信息光学-第3章 标量衍射理论.ppt

第二章 标量衍射理论,光波是电磁波，其传播过程满足电磁波波动方程。当遇到障碍物时，光波会发生衍射。电磁波是矢量波，严格电磁场衍射理论必须考虑其电场强度和磁场强度的矢量性。一定条件下，可以不考虑电磁场矢量各个分量之间的联系，电磁波矢量方程可以写为分量方程（标量方程）光波作为标量处理标量衍射理论条件：（1）衍射孔径比光波长大得多;（2）观察点距离衍射孔足够的远。,1、光波的数学描述2、基尔霍夫衍射理论3、衍射的角谱理论4、菲涅耳衍射5、夫朗和费衍射6、衍射的巴比涅原理7、衍射光栅8、菲涅耳衍射和分数傅里叶变换*,主要内容,光波的数学描述,1、光波的数学描述,1.2 球面波,单色球面波在空间任意一点P所产生的复振幅为,其中，为波数，表示单位长度上产生的相位变化；r 表示观察点P(x,y,z)离开点光源的距离；a0 表示点光源的振幅。,思考题：对于会聚球面光波，复振幅表达式是什么？,Answer:,1、光波的数学描述,若点光源位于x0y0平面，则与其相距z(z0)的xy平面上的光场分布是什么？在z平面上：,对上式进行二项式展开，并考虑徬轴近似，上式可进一步简化为：,泰勒公式：f(x)=f(a)+f(a)(x-a)/1!+f(a)(x-a)2/2!+f(n)(a)(x-a)n/n!,1、光波的数学描述,将简化式代入球面波复振幅表达式有：,常量位相因子,二次位相因子,思考题：（1）若点光源位于x0y0平面的坐标原点，上式简化为什么？（2）会聚球面波在徬轴近似下的复振幅表达式是什么？,思考，公式中的近似条件为何位相里面不考虑成r=z,2.1.3 平面波的复振幅,平面波也是光源最简单的一种形式。平面波的特点是等相位面是平面。在各向同性介质中，等相面与传播方向垂直，各点的振幅为常数。点光源发出的光波经透镜准直，或者把点光源移到无穷远，可以近似获得平面波,1、光波的数学描述,对于如右图所示 的沿某一确定方向传播的平面波，在xy平面上的复振幅为：（实际系统中总有观察平面）,思考题：在xy平面内等相位线是什么样的？,Answer:等位线方程为,其中，称为平面波的位相因子。,不同C值所对应的等位相线是在xy平面内的一系列平行线，斜线方向的不同对应于不同传播方向的平面波（由cosa和cos）决定。,平面波在空间的等位相面勒？,垂直于波矢量K的一系列平面,2.1.4 平面波空间频率,平面波的空间频率是信息光学中常用的基本物理量深入理解这个概念的物理含义是很重要的 首先研究波矢量位于xz平面内的简单情况，考虑,kx*x,光学问题里面坐标关系比较复杂，建议考虑简单在坐标系，尽量把复杂问题简单化,平面波空间频率,等相位线方程为复振幅在xy平面上周期分布的空间周期，可以用相位差的两相邻等相位线的间距X表示 则有x方向的空间频率用 表示 单位：1/mm等相位线平行于y轴，可以认为沿y方向的空间周期 因此y方向的空间频率,时刻注意物理图像：在XY平面上是一系列平行于Y的直线,单位：1/mm,单位：mm,在xy平面内斜入射，已知平面波波长为750nm，测量得到在玻璃中（n=1.5）的x方向等位相面为周期1000nm，求1）波的传播方向，2）介质中的空间频率；3）y方向的空间频率；4）介质中的波数；,试写出传播方向余弦为(cos,0)的单色平面波在x-y平面上的复振幅分布（用空间频率来描述）,思考：1）在XY平面上，是朝何方向传播的平面波？空间频率为多少？2）周期X能认为是波长吗？3）波长应该如何确定？4）如果已知波的传播方向和Kx，可以求出波长吗？,朝X正方向，,2）不能，波长应该是不会变长的,3）波长应该由时间域的频率 f 决定，即波形变化的快慢，不是由空间频率决定的。波长=c/f。也可由公式：X=波长/cosa得到。,4）可以，先求出K=kx/cos，然后求出波长,任一传播方向的平面波,在传播方向余弦为 的一般情况下，x-y平面上的等相位线是一些平行斜线。X-y平面上沿x方向和y方向的复振幅分布都是周期变化的，其周期空间X和Y分别为相应的空间频率分别为,任一传播方向的平面波,空间频率 表示x-y平面上的复振幅分布 代表了一个传播方向余弦为 的单色平面波。我们的不是某一个平面上而是整个空间光场分 布，可以类似地定义沿z方向的空间频率有由 有,空间频率的概念提供了一种理解光波行为的新手段，可以和傅里叶变换紧密联系在一起。,这些公式不可小视!1）已知空间频率就是已知传播方向，2）与傅里叶变换很相似了,也表明空间频率是矢量，有3个分量，满足矢量运算规则，与时间频率完全不同,1、光波的数学描述,思考题：空间频率为负，其代表什么物理意义？,波的传播方向，前向，后向,已知等位相面的图，会写出平面波的表达式吗？,1、光波的数学描述,如右图所示，等相位线是一组斜平行线。很容易确定其沿x和y方向的空间频率为,则xy平面上的复振幅分布可表示为,1.5 XY平面的光场分布（复振幅分布）空间频谱（角谱）,当XY观察平面上不是单一的平面波，而是复杂图像（单色）时，利用傅里叶变换可以对其分析，即：,其中，,A(x,y)称为复振幅分布U(x,y)的空间频谱。,因此光场（复振幅）分布也可以看作为不同方向传播的单色平面波分量的线性叠加，这就是角谱理论。,代表一个传播方向余弦为(cos=x、cos=y)的单色平面波。,平面上的复振幅分布U(x,y)看作空间频率不同的复指数分量的线性组合，各频率分量的权重因子是A(x,y)。,复振幅分布的分解观点：,1、光波的数学描述,此时，称A(cos/，cos/)为xy平面上复振幅分布的角谱。,角谱定义,引入角谱概念有助于进一步理解复振幅分解的物理意义：单色光波场中某一平面上的场分布可看作不同方向传播的单色平面波的叠加;(2)在叠加时各平面波成分有自己的振幅和常量相位，它们的值分别取决于角谱的模和幅角。,角谱如何求？就用傅里叶变换就行，注意坐标替换,2.2 基尔霍夫衍射理论,讨论的问题是：如何求解无限大平面上孔径后面的光场分布,更具体化一点的模型就是：能否由如图孔径平面上的场分布计算孔径后面任一点Q处的复振幅？这是一个根据边界值求解波动方程的问题。,入射光,惠更斯-菲涅尔（1788-1827）原理 光场中任一给定曲面上的各面元可以看做子波源，这些子波源是相干的，则在波继续传播的空间上任一点处的光振动，都可看做是这些子波源各自发出的子波在该点相干叠加的结果。其数学表达式为：,“波前上的每一个面元都可以看作是一个次级扰动中心，它们能产生球面子波”，并且，“后一时刻的波前的位置是所有这些子波前的包络面。”论光,惠更斯,1690“波前上任何一个未受阻挡的点都可以看作是一个频率（或波长）与入射波相同的子波源；在其后任何地点的光振动，就是这些子波叠加的结果。”巴黎科学院,菲涅耳,1818,主要问题：1 该理论缺乏严格的理论依据。常数c中应包含exp(-j/2)因子，惠更斯-菲涅尔原理无法解释。K()的具体函数形式难以确定。,科研需要理想主义，更需要实干家,2.基尔霍夫衍射理论,基尔霍夫（18241887）利用数学工具格林定理，通过假定衍射屏的边界条件，求解波动方程，导出了更严格的衍射公式，从而把惠更斯菲涅耳原理置于更为可靠的波动理论基础上。,基尔霍夫衍射理论基尔霍夫衍射公式,在单色点源照明下（就是球面波照明情况），平面孔径后方光场中任一点Q的复振幅为,该公式与惠更斯-菲涅尔衍射公式完全相同。,意义在于：从理论上验证了别人的假设，模型更加精确,基尔霍夫衍射公式,孔径平面上的复振幅分布是球面波，有代入基尔霍夫衍射公式，有其中：若 并代入衍射公式，该公式与惠更斯-菲涅尔衍射公式完全相同。,基尔霍夫衍射公式说明：,1）上述基尔霍夫衍射公式仅仅是单个球面波照明孔径的情况作出的讨论，但衍射公式却适用于更普遍的任意单色光波照明孔径的情况。因为任意复杂的光波可分解成简单的球面波的线性组合，波动方程的线性性质允许对每一单个球面波分别应用上述原理，把所有点源在Q点的贡献叠加。2）根据基尔霍夫对平面屏幕假设的边界条件，孔径外的阴影区内，则衍射公式的积分限可以扩展到无穷，从而有：,2.3 光波传播（衍射）的线性性质,令,根据基尔霍夫衍射公式,则有,若孔径在x0y0平面，而观察平面在xy平面，上式可进一步表示为,这正是描述线性系统输入输出关系的叠加积分；因此光波的传播现象可以看作是一个线性系统！,2、基尔霍夫衍射理论,在徬轴近似下，则上述线性系统的脉冲响应函数简化为,脉冲响应函数具有空间不变的函数形式，也就是说光波在衍射孔径后的传播现象可看作线性不变系统。这为我们用线性不变系统理论分析衍射现象提供了依据。,看似简单的结论背后有多少个假设存在？,1）倾斜因子2）格林函数积分时的假设P79,而这些在当时认为可以忽略的假设，今天却成为了研究热点！,瑞利（1842-1919）索莫菲（1868-1951）,基尔霍夫（18241887）,物理学史,数学公式上，表现为卷积,3、衍射的角谱理论（衍射的频域分析）,根据上面介绍的角谱理论可知，孔径平面和观察平面上的光场都可以分别看作是许多不同方向传播的单色平面波分量的线性组合。而每一个平面波分量的相对振幅和位相取决于相应的角谱：,孔径平面场与角谱,观察平面场与角谱,如果能确定他们的关系则可确定整个光场的传播特性。,利用标量的波动方程，可以得到如下关系，具体过程见P82：,输出频谱,输入频谱,传递函数,系统在频域的效应由传递函数表征：,可见，光波的传播（衍射）现象可看作一个空间滤波器，它具有有限的空间带宽：在频率平面上半径为1/的圆形区域内，传递函数的模为1，对各频率分量的振幅没有影响，但引入了与频率有关的相移；在圆形区域之外，传递函数为零。,这就是衍射的角谱理论公式，它给出了角谱传播的规律；在确定了观察光场的角谱后，就可以利用傅里叶逆变换求出其复振幅分布。,任何复杂图像的传输都是有损失的，小于波长量级的细节总是无法传播。那如何观察比波长小的物体勒？,3、衍射的角谱理论,思考题：基尔霍夫衍射理论和角谱理论的联系和区别是什么？,Answer:1）基尔霍夫衍射理论和角谱理论完全是统一的，它们都证明了光的传播现象可看作线性不变系统；（前者数学形式是卷积公式，后者是频域乘积）2）基尔霍夫理论是在空间域讨论光的传播，是把孔径平面光场看作点源的集合，观察平面上的场分布则等于它们所发出的带有不同权重因子的球面子波的相干叠加，而球面子波在观察平面上的复振幅分布就是系统的脉冲响应。3）角谱理论是在频率域讨论光的传播，是把孔径平面场分布看作很多不同方向传播的平面波分量的线性组合，观察平面上场分布仍然等于这些平面波分量相干叠加，但每个平面波分量引入相移。相移的大小决定于系统的传递函数，它是系统脉冲响应的傅里叶变换。,3.2 孔径对角谱的影响,平面屏幕孔径的复振幅透过率为t(x0,y0)，入射到孔径平面上的光场复振幅为Ui(x0,y0)，则紧靠屏幕后的平面上透射光场的复振幅分布可以表示为,如果采用单位振幅平面波垂直照明孔径，入射光场为,对上式进行傅里叶变换有：A（fx，fy）=T（fx，fy）写成角谱的形式，则有：,3、衍射的角谱理论,结论：1）用平面波照明孔径时，透射光场角谱等于孔径透过率的傅里 叶变换。2）孔径的作用：从空域来看，是限制了入射波面的大小范围，而从频率域来看，作用是展宽了入射光场的角谱（频谱）。为什么？你能写出当照明光波是任意光波时，透射场的（角谱）频谱表达式吗？,思考：频谱展宽，频率成分更多，频率成分越多代表的物体细节越多，成像越清晰？,求：紧贴孔径后光场的角谱,当平面波照明时，紧贴孔径的光场就是透过率函数，故：,4、菲涅耳衍射,实际的衍射现象可分为两种类型：菲涅耳衍射和夫琅和费衍射。,在物理上没有明确的区分，只能用离开光源的距离来分，大致分为远场衍射和近场衍射。两者的衍射性质和图样有差别，数学上为了对其进行建模，以便解释分析实验现象，进行了不同的近似。但基本公式都是基尔霍夫的衍射理论或者是角谱理论，或者说是基尔霍夫的衍射理论在具体物理问题中的应用。,4、菲涅耳衍射,4.1 菲涅耳衍射公式,其中：,基尔霍夫衍射公式P81.3-59,基尔霍夫衍射公式3-57,4、菲涅耳衍射,若z远大于孔径以及观察区域的最大线度（傍轴近似），,称之为菲涅耳近似。此时脉冲响应简化为,其物理意义是用二次曲面近似表示球面子波。把上述简化的脉冲响应函数代入叠加积分式，则得到卷积形式表达的菲涅耳衍射方程：,上式就是菲涅耳衍射公式。,对r作二项式展开时可略去次高阶项，即,请思考，菲涅尔衍射中Z的条件如何量化？,重要，记住,此处为何要从位相角度来考虑呢？直接考虑画横线项远小于1有何不妥？,孔径3mm，波长300nm，z大约3m,4、菲涅耳衍射公式与傅里叶变换,将指数中的二次项展开，可得到用傅里叶变换形式表示的菲涅耳衍射方程，,在菲涅尔衍射区观察到的光场，除了与（x0，y0）无关的一些振幅和位相因子外，可以看成 的傅里叶变换,5、夫琅和费衍射,若要使z进一步增大，则r的表达式可以进一步忽略一些因子，这时观察平面所在的区域称为夫朗和费区，这一近似称为夫琅和费近似。此时有,两个原因：1）数学上的强烈需要；2）与实际情况较为吻合,把上式代入脉冲响应公式，有,把该脉冲响应代入衍射公式，有,观察平面上的场分布正比于孔径平面上透射光场分布的傅里叶变换。强度分布为：,5.2 一些简单孔径的夫琅和费衍射,利用上面的夫琅和费衍射方程可以确定一些典型孔径的夫琅和费衍射图样，例如圆孔、矩形孔、单缝以及多缝结构（如光栅）等。,孔径的类型：振幅调制型和相位调制型(透明材料做成),假设一均匀单色平面波垂直照明孔径，平面波的振幅为A，则孔径的透射光场分布为：,其中，t(x0,y0)是孔径的复振幅透过率。,重要，记住,由此可以非常方便的求出平面波照明的任意孔径的远场衍射图样,由夫朗和费衍射公式，孔径在观察平面场分布为,则观察平面上的衍射图样的复振幅分布正比于物体的频谱。对应的衍射图样的强度分布为,夫琅和费衍射是实现傅里叶变换运算的物理手段，是我们对物体作频谱分析的基础。,思考：从强度公式可以看出，Z越大亮度显然越小，不利于观察，但距离又不能太小，否则就不是夫琅禾费衍射，观察不到频谱。那有没有办法可以实现在Z较小的时候也能观察到频谱勒？,5、简单孔径的夫琅和费衍射,1）矩孔衍射,距孔的复振幅透过率可表示为：,其中，a、b分别是孔径在x0和y0方向上的宽度。,其对应频谱为,采用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，在观察面上得到的夫琅和费衍射场的复振幅分布为：,强度分布为,光能主要集中在中央亮斑，其宽度为：,5、夫琅和费衍射,单缝衍射,对于上面的距孔，假如ba，矩孔就变成了平行于y0轴的狭缝，衍射图样将集中在x轴上。采用单位振幅的单色平面波垂直照明狭缝，距离为z的观察平面上夫琅和费衍射图样的复振幅分布为,强度分布为,上式中：aba,sinc(bx)1,5、夫琅和费衍射,3)双缝衍射,如图，衍射孔径由双缝组成，狭缝宽度为a，中心相距为d，其复振幅透过率可表示为：,其对应的频谱为,也可直接利用傅氏变换性质。,5、夫琅和费衍射,故：其观察平面上夫琅和费衍射的复振幅分布为,强度分布为（如右图）,可见，双缝夫琅和费衍射图样的强度分布是单缝衍射图样与双光束干涉图样相互调制的结果。,圆孔衍射,圆孔的复振幅透过率可以表示为,其中，a为圆孔半径，r0为孔径平面的径向坐标，如下图所示。,5、夫琅和费衍射,采用单位振幅的单色平面波垂直照明孔径，在观察面上得到的夫琅和费衍射场的复振幅分布为（利用傅里叶-贝塞尔变换）：,强度分布为（如下图）,通常称之为爱里图样。中央亮斑（爱里斑）的半径为：,注意利用圆域傅里叶变换的伸缩性质P35,这些简单孔径的衍射图样和理论计算图样完美吻合，有力的验证了基尔霍夫衍射理论；同时也极大的推进了信息光学的理论发展，是将傅里叶变换理论引入到光学的成功先例。夫琅禾费衍射和菲尼尔衍射是信息光学的基础，后面所有的讨论都是基于这两种基本光场传输形式出发的,实际上就是U(x,y)*h(x,y),去掉的理由：要满足夫琅禾费衍射条件,传播太远，不考虑场弯曲，变成平面波,提出了新问题：能不能在短距离的情况下实现夫琅禾费衍射？怎么实现？,标量衍射理论：求解的是标量波动方程P75,3-39,夫琅禾费衍射和菲涅尔衍射 均属于标量衍射理论范畴成立的条件：1）孔径比光波长要大很多；2）观察点离光源不能太近，成像距离要满足傍轴条件,矢量衍射理论不满足上述条件的情形，不能用夫琅禾费衍射和菲涅尔衍射 计算，实验现象也不能用夫琅禾费衍射和菲涅尔衍射 理论来解释（或者说解释不了），此时要用矢量衍射理论（严格的不带任何假设的电磁场理论）来计算和分析，这是一个正在发展的学科，很多实验现象还没有很完美的理论解释。典型的学科包括近场光学，以及金属表面等离子体光学。,标量衍射理论和矢量衍射理论,6、衍射的巴比涅原理,如上图所示，两个衍射屏1和2是一对互补屏；设U1(P)和U2(P)分别表示由1和2在观察平面上P点产生的衍射光场，则如下结论成立：,1）两个互补屏在观察点产生的衍射场，其复振幅之和等于光波自由传播时在该点的复振幅，即U1(P)+U2(P)=U(P)注意U(P)相当于一个常数2）若采用单色平面波垂直照明，叠加场U（P）的夫琅和费衍射为(P)，故对于轴外点有衍射场为0。（看似无用，实际很重要）结论：互补结构的夫琅禾费衍射场有：F1(P)=-F2(P)此时在每一轴外点互补屏产生的光场复振幅分布位相相差；互补屏产生的夫琅和费衍射分布，除轴上点以外，强度分布完全相同。I1(P)=I2(P)。,常用于分析对偶图形：小孔与圆盘；圆环的衍射=盘+孔；线条与缝等等,P118,3.7,孔取正号，实心物体取负号,菲尼尔衍射图样会求吗？,7、衍射光栅,1）回顾一下，什么是光栅？衍射光栅具有周期性重复排列的结构，可对入射光波的振幅或位相（或者两者同时）施加周期性的空间调制，2）光栅是光学仪器中或者光学信息处理系统中常用的重要光学元件。下面将尝试使用傅里叶分析的方法分析几种典型光栅的衍射图样以及它们对光谱的分辨本领。这几类典型的光栅包括：线光栅余弦型振幅光栅正弦型位相光栅矩形位相光栅,7、衍射光栅,线光栅,假设线光栅狭缝宽度为a，相邻狭缝的中心距为d，则光栅的透过率可表示为,若考虑光栅的大小限制，假设其为边长为L的正方形，则其透过率为：,其对应的频谱为,其对应的频谱为,图像啥样的？疏密程度由什么决定？分辨本领由什么决定？,7、衍射光栅,若采用单位振幅的单色平面波垂直照明光栅，其夫朗和费衍射图样的复振幅分布为：,则强度分布为,7、衍射光栅,余弦型振幅光栅,余弦型振幅光栅的透过率可以是0到1之间、或其中某一区间上的全部实数值，它以余弦波的形式对入射光波产生振幅调制，其复振幅透过率为,其中，m为调制系数，0是光栅频率，光栅的整体尺寸为LL。,7、衍射光栅,沿用与“线光栅”相同的分析过程，当采用单位振幅的单色平面波垂直照明光栅时，最终得到的夫琅和费衍射场的强度分布为：,*衍射图样只包含0、-1和+1级，而没有更高的级次，这是与线光栅的主要区别。,7、衍射光栅,正弦型位相光栅（略，参考教材P109-111)矩形位相光栅（略，参考教材P111-112),本章小结,1）本章用傅里叶分析的方法研究了光波在空间传播的现象，即衍射现象。通过研究我们发现光波在空间的传播满足线性系统的理论。2）基尔霍夫衍射理论和角谱理论从两个不同的角度研究了光波在空间的传播现象，即从空域和频域两个角度。3）衍射主要有两种类型，即菲涅耳衍射和夫琅和费衍射。我们可以利用线性系统理论研究这两种典型的衍射。4）夫琅和费衍射是实现傅里叶运算的一种物理手段，也是我们进行频谱分析的基础。要求会用matlab求任意形状孔径的夫琅禾费衍射图样。,作业：建议用Matlab验证,问题的思考：频谱展宽并不是对物波的频谱展宽，并没有提供更多物波的信息。那么增加的频谱来自哪里？是孔径。添加孔径后，物波穿过孔径后是新的物波，这个物波的频谱与原来的物波相比频谱的确展宽了。可以测试用不同的孔径（方孔，窗函数来测试）。频谱的展宽对成像是有利还是不利？与小孔成像原理有何不同？,emuch研究人员的家园,