi(0)、yzi(0)和yzi(0)代入上式，联立解得c0=1.5,c1=2,c2=0.5。所以,2.19 已知连续系统的传输算子H(p)如下：试求系统的单位冲激响应h(t)。,(2)因为所以,2.20 已知系统输入输出算子方程:试求系统的冲激响应h(t)。,解 因为所以,2.21 如题图2.10所示系统，已知两个子系统的冲激响应分别为h1(t)=(t1)，h2(t)=(t),试求整个系统的冲激响应h(t)。,题图 2.10,解 根据单位冲激响应定义，有,2.22 某LTI系统，其输出y(t)与输入f(t)的关系为试求系统的冲激响应h(t)。,解 根据单位冲激响应定义,有由于所以,2.23 已知系统微分方程为y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)+3f(t)，0初始条件y(0)=1，y(0)=2，试求：(1)系统的零输入响应yzi(t)；(2)输入f(t)=(t)时，系统的零状态响应和全响应；(3)输入f(t)=e3t(t)时，系统的零状态响应和全响应。,解 本题为综合题，包括零输入响应yzi(t)、冲激响应h(t)、零状态响应yzs(t)和全响应y(t)的计算。(1)求传输算子。,求零输入响应。因为特征方程为特征根为所以,代入初始条件yzi(0)和yzi(0),联立解得c1=4,c2=3故有 yzi(t)=4et3e2t,t0求冲激响应。因为所以,(2)当f(t)=(t)时，有零状态响应:全响应:,(3)当f(t)=e3t(t)时,有零状态响应:系统全响应:,2.24 某LTI系统的输入f(t)和冲激响应h(t)如题图2.11所示，试求系统的零状态响应，并画出波形。,题图 2.11,解 应用yzs(t)=f(t)*h(t)计算系统零状态响应。因为已知f(t)和h(t)波形，故宜用图解法求解。,题解图 2.24,画出f()、h(t)波形如题解图2.24(a)所示。随t的增大，右移h(t)波形，分段计算零状态响应。当t0时，yzs(t)=f(t)*h(t)=0当0t2时,当2t4时,当t4时,yzs(t)=0即 yzs(t)波形如题解图2.24(b)所示。,2.25 如题图2.12所示的系统，试求当输入f(t)=et(t)时，系统的零状态响应。,题图 2.12,解 由系统方框图列写传输算子H(p),并计算冲激响应h(t)和零状态响应yzs(t)。,题解图 2.25,(a)在题解图2.25(a)中标记辅助变量x、x,在两加法器输出端列出等效方程：依据输入输出方程与等效方程系数之间的对应关系,直接写出系统输入输出方程:,相应算子方程、传输算子和冲激响应为FC(所以，系统零状态响应:,(b)标记辅助变量x、x和x如题解图2.25(b)所示，在两个加法器的输出端列写等效方程:即,写出系统微分方程、算子方程和传输算子:,注意在计算零状态响应时，系统属松驰系统,H(p)分子、分母中相同因子(p+1)允许消去，故其冲激响应为因此，系统零状态响应为,2.26 如题图2.13所示电路，各电源在t=0时刻接入。已知uC(0)=1 V，求输出电流i(t)的零输入响应、零状态响应和全响应。,题图 2.13,解 将电压源、电阻串联支路等效成电流源、电阻并联电路，合并两个电流源，画出算子电路模型如题解图2.26所示。先计算电容上电压uC(t)。列出节点a的节点方程:(p+1)uC(t)=is(t),题解图 2.26,传输算子:由特征方程A(p)=p+1=0,求得特征根p=1,故有依据初始条件uCzi(0)=uC(0)=1,确定c0=1,代入式得,由H(p)求得冲激响应:计算零状态响应:故有全响应:,最后，结合题图2.13，求得i(t)的零输入、零状态和全响应分别为,2.27 求下列系统的单位阶跃响应：,解(1)因为所以,(2)因为所以,2.28 给定下列系统的输入输出算子方程、初始条件和输入信号，试分别求其全响应。并指出其零输入响应、零状态响应、自由响应、强迫响应、暂态响应和稳态响应分量。,解(1)因为H(p)=h(t)=et(t),f(t)=(1+e3t)(t),所以,yzi(t)=c0et,结合初始条件yzi(0)=y(0)=2,确定c0=2,故有零输入响应:yzi(t)=2et,t0,2.29 如题图2.14所示电路，t0时已处稳态。t=0时，开关S由位置a打至b。求输出电压u(t)的零输入响应、零状态响应和全响应。,题图 2.14,解 画出换路后电路算子模型如题解图2.29(a)所示。由题意知iL(0+)=iL(0)=1 A,uC(0+)=uC(0)=1 V。,题解图 2.29,列出算子方程:求得传输算子和冲激响应:,(1)零状态响应。(2)零输入响应。由H(p)极点得,为了确定初始值uzi(0)和uzi(0),令us=0,画出零输入电路如题解图2.29(b)所示，分别写出:,