重积分的应用.ppt

4 重 积 分 的 应 用,一.曲面的面积,在,上,有连续偏导数,、,1、设曲面,现在来求曲面,的面积,我们用二重积分的元素法来求曲面,的面积。,曲面,的面积是分布在闭区域,上的,将闭区域,任分为,若干个小闭区域，,然后，任取一个,小闭区域,分布在它上的那部分,曲面的面积记为,记,的面积为,曲面,的面积,即,则曲面,的面积,类似地，,若曲面,说明,则曲面,的面积,若曲面,例1,求曲面,被柱面,所截下的那部分的面积。,解,所求曲面面积,即,例2,求半径为,的球的表面积。,解,上半球面的方程：,它在,上的投影为,所求曲面面积,被积函数,在积分区域,上,是无界的,此积分不是二重积分,因而，不能直接用,曲面面积公式来求。,设,作一个小闭区域,，,分布在,上的那部分球面面积为,即,上半球面的面积,整个球面的面积为,说明,是反常二重积分，即,2、设曲面,的参数方程为：,，,是平面有界闭区域，,在,上具有连续的一阶偏导数，且,、,、,不全为零,求曲面,的面积,设由方程组,确定了函数,则,曲面,的面积,(1),(2),(3),不妨设,，则根据隐函数存在定理得:,可确定：,用隐函数求导法，得,由(1)(2),(P88,例4),+,+,由二重积分的换元公式，得,=,=,=,即,其中,例3 设有一颗地球同步轨道通讯卫星，距地面,，运行的角速度与地球,自转的角速度相同。试计算该通讯卫星的覆盖,的高度,面积。,地球半径,(,),解,设从卫星中心到地面的距离,为,地球半径为,。,的方程：,为参数。,即：该通讯卫星的覆盖面积,作业,P175,1,2,3,