自动控制原理的数学模型.ppt
5/24/2023,1,第二章 控制系统的数学模型,5/24/2023,2,知识点,1、了解建立系统微分方程的一般方法；2、掌握运用拉氏变换解微分方程的方法；3、牢固掌握传递函数的概念、定义和性质；4、明确传递函数与微分方程之间的关系；5、能熟练地进行结构图等效变换；6、明确结构图与信号流图之间的关系；7、熟练运用梅逊公式求系统的传递函数；8、掌握从不同途径求传递函数的方法。,5/24/2023,3,1.定义：数学模型(mathematical model)是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。,数学模型基础,2.建立数学模型的目的 建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。,5/24/2023,4,3.建模方法,时 域：微分方程、差分方程和状态方程复数域：传递函数、结构图频 域：频率特性,5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径,4.常用数学模型,5/24/2023,5,2-1 控制系统的时域数学模型,数学模型：描述控制系统变量（物理量）之间动态关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、传递函数、结构图、信号流图、频率特性以及状态空间描述等。,例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行分析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第一步也是最重要的一步。,控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非线性系统，定常系统和时变系统。,5/24/2023,6,线性系统：如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。叠加原理说明，两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等于两个作用函数单独作用的响应之和。,线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个地处理，然后对每一个输入量响应的结果进行叠加。,线性定常系统和线性时变系统：可以用线性定常（常系数）微分方程描述的系统称为线性定常系统。如果描述系统的微分方程的系数是时间的函数，则这类系统为线性时变系统。,宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的质量随着燃料的消耗而变化）。,5/24/2023,7,经典控制理论中（我们所正在学习的），采用的是单输入单输出描述方法。主要是针对线性定常系统，对于非线性系统和时变系统，解决问题的能力是极其有限的。,非线性系统：如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。,下面是非线性系统的一些例子：,5/24/2023,8,微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。,控制系统的微分方程,1、线性元件的微分方程,5/24/2023,9,试列写质量m在外力F作用下位移y(t)的运动方程。,例2.1 图为机械位移系统。,例2.2 如图RLC电路，试列写以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程。,整理得:,解:阻尼器的阻尼力:弹簧弹性力:,解:,返回,动画演示,5/24/2023,10,列写元件微分方程的步骤,1）根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入、输出变量；2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理规律或化学规律，列写相应的微分方程；3）消去中间变量，得到输入、输出变量之间关系的微分方程；4）变换成标准形式（与摄入量有关的项在右端，与输出量有关的项在左端，导数按降幂排列）。,5/24/2023,11,由原理图画出方块图，并分别列写组成系统各元部件的微分方程；消去中间变量，得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程。,信号传递的单向性，前一个元件的输出是后一个元件的输入。前后连接的两个元件，后级对前级的负载效应（如无源网络输入阻抗对前级的影响，齿轮系对电动机转动惯量的影响等）,线性系统微分方程的编写步骤,2、控制系统微分方程的建立,注意：,5/24/2023,12,例2.3：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。,线性系统微分方程的编写例子例2-6,5/24/2023,13,各环节微分方程：,5/24/2023,14,5/24/2023,15,3、线性系统的特性,(1)线性系统是指用线性微分方程描述的系统，其重要性质是可以应用叠加原理。(2)叠加原理具有可叠加性和均匀性。,5/24/2023,16,4、线性定常微分方程的求解,直接求解法：通解+特解 自由解+强迫解(零输入响应+零状态响应),变换域求解法：Laplace 变换方法,5/24/2023,17,例2.4 在例2-1中，若已知L=1H，C=1F，R=1，且电容上初始电压，初始电流i（0）0.1A，电源电压，试求电路突然接通电源时，电容电压 的变化规律。,5/24/2023,18,解：在上第二例中已求得网络微分方程为令，且,5/24/2023,19,由于对 求拉氏反变换，得,分别对各项求拉氏变换并整理后有,5/24/2023,20,如果输入电压是单位脉冲量，则单位脉冲响应为,5/24/2023,21,利用拉氏变换的初值定理，的初值为,利用拉氏变换的终值定理，的终值为,5/24/2023,22,用拉氏求解线性定常微分方程的过程可归结如下：,1)考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程；,2)由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；,3)对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。,5/24/2023,23,5、非线性微分方程的线性化,为什么要研究非线性方程的线性化问题？系统、元件非线性特性的普遍存在性；精确描述系统的动态方程通常为非线性微分方程；高阶非线性微分方程除计算机求解外，无一般形式的解，这给研究系统带来理论上的困难；线性微分方程理论比较成熟。,5/24/2023,24,图2-5 非线性特性,5/24/2023,25,5、非线性微分方程的线性化切线法或小偏差法,切线法或小偏差法：是在一个很小范围内，将非线性特性用一段直线来代替。特别适用于具有连续变化的非线性特性函数。,在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。,5/24/2023,26,1、对弱非线性的线性化对于2-5(a)，当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性；对于2-5(b)、(c)，当死区或间隙很小时，也可近似为放大特性。,5/24/2023,27,2、平衡位置的小偏差线性化,设连续变化的非线性函数y=f(x)，如下图，取某平衡状态A为工作点，对应有；当 时，有 设函数y=f(x)在()点连续可微，则将它在该点附近用泰勒级数展开,5/24/2023,28,当增量()很小时，略去其高次幂项，则有令，则线性化方程可简记为略去增量符号，便得函数y=f(x)在工作点A附近的线性化方程为 y=Kx。式中，是比例系数，它是函数f(x)在A点的切线斜率。,5/24/2023,29,若非线性函数具有两个自变量，如z=f(x,y)，则在平衡点展成Talor级数后的线性方程为经上述处理，有些非线性关系可以近似用线性关系表示，简化问题研究。但是对于强非线性情况（图2-5(d)），不可能对其进行线性化处理，只能采用非线性理论来分析。,5/24/2023,30,一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是：t0时，f(t)=0；t0时，f(t)分段连续；F(s)象函数，f(t)原函数。记 为反拉氏变换。,定义：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定义域t0，那么下式即是拉氏变换式：,式中s为复数。记作,复习拉氏变换,6、复习拉氏变换,5/24/2023,31,线性性质：,微分定理：,积分定理：,时滞定理：,初值定理：,复习拉氏变换,性质：,5/24/2023,32,终值定理：,卷积定理：,常用函数的拉氏变换：单位阶跃函数：单位脉冲函数：单位斜坡函数：单位抛物线函数：正弦函数：其他函数可以查阅相关表格获得。,复习拉氏变换,5/24/2023,33,小结,控制系统微分方程的列写；线性定常微分方程的求解（用拉氏变换法）；非线性环节的线性化；拉氏变换及性质。,
