信号与系统第1章.ppt

信号与系统,第一章 信号与系统概述（6学时）,第二章 连续系统的时域分析（4学时）,第三章 离散系统的时域分析（4学时）,第四章 傅立叶变换和系统的频域分析（13学时）,第五章 连续系统的S域分析（9学时）,第六章 离散系统的Z域分析（7学时）,第七章 系统函数（5学时）,第八章 系统的状态变量分析（6学时）,二、主要内容（54学时）,一、选用教材,信号与线性系统分析(第4版)，吴大正著，高等教育出版社，2005年版。,三、课程特点,四、学习目的,五、三个重要问题,专业基础课数学应用多基本概念和基本分析方法重要,掌握基本概念和分析方法培养逻辑分析能力,基本信号及其响应信号的分解LTI系统分析方法,七、考核方式,平时考勤+随堂测试+课堂表现（10%）课后作业情况（20%）期末闭卷笔试（70%）,六、学习方法,理解+记忆反复练习,八、课堂纪律,不得无故旷课、迟到上课手机静音，不得做与上课无关的事情认真听讲，积极回答问题,九、参考书目,信号与线性系统分析(第4版)，管致中著，高等教育出版社，2004年版。信号与系统(第3版)，郑君里著，高等教育出版社，2011年版。信号与系统，赵淑清著，哈尔滨工业大学出版社，2008年版。信号与系统(第2版)，奥本海姆著，电子工业出版社，2013年版。,十、问题与要求,第一章 信号与系统概述,1.1 绪论 一、信号的概念 二、系统的概念1.2 信号的描述与分类 一、信号的描述 二、信号的分类1.3 信号的基本运算 一、加法和乘法 二、时间变换1.4 阶跃函数和冲激函数,一、阶跃函数 二、冲激函数 三、冲激函数的性质 四、序列(k)和(k)1.5 系统的性质及分类 一、系统的定义 二、系统的分类及性质1.6 系统的描述 一、连续系统 二、离散系统1.7 LTI系统分析方法概述,1.消息(message):,2.信息(information):,人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。,信息量=收到消息前对某事件的无知程度-收到消息后对某事件的无知程度,一、信号的概念,思考问题：什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念连在一起？,1.1 绪论,第一章 信号与系统概述,消息：反映知识状态的改变。,通常把消息中有意义的内容称为信息。,学校的铃声声信号,3.信号(signal):,信号是信息的载体，通过信号传递信息。,信号我们并不陌生。,十字路口的红绿灯光信号,有线电视接收到信息电信号,广告牌上的文字、图象信号等,1.1 绪论,信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。,一般而言，系统(system)是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。,如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都可以看成信号。信号的概念与系统的概念常常紧密地联系在一起。,系统的基本作用是对信号进行传输和处理，将其转化为所需要的输出信号。,输入信号,激励,输出信号,响应,二、系统的概念,系统,1.1 绪论,举例：通信系统,信号源,发送设备,信道,接收设备,受信者,1.1 绪论,一、信号的描述,信号是信息的一种物理体现，它一般是随时间或位置变化的物理量。,信号按物理属性分：电信号和非电信号，它们可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于处理。,电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。,描述信号的常用方法：,本课程讨论电信号-简称“信号”。,（2）信号的图形表示-波形,（1）表示为时间的函数,“信号”与“函数”两词常相互通用。,1.2 信号的描述和分类,第一章 信号与系统概述,1.确定信号和随机信号,可用确定的时间函数表示的信号，称为确定信号或规则信号，如正弦信号,电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号就是两种典型的随机信号。,本课程研究确定信号。,若信号不能用确定的函数描述，它在任意时刻的取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性，如在某一时刻取某一值的概率，这类信号称为随机信号或不确定信号。,二、信号的分类,1.2 信号的描述和分类,2.连续信号和离散信号,(1)连续时间信号：,值域连续,值域不连续,在连续的时间范围内（-t+）有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。函数值为连续时常称为模拟信号。,这里的“连续”指函数的定义域时间是连续的，但可含间断点，至于值域可连续也可不连续。,根据信号自变量为连续/离散特点进行区分。,1.2 信号的描述和分类,(2)离散时间信号：,仅在一些离散的瞬间才有定义的信号，简称离散信号。取值为规定数值时常称为数字信号。,离散点间隔，Tk=tk+1-tk可以相等也可不等；通常取等间隔T，表示为f(kT)，简写为f(k)；等间隔的离散信号称为序列，其中k称为序号。,1.2 信号的描述和分类,上述离散信号可简画为：,用表达式可写为：,或写为：,对应某序号m的序列值称为第m个样点的“样值”。,1.2 信号的描述和分类,1.2 信号的描述和分类,数字信号：时间和幅值均为离散 的信号。,模拟信号：时间和幅值均为连续 的信号。,取样信号：时间离散的，幅值 连续的信号。,量化,取样,连续信号与模拟信号，离散信号与数字信号常通用。,3.周期信号和非周期信号,周期信号（period signal）是定义在(-，)区间，每隔一定时间T(或整数N），按相同规律重复变化的信号。,连续周期信号f(t)满足 f(t)=f(t+mT)，m=0,1,2,离散周期信号f(k)满足 f(k)=f(k+mN)，m=0,1,2,满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。,不具有周期性的信号称为非周期信号。,1.2 信号的描述和分类,连续周期信号举例,例1 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sint,解:（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为 1=2 rad/s，T1=2/1=s cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为 2=3 rad/s，T2=2/2=(2/3)s 由于T1/T2=3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数2。,（2）cos2t 和sint的周期分别为T1=s，T2=2 s，由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。,1.2 信号的描述和分类,例2 判断正弦序列f(k)=sin(k)是否为周期信号，若是，确定其周期。,解:f(k)=sin(k)=sin(k+2m)，m=0,1,2,仅当2/为整数时，正弦序列才具有周期N=2/。当2/为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为N=M(2/)，M取使N为整数的最小整数。当2/为无理数时，正弦序列为非周期序列。,1.2 信号的描述和分类,式中称为正弦序列的数字角频率，单位：rad。由上式可见：,例3 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(k)=sin(3k/4)+cos(0.5k)（2）f2(k)=sin(2k),解:（1）sin(3k/4)和cos(0.5k)的数字角频率分别为：1=3/4 rad，2=0.5 rad由于2/1=8/3，2/2=4为有理数，故它们的周期分别为N1=8，N2=4，故f1(k)为周期序列，其周期为N1和N2的最小公倍数8。（2）sin(2k)的数字角频率为 1=2 rad；由于2/1=为无理数，故f2(k)=sin(2k)为非周期序列。,1.2 信号的描述和分类,4能量信号与功率信号,将信号f(t)施加于1电阻上，它所消耗的瞬时功率为|f(t)|2，在区间(,)的能量和平均功率定义为,（1）信号的能量E,（2）信号的功率P,若信号f(t)的能量有界，即 E,则称其为能量有限信号，简称能量信号。此时 P=0,若信号f(t)的功率有界，即 P,则称其为功率有限信号，简称功率信号。此时 E=,1.2 信号的描述和分类,1.2 信号的描述和分类,相应地，对于离散信号，也有能量信号、功率信号之分。,若满足 的离散信号，称为能量信号。,若满足 的离散信号，称为功率信号。,时限信号(仅在有限时间区间不为零的信号)为能量信号;周期信号属于功率信号，而非周期信号可能是能量信号，也可能是功率信号。,有些信号既不是属于能量信号也不属于功率信号，如 f(t)=e t。,5一维信号和多维信号,本课程只研究一维信号，且自变量多为时间,一维信号：只由一个自变量描述的信号，如语音信号。,多维信号：由多个自变量描述的信号，如图像信号。,实信号与复信号,因果信号和反因果信号,还有其它分类，如：,1.2 信号的描述和分类,1.3 信号的基本运算,第一章 信号与系统概述,一、信号的加法和乘法运算,两信号f1()和f2()的相加或相乘指同一时刻两信号之值对应相加或相乘。,设两个连续信号f1(t)和f2(t)，则其和信号s(t)与积信号p(t)可表示为,同样，若有两个离散信号f1(k)和f2(k)，则其和信号s(k)与积信号p(k)可表示为,1.3 信号的基本运算,例1 连续信号的加法和乘法,1.3 信号的基本运算,例2 离散信号的加法和乘法,1.3 信号的基本运算,二、信号的时间变换运算,1.反转,将 f(t)f(t)，f(k)f(k)称为对信号f()的反转或反折。从图形上看是将f()以纵坐标为轴反转180o。如,没有可实现此功能的实际器件。数字信号处理中可以实现此概念，例如堆栈中的“后进先出”。,1.3 信号的基本运算,2.平移,将 f(t)f(t t0)，f(k)f(k k0)称为对信号f()的平移或移位。若t0(或k0)0，则将f()右移；否则左移。如,平移与反转相结合,法一：先平移f(t)f(t+2),再反转 f(t+2)f(t+2),法二：先反转 f(t)f(t),如图，画出 f(2 t)波形。,再平移 f(t)f(t+2),左移,右移,=f(t 2),注意：是对t 的变换！,1.3 信号的基本运算,1.3 信号的基本运算,3.尺度变换（横坐标展缩）,将 f(t)f(a t)，称为对信号f(t)的尺度变换。若a 1，则波形沿横坐标压缩；若0 a 1，则展开。如,对于离散信号，由于 f(a k)仅在为a k 为整数时才有意义，进行尺度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。,1.3 信号的基本运算,画出 f(3t+5)。,时移,尺度变换,尺度变换,时移,平移与展缩相结合,左移t t+5,t 3t 压缩,t 3t 压缩,左移t t+5/3,注意：是对t 的变换！,先平移再展缩,先展缩再平移,1.3 信号的基本运算,平移、反转、尺度变换相结合,已知f(t)，画出 f(4 2t)。,三种运算的次序可任意。但一定要注意始终对时间 t 进行。,先平移、再展缩、最后翻转,也可以先压缩、再平移、最后反转。,1.3 信号的基本运算,若已知f(4 2t)，画出 f(t)。,1.3 信号的基本运算,1.4 阶跃函数和冲激函数,第一章 信号与系统概述,阶跃函数 冲激函数是两个典型的奇异函数。阶跃序列和单位样值序列,函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。,1.4 阶跃函数和冲激函数,一、阶跃函数,下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。,选定一个函数序列n(t)如图所示。,1.4 阶跃函数和冲激函数,延迟单位阶跃信号,阶跃函数性质：,（1）可以方便地表示某些信号,f(t)=2(t)-3(t-1)+(t-2),（2）用阶跃函数表示信号的作用区间,（3）积分,1.4 阶跃函数和冲激函数,二、冲激函数,单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定义（由狄拉克最早提出）,函数值只在t=0时不为零；,积分面积为1；,t=0 时，为无界函数。,1.4 阶跃函数和冲激函数,对n(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t)。,求导,高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。,函数序列极限定义单位冲积函数,1.4 阶跃函数和冲激函数,n,冲激函数与阶跃函数关系：,1.4 阶跃函数和冲激函数,引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。如,f(t)=2(t+1)-2(t-1),f(t)=2(t+1)-2(t-1),1.4 阶跃函数和冲激函数,取样性冲激偶 尺度变换复合函数形式的冲激函数,冲激函数的性质,1.4 阶跃函数和冲激函数,1.取样性与普通函数 f(t)的乘积,如果f(t)在 t=0处连续，且处处有界，则有,对于平移情况：,1.4 阶跃函数和冲激函数,分t=0和t 0 两种情况讨论,当t 0 时，,(t)=0，,f(t)(t)=0，,(注意：当t 0 时),当t=0 时，,(t)0，,f(t)(t)=f(0)(t)，,(注意：当t=0 时),冲击函数取样性质证明,1.4 阶跃函数和冲激函数,0,(t),取样性质举例,1.4 阶跃函数和冲激函数,2.冲激偶,1.4 阶跃函数和冲激函数,利用全微分运算,整理上式,对两边同时积分，并利用式结论,1.4 阶跃函数和冲激函数,也可直接利用分部积分推导,平移,n阶导,例,1.4 阶跃函数和冲激函数,3.(t)的尺度变换,从 定义看：,pn(t)面积为1，强度为1,pn(at)面积为，强度为,1.4 阶跃函数和冲激函数,推论:,(1),(2)当a=1时,所以，(t)=(t)为偶函数，(t)=(t)为奇函数,对 两边进行求导，可得,1.4 阶跃函数和冲激函数,已知f(t)，画出g(t)=f(t)和 g(2t),1.4 阶跃函数和冲激函数,4.复合函数形式的冲激函数,f(t)图示说明：例f(t)=t2 4,(t2 4)=1(t+2)+(t 2),实际中有时会遇到形如f(t)的冲激函数，其中f(t)是普通函数。并且f(t)=0有n个互不相等的实根 ti(i=1，2，n),1.4 阶跃函数和冲激函数,(t 2 4)=1(t+2)+(t 2),一般地，,这表明，f(t)是位于各ti处，强度为 的n个冲激函数构成的冲激函数序列。,注意：如果f(t)=0有重根，f(t)无意义。,1.4 阶跃函数和冲激函数,（1）取样性,（2）奇偶性,（3）比例性,（4）微积分性质,（5）冲激偶,1.4 阶跃函数和冲激函数,这两个序列是普通序列。,（1）单位(样值)序列(k)的定义,取样性质：,f(k)(k)=f(0)(k),f(k)(k k0)=f(k0)(k k0),例,三、序列(k)和(k),1.4 阶跃函数和冲激函数,（2）单位阶跃序列(k)的定义,（3）(k)与(k)的关系,(k)=(k)(k 1),或,(k)=(k)+(k 1)+,1.4 阶跃函数和冲激函数,*广义函数和函数性质 作为常规函数，在间断点处的导数是不存在的。除间断点外，自变量t在定义域内取某值时，函数有确定的值。但前面介绍的单位阶跃信号(t)在间断点处的导数是单位冲激信号，函数在其惟一不等于零的点t=0处的函数值为无限大。显然，这些结论是与常规函数的定义相违背的，或者说，信号(t)和(t)已经超出了常规函数的范畴，故对这类函数的定义和运算都不能按通常的意义去理解。人们将这类非常规函数称为奇异函数或广义函数。,1.4 阶跃函数和冲激函数,1.广义函数的基本概念 如果把普通函数y=f(t)看成是对定义域中的每个自变量t，按一定的运算规则f指定一个数值y的过程，那么，可以把广义函数g(t)理解为是对试验函数集(t)中的每个函数(t)，按一定运算规则Ng分配(或指定)一个数值Ng(t)的过程。广义函数g(t)的定义为,1.4 阶跃函数和冲激函数,广义函数与普通函数的对应关系,1.4 阶跃函数和冲激函数,广义函数的基本运算包括：,（1）相等,若,则定义,（2）相加,若,1.4 阶跃函数和冲激函数,(3)尺度变换。,定义广义函数g(at)为,(4)微分。,定义广义函数g(t)的n阶导数g(n)(at)为,1.4 阶跃函数和冲激函数,2.函数的广义函数定义,按广义函数理论，函数定义为,当n时，在(-1/n,+1/n)区间上，(t)(0)，故有,1.4 阶跃函数和冲激函数,系统的定义 系统的分类及性质,1.5 系统的特性与分类,第一章 信号与系统概述,系统：具有特定功能的总体，可以看作信号的变换器、处理器。电系统是电子元器件的集合体。电路侧重于局部，系统侧重于整体。电路、系统两词通用。,一、系统的定义,1.5 系统的性质及分类,可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征，提出对系统进行分类的方法。常用的分类有：,连续系统与离散系统 动态系统与即时系统 单输入单输出系统与多输入多输出系统 线性系统与非线性系统 时不变系统与时变系统 因果系统与非因果系统 稳定系统与不稳定系统,二.系统的分类及性质,1.5 系统的性质及分类,连续(时间)系统：系统的激励和响应均为连续信号。,离散(时间)系统：系统的激励和响应均为离散信号。,混合系统：系统的激励和响应一个是连续信号，一个为离散信号。如A/D，D/A变换器。,1.连续系统与离散系统,1.5 系统的性质及分类,动态系统也称为记忆系统。若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统 或记忆系统。含有记忆元件(电容、电感等)的系统是动态系统。否则称即时系统或无记忆系统。,2.动态系统与即时系统,1.5 系统的性质及分类,单输入单输出系统：系统的输入、输出信号都只有一个。多输入多输出系统：系统的输入、输出信号有多个。,3.单输入单输出系统与多输入多输出系统,1.5 系统的性质及分类,（1）线性性质：齐次性和可加性,可加性：,齐次性：,f()y(),y()=T f()f()y(),a f()a y(),f1()y1(),f2()y2(),f1()+f2()y1()+y2(),af1()+bf2()ay1()+by2(),综合，线性性质：,4.线性系统与非线性系统,Taf()=aTf(),Tf1()+f2()=Tf1()+Tf2(),Taf1()+bf2()=aTf1()+bTf2(),满足线性性质的系统称为线性系统。,1.5 系统的性质及分类,（2）动态系统是线性系统的条件,动态系统不仅与激励 f()有关，而且与系统的初始状态x(0)有关。初始状态也称“内部激励”。,完全响应可写为 y()=T f(),x(0)零状态响应为 yzs()=T f(),0零输入响应为 yzi()=T 0，x(0),1.5 系统的性质及分类,当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：,零状态线性：Ta f(),0=a T f(),0 Tf1(t)+f2(t),0=T f1(),0+T f2(),0或Taf1(t)+bf2(t),0=aT f1(),0+bT f2(),0,零输入线性：T0,ax(0)=aT 0,x(0)T0,x1(0)+x2(0)=T0,x1(0)+T0,x2(0)或T0,ax1(0)+bx2(0)=aT0,x1(0)+bT0,x2(0),可分解性：y()=yzs()+yzi()=T f(),0+T 0，x(0),1.5 系统的性质及分类,例1：判断下列系统是否为线性系统？（1）y(t)=3 x(0)+2 f(t)+x(0)f(t)+1（2）y(t)=2 x(0)+|f(t)|（3）y(t)=x2(0)+2 f(t),解：（1）yzs(t)=2 f(t)+1，yzi(t)=3 x(0)+1显然，y(t)yzs(t)yzi(t)不满足可分解性，故为非线性（2）yzs(t)=|f(t)|，yzi(t)=2 x(0)y(t)=yzs(t)+yzi(t)满足可分解性；由于 Ta f(t),0=|af(t)|a yzs(t)不满足零状态线性。故为非线性系统。（3）yzs(t)=2 f(t),yzi(t)=x2(0)，显然满足可分解性；由于T 0,a x(0)=a x(0)2 a yzi(t)不满足零输入线性。故为非线性系统。,1.5 系统的性质及分类,例2：判断下列系统是否为线性系统？,解：,y(t)=yf(t)+yx(t)，满足可分解性；,Ta f1(t)+b f2(t),0,=aTf1(t),0+bT f2(t),0，满足零状态线性；,T0,ax1(0)+bx2(0)=e-tax1(0)+bx2(0)=ae-tx1(0)+be-tx2(0)=aT0,x1(0)+bT0,x2(0),满足零输入线性；,所以，该系统为线性系统。,1.5 系统的性质及分类,5.时不变系统与时变系统,系统的参数都是常数，它们不随时间变化，称为时不变系统。,（1）时不变性质,f(t)yzs(t),f(t-td)yzs(t-td),系统满足输入延迟多少时间，其零状态响应也延迟多少时间,若Tf(t)，0=yzs(t)则Tf(t-td)，0=yzs(t-td),1.5 系统的性质及分类,（2）LTI连续系统的微分特性和积分特性,本课程重点讨论线性时不变系统(Linear Time-Invariant)，简称LTI系统。,微分特性：若 f(t)yzs(t)，则 f(t)yzs(t),对零状态系统 f(t)yzs(t),f(t-t)yzs(t-t),根据时不变性质，有,利用线性性质得,t 0 得,证明：,1.5 系统的性质及分类,积分特性：,若 f(t)yzs(t)，则,对零状态系统 f(t)yzs(t),f(t-nx)yzs(t-nx),根据时不变性质，有,利用线性性质得,证明：,f(t-nx)x yzs(t-nx)x,x0 得,变量替换，得,1.5 系统的性质及分类,例：判断下列系统是否为时不变系统？（1）yzs(k)=f(k)f(k 1)（2）yzs(t)=t f(t)（3）yzs(t)=f(t),解(1)令g(k)=f(k kd)T0，g(k)=g(k)g(k 1)=f(k kd)f(kkd 1)而 yzs(k kd)=f(k kd)f(kkd 1)显然 T0，f(k kd)=yzs(k kd)故该系统是时不变的。(2)令g(t)=f(t td)T0，g(t)=t g(t)=t f(t td)而 yzs(t td)=(t td)f(t td)显然 T0，f(t td)yzs(t td)故该系统为时变系统。,1.5 系统的性质及分类,(3)令g(t)=f(t td),T0，g(t)=g(t)=f(t td)而 yzs(t td)=f(t td)，显然 T0，f(t td)yzs(t td)故该系统为时变系统。,直观判断方法：若f()前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。,判断下列yzs(t)=f(t)是否为时不变系统？,1.5 系统的性质及分类,6.因果系统与非因果系统,因果系统：指零状态响应不会出现在激励之前的系统。,即对因果系统，当t t0，f(t)=0时，有t t0，yzs(t)=0。,输出不超前于输入。,判断方法：,1.5 系统的性质及分类,如下列系统均为因果系统：,yzs(t)=3f(t 1),而下列系统为非因果系统：,(1)yzs(t)=2f(t+1),(2)yzs(t)=f(2t),因为，令t=1时，有yzs(1)=2f(2),因为，若f(t)=0，t t0，有yzs(t)=f(2t)=0,t 0.5 t0。,1.5 系统的性质及分类,例 某LTI因果连续系统，起始状态为x(0)。已知，当x(0)=1，输入因果信号f1(t)时，全响应 y1(t)=e t+cos(t)，t0；当x(0-)=2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，全响应 y2(t)=2e t+3 cos(t)，t0；求输入f3(t)=+2f1(t-1)时，系统的零状态响应y3f(t)。,解 设当x(0)=1，输入因果信号f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y1zi(t)、y1zs(t)。当x(0-)=2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y2zi(t)、y2zs(t)。,1.5 系统的性质及分类,由题中条件，有y1(t)=y1zi(t)+y1zs(t)=e t+cos(t)，t0（1）y2(t)=y2zi(t)+y2zs(t)=2e t+3 cos(t)，t0（2）根据线性系统的齐次性：y2zi(t)=2y1zi(t)，y2zs(t)=3y1zs(t)代入式（2）得y2(t)=2y1zi(t)+3y1zs(t)=2et+3cos(t)，t0（3）式(3)2式(1)，得 y1zs(t)=4e-t+cos(t)，t0由于y1zs(t)是因果系统对因果输入信号f1(t)的零状态响应，故当t0，y1zs(t)=0；因此y1zs(t)可改写成 y1zs(t)=4e-t+cos(t)(t)（4）,1.5 系统的性质及分类,f1(t)y1zs(t)=4e-t+cos(t)(t),根据LTI系统的微分特性,根据LTI系统的时不变特性,f1(t1)y1zs(t 1)=4+cos(t1)(t1),由线性性质，得：当输入f3(t)=+2f1(t1)时，,y3f(t)=+2y1zs(t1)=3(t)+4sin(t)(t)+24+cos(t1)(t1),1.5 系统的性质及分类,实际的物理可实现系统均为因果系统,非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信号的压缩、扩展，语音信号处理等。若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。,因果信号,可表示为：,t=0接入系统的信号称为因果信号。,1.5 系统的性质及分类,7.稳定系统与不稳定系统,一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的零状态响应yzs(.)也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出稳定，简称稳定。即 若f(.)，其yzs(.)则称系统是稳定的。,如yzs(k)=f(k)+f(k-1)是稳定系统；而,是不稳定系统。,因为，当f(t)=(t)有界，,当t 时，它也，无界。,1.5 系统的性质及分类,1.6 系统的描述,第一章 信号与系统概述,系统的数学模型：系统物理特性的数学抽象。系统的框图描述：形象地表示其功能。系统分析方法概述,一、系统的数学模型,描述连续动态系统的数学模型是微分方程描述离散动态系统的数学模型是差分方程。,1.连续系统微分方程,图示RLC电路，以uS(t)作激励，以uC(t)作为响应，由KVL和VAR列方程，并整理得,二阶常系数线性微分方程。,1.6 系统的描述,抽去具有的物理含义，微分方程写成,这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。,其中，k为弹簧常数，M为物体质量，C为减振液体的阻尼系数，x为物体偏离其平衡位置的位移，f(t)为初始外力。其运动方程为,能用相同方程描述的系统称相似系统。,1.6 系统的描述,2.离散系统差分方程,例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为元/月，求第k个月初存折上的款数。设第k个月初的款数为y(k),这个月初的存款为f(k),上个月初的款数为y(k-1)，利息为y(k-1),则 y(k)=y(k-1)+y(k-1)+f(k)即 y(k)-(1+)y(k-1)=f(k)若设开始存款月为k=0，则有y(0)=f(0)。上述方程就称为y(k)与f(k)之间所满足的差分方程。所谓差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数。上述为一阶差分方程。,1.6 系统的描述,由n阶差分方程描述的系统称为n阶系统。描述LTI系统的是线性常系数差分方程。,例：下列差分方程描述的系统，是否线性？是否时不变？并写出方程的阶数。（1）y(k)+(k 1)y(k 1)=f(k)（2）y(k)+y(k+1)y(k 1)=f2(k)（3）y(k)+2 y(k 1)=f(1 k)+1,解：判断方法：方程中均为输出、输入序列的一次关系项，则是线性的。输入输出序列前的系数为常数，且无反转、展缩变换，则为时不变的。,线性、时变，一阶,非线性、时不变，二阶,非线性、时变，一阶,1.6 系统的描述,连续系统的基本单元 离散系统的基本单元 系统模拟,上述方程从数学角度来说代表了某些运算关系：相乘、微分（差分）、相加运算。将这些基本运算用一些基本单元符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系，这样画出的图称为模拟框图，简称框图。,二系统的框图描述,1.6 系统的描述,延时器,加法器,积分器,数乘器,乘法器,1.连续系统的基本单元,1.6 系统的描述,加法器,迟延单元,数乘器,2.离散系统的基本单元,1.6 系统的描述,3、系统模拟：,实际系统方程模拟框图 实验室实现（模拟系统）指导实际系统设计,例1：已知y”(t)+ay(t)+by(t)=f(t)，画框图。,解：将方程写为 y”(t)=f(t)ay(t)by(t),1.6 系统的描述,例2：已知y”(t)+3y(t)+2y(t)=4f(t)+f(t)，画框图。,解：该方程含f(t)的导数，可引入辅助函数画出框图。设辅助函数x(t)满足 x”(t)+3x(t)+2x(t)=f(t)可推导出 y(t)=4x(t)+x(t)，它满足原方程。,1.6 系统的描述,例3：已知框图，写出系统的微分方程。,设辅助变量x(t)如图,x(t),x(t),x”(t),x”(t)=f(t)2x(t)3x(t),即x”(t)+2x(t)+3x(t)=f(t),y(t)=4x(t)+3x(t),根据前面，逆过程，得,y”(t)+2y(t)+3y(t)=4f(t)+3f(t),1.6 系统的描述,例4：已知框图，写出系统的差分方程。,解：设辅助变量x(k)如图,x(k),x(k-1),x(k-2),即 x(k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k)y(k)=4x(k-1)+5x(k-2)消去x(k)，得 y(k)+2y(k-1)+3y(k-2)=4f(k-1)+5f(k-2),x(k)=f(k)2x(k-1)3x(k-2),方程框图用变换域方法和梅森公式简单，后面讨论。,1.6 系统的描述,1.7 LTI系统分析概述,系统分析研究的主要问题：对给定的具体系统，求出它对给定激励的响应。具体地说：系统分析就是建立表征系统的数学方程并求出解答。,系统的分析方法：,输入输出法（外部法）,状态变量法（内部法）（chp.8),外部法,时域分析（chp.2,chp.3),变换域法,连续系统频域法(4)和复频域法(5),离散系统z域法（chp6),系统特性：系统函数（chp.7),第一章 信号与系统概述,（1）把零输入响应和零状态响应分开求。（2）把复杂信号分解为众多基本信号之和，根据线性系统的可加性：多个基本信号作用于线性系统所引起的响应等于各个基本信号所引起的响应之和。,求解的基本思路：,采用的数学工具：,（1）卷积积分与卷积和（2）傅里叶变换（3）拉普拉斯变换（4）Z变换,1.7 系统分析概述,1-1波形绘制和冲激函数,一、画出下列个信号的波形式中r(t)=t(t)为斜升函数,(1)f1(t)=(t)r(2-t),解:f1(t)=(t)(2-t)(2-t)=(2-t)(t)(2-t),(2)f2(t)=r(t)(2-t),解:f2(t)=t(t)(2-t),0,2,2,(2)f3(k)=k(k)-(k-4),(4)f4(k)=2k(3-k)-(-k),解:可以先画(3+k)-(k)再反转,二、信号f(t)的波形如图所示，会出下列函数的波形。,(1)f(2-0.5t),(1)分析：容易判断反转和平移后的大致图形，利用特殊点f(2)、f(4)和f(10)确定具体的曲线,(2)分析：先得到f(0.5t-1)的图形，再求导画出最终曲线,2-0.5(-16)=102-0.5(-4)=42-0.5(0)=2,三、已知信号f(3-2t)的波形如图所示，试分别画出f(t)和 的波形。,(1)分析：容易判断展缩、反转和平移后的大致图形，利用特殊点f(2)、f(6)和f(8)确定f(t)具体的曲线，进而求导。,3-22=-1；3-26=-9；3-28=-13,1-2连续系统方程与性质,一、图示电路，写出以ic(t)为响应的微分方程。,分析：ic(t)比uc(t)高一阶，uL(t)比iL(t)高一阶。为了避免积分符号，以iL(t)自变量列KCL方程,二、某LTI连续系统，其初始状态一定，已知当激励为f(t)时，其全响应y1(t)=6e-2t-5e-3t，t0；当系统的初始状态不变，激励为3f(t)时，其全响应y2(t)=8e-2t-7e-3t，t0；求激励为2f(t)时，系统的零状态响应yzs(t)。,解：根据LTI连续系统的线性性质，以及已知条件，可以得到,由以上方程可以得到,五、试判别下列零状态响应系统是否为时不变系统，并写出判断过程。,解：令g(t)=f(t td),则零状态响应等于 T0，g(t)=g(t)=f(t td)而 y(t td)=f(t td)，显然 T0，f(t td)yzs(t td)故该系统为时变系统。,