信号与系统课件-第三章33频率抽样理论.ppt

3.3 频率抽样理论,的离散傅立叶级数 的主值序列，即,由DFT和DFS的关系知，是 以N为周期的周期延拓序列,一，频域采样定理,时域无混叠由N个 可以恢复得到X(z),故：N M 为频率抽样（不失真）条件,若 MN,所以,频域采样定理：,则只有当 时，才能由X(k)恢复出 和，否则产生时域混叠现象。,且,二，内插函数,通过内插函数恢复出 或,设序列 长度为M，在频域02之间等间隔采样N点，,内插函数,其中,内插公式,1.内插函数是连续函数 例如：N=4时，图示如右,2.相应的系数：即样本值（原来的抽样点正好是插值点）,把 代入,其中,小结：,3.4 DFT的应用举例,3.4.1 用DFT计算线性卷积,一，用DFT计算循环卷积,且,由时域循环卷积定理有,下图为用DFT计算循环卷积的框图,二，线性卷积和循环卷积的关系及循环卷积与线性卷积相等的条件,和 都是有限长序列，长度分别是N1和N2，,线性卷积,循环卷积,因为,所以,等于 以N为周期的周期延拓序列的主值序列,N1+N21点,N点,只有当 时，以N为周期进行周期延拓才无混叠现象,此时取其主值序列满足,结论：,三，利用DFT求线性卷积和,实际上，直接作线性卷积有时很麻烦，但用DFT计算就方便（尤其还有DFT的快速运算法:FFT）,四，当输入长序列信号时，如何利用DFT求系统的输出,若 输入序列x(n)的宽度N很大，而h(n)的宽度不太大,直接对整个长序列x(n)作DFT的话，运算工作量很大（N很大）,为此，将长序列分段计算，分段处理有重叠相加法和重叠保留法两种。,1,重叠相加法,卷积长度为L+M-1,各段相加，即为输出,假设将x(n)的宽度N均匀分成P段:N=PL，h(n)的长度是M,重叠相加法步骤：,1 将x(n)分段，段长M与N近似：,2 将各分段数据xk(n)和h(n)补零到L=N+M-1点，即xk(n)补N-1点零，h(n)补M-1点零；,3 求各分段数据xk(n)的DFT：Xk(k)；,4 将各分段数据的DFTXk(k)与事先算好的系统脉冲响应h(n)的DFTH(k)逐点相乘：,5 对Yk(k)用FFT求其IDFT，得到各分段数据的卷积：,6 将各个yk(n)相加，重叠部分逐点相加，即得到最终的卷积结果序列y(n)。,2,重叠保留法,重叠保留法（Overlap Save Method）,在重叠相加法中若在实现快速卷积时各分段补零的部分不是补零，而是保存原序列中的数据，这样来求得卷积的方法称为“重叠保留法”。,重叠保留法的处理过程为：,1 先将x(n)分解成：,其分段情况可如下图说明。,L-(N-1),L-1,L-1,L-1,2 算出：,3 抛弃yk(n)的前N-1个卷积混淆点，如后图所示；,4 将各个yk(n)顺序连接起来，即得到最终的卷积结果序列y(n)。,L-1,L-1,L-1,N-1,3.4.2 用DFT对信号进行谱分析,一，用DFT对连续信号进行谱分析,信号时间宽度与带宽的制约关系：,若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；若频谱有限宽，则持续时间无限长。,严格讲，持续时间有限的带限信号是不存在的。,以下分析假设 是经过预滤波和截取处理的有限带限信号,所以，用DFT对连续信号进行谱分析必然是近似的。,分析过程：对 进行时域采样，得到，再对 进行DFT，得到的X(k)是x(n)的傅立叶变换 在频率区间0,2上的N点等间隔采样。,1、设连续 的持续时间为Tp，最高频率为fc，其傅立叶变换为,对 以采样间隔T采样得,其中,且满足,设共采样N点，,如下图a示,用DFT计算连续信号频谱原理,则有,Tp/2,-Tp/2,2、同样由,推出,连续信号的频谱特性，可以通过对连续信号的采样，并进行DFT再乘以T的近似方法得到。时域采样信号可由上式导出。,栅栏效应：由 只能看到 在N个采样点上得离散值，而看不到其全部频谱特性，有可能漏掉较大的频率分量。,如果 持续时间无限长，上述分析中要进行截断处理，会产生频率混叠和泄漏现象，使谱分析产生误差。,3、下面讨论上述问题产生的原因及改进措施。,理想低通滤波器的单位冲激响应 及其频率响应函数 分别如下图示,假设,采样间隔,即,采样点数,频域采样间隔,其中,分析H(k),为减少截断误差，可适当加长Tp，增加采样点数N，或用窗函数处理后再进行DFT。,谱分析范围受采样频率fs限制，常取0 fs/2 或-fs/2fs/2,频率分辨率F表征谱分析中能够分辨的两个频谱分量的最小间隔，显然F越小，谱分析性能越好。使用DFT时,在频率轴上所能得到的最小频率间隔。,用DFT对连续信号谱分析的参数选择原则：,为提高谱分辨率，又不减少谱分析范围，必须增长记录时间，增加采样点数。,混叠效应解决:fs(35)fh 预滤波截断效应,（2）选定F后，进一步确定作DFT所需点数N，常取2的整数幂,（3）由F与N确定所需模拟信号的长度,补零不能提高频率分辨率，它的优点:（1）利于FFT（2）可以克服栅栏效应，使谱外观得到平滑，还可以消除频域泄漏现象,二，用DFT对序列进行谱分析,1、对周期为N的序列，其频谱函数为,所以可用 表示 的频谱结构.,序列的傅立叶变换可利用DFT（FFT）来计算。,只要截取长度M等于 的整数个周期进行DFT，即MmN，就可以分析,当k=rm时，,当为其它时，,可见，也可以表示 的频谱结构，,利用DFT对序列进行谱分析,序列x(n)的频谱（付氏变换）就是序列在单位圆上的Z变换，它是关于的连续周期函数。,对以N为周期的周期序列 求其DFS，以所求出的DFS系数作为各谱谐波分量幅度形成其频谱函数：,对N点有限长序列x(n)做N点DFT变换，由DFT的物理意义知，X(k)是其频谱 在区间0，2上的N点等间隔取样，由频域取样定理知，X(k)包含 全部信息。因此求得了x(n)的DFT就可由它分析频谱了。,仍为以2为周期的周期函数。,截取 的整数个周期做DFT，也能获得 的频谱。,利用DFT进行谱分析的误差,对模拟信号利用DFT进行谱分析，必须时域采样，采样应满足采样定理，否则在高频段（即或f=fs/2附近）会发生频谱混叠现象。,用较大的采样频率（fs=(35)fh）对模拟信号采样，以尽可能减小频谱混叠的影响。,在采样前对模拟信号进行限带滤波，滤除带外谐波和噪声；,为了避免或减小混叠现象，应注意：,混叠现象,栅栏效应,利用DFT分析信号频谱，是从信号频谱的N点采样值分析研究频谱特性的，这就好象通过有N+1个栅栏的N个栏缝来观察信号频谱，仅看到通过N个栏缝看到的频谱值，有可能漏掉一些重要频谱值，这种现象称为“栅栏效应”。,改善栅栏效应的措施是增加频谱采样点数，即在时域通过在序列末尾补零的方法增加DFT的采样点数，提高频谱分辨率。,截断效应,在实际应用中，信号序列可能是充分长（或无限长），而在用DFT进行谱分析时，由于各种条件的原因，有时需要对序列截短，利用截短序列求得的频谱与原信号频谱肯定具有误差，由截短引起的误差称为截断效应。,截断效应分析,设某无限长序列x(n)的频谱为，N点门函数RN(n)的频谱为：,按截断的思路，截短信号序列可表为：,这样，截短序列的频谱，按卷积定理可得：,显见在上式中，要截断无误差（即,），则只有：,亦即用无限宽的矩形窗函数取截断。,截断效应的主要影响,泄漏：信号频谱从其所占有的频段向其它频段展宽的现象称为泄漏。,从而的结论：只要对序列截断，则一定存在截断效应。,例如，x(n)=cos(n/4)，易得其频谱为：,经截断后，使原来的离散线谱向附近区域展宽。泄漏使信号频谱变模糊，使谱分辨率降低。,谱间干扰：一般而言，频谱主要能量所占频率范围称为频谱的主瓣，除此外，其它频率范围的频谱形成旁瓣。由于截断窗函数旁瓣的影响（通过卷积），使得信号频谱不同分量间形成干扰，称作谱间干扰。谱间干扰可能造成谱的假峰或淹没谱的小峰，使频谱分析造成误差。,3 但是在N一定条件下，旁瓣越小，其窗函数主瓣就越宽。即只能通过降低谱分辨率为代价，换取减小谱间干扰。,1 增大N可使窗函数主瓣变窄，提高频谱分辨率；,减小截断效应影响的措施,2 增大N对旁瓣无影响，为了减小谱间干扰，应选择其它旁瓣小而少的非矩形窗函数来截断。,ChirpZ变换,*频域分辨率取决于N，分辨率与计算量是一对矛盾；,*频域N点是均匀的，具有相同的分辨率。在有些应用中，可能要求一段频谱分辨率高，另一些频率范围要求低，DFT很难适应；,*输入与输出点数相同，灵活性低；,*DFT在整个谱中计算，有时是无必要的；,DFT局限：,*DFT在单位圆上计算取样，而有的应用需要在Z平面的其它区域取样分析。,CZT的定义,若希望z可从任意点开始以螺旋线规律变化，可设：,式中，复变量z由极坐标可写作,Chirp-Z变换由雷达信号处理引入，在雷达中称“线性调频信号”为Chirp信号，故称Chirp-Z变换，简写CZT。,N点序列x(n)的Z变换定义：,式中，A0，W0为任意实数，为起始角，为在Z平面上相邻的zk（即zk与zk1，k=0,1,2,.）之间的夹角。A决定CZT的起始位置，W决定z域样点曲线的曲率。,于是，N点序列x(n)的CZT定义为：,与DFT不同，N点x(n)的CZT是M个频域点。它是分布在一段螺旋线上的频域点。,CZT定义中各参数的意义可由图说明。,CZT可与线性系统联系起来，可由线性滤波来计算CZT。,由,CZT的定义可写作：,CZT的线性滤波计算方案,若令,并代入上式，则有：,式中,由此易见，CZT可由图所示系统实现计算。,CZT计算方法 计算步骤：,4 对h(n)循环移位并取 点，以便与 对齐，即：,3 确定输出点数M，选择LN+M-1，而且L应适合作FFT运算，有,2 x(n)与 相乘，得y(n),n=0,1,.,N-1；,1 根据CZT分析初始点和分析曲线曲率确定A和W；,其移位情况可如下图示意：,分别做 和 的L点FFT得 和，通常，W预先确定，则 可先算好，无需实时运算。求，为L点序列。做 的IFFT得v(n)，取v(n)的n0，M-1M点。变换变量，令v(n)=V(k)，计算，k=0,1,M-1，求得。,CZT的优点N与M无关，可以任意选取频域序列长度；可随意选定，调整 的分辨率；起始频率(z0)可以任意选定，即可考察任意一段频谱。选W01，CZT可适用于计算非单位园上频域点，W01，随着k增大分析曲线以步长 向内盘旋。当A1，M=N，时，zk均匀分布在Z平面的单位圆上，此时的CZT变换就是序列的DFT。亦即，DFT是CZT的特例。,