偏导数同济大学.ppt

一、偏导数的定义及其计算法,二、高阶偏导数,三、小结,第二节 偏导数,一、偏导数的定义及其计算法 1、偏增量的概念,设 在点 的某个邻域内有定义，,当 从 取得改变量,而 保持不变时，函数 得到一个改变量,称为 在点 关于 的偏增量.,称为 在点 关于 的偏增量.,2、二元函数在点(x0,y0)的偏导数,记为,注意:,记为,3、偏导函数,偏导数的概念可以推广到三元以上函数,如 在 处对 x 的偏导数,4、偏导数求法,(1)求关于 x 的偏导数，把 z=f(x,y)中的 y 看成常数，对 x 仍用一元函数求导法求偏导.,(2)求关于 y 的偏导数，把 z=f(x,y)中的 x 看成常数，对 y 仍用一元函数求导法求偏导.,证,原结论成立,解,法一 先求偏导数再代入具体点.,法二先固定 y=2 或 x=1，再对 x 或 y 求偏导数.,解法2:,求 的两种常用方法：,法一 先求偏导数再代入具体点.,法二 先将,但法二并不总是适用，如求,5、有关偏导数的几点说明：,例5 已知理想气体的状态方程（为常数），求证：.,证,(2)求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,(3)偏导数存在与连续的关系,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在,一元函数中在某点可导 连续，,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,连续.,连续,偏导数存在.,可见，二元函数在一点处偏导数存在和连续没有必然的联系.,6、偏导数的几何意义,偏导数 就是曲面被平面 所截得的曲线在点 处的切线 对 轴的斜率.,偏导数 就是曲面被平面 所截得的曲线在点 处的切线 对 轴的斜率.,二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点 M0 处的切线,对 x 轴的斜率.,在点M0 处的切线,斜率.,是曲线,对 y 轴的,例6 求曲线 在点 处的 切线与 y 轴正向夹角.,解,二、高阶偏导数,设 z=f(x,y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们的偏导数是z=f(x,y)的二阶偏导数.,按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:,纯偏导,混合偏导,例如，z=f(x,y)关于 x 的三阶偏导数为,z=f(x,y)先关于 x 的 n 1 阶偏导数,再关于 y 的一阶偏导数为:,类似可以定义更高阶的偏导数.,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,解,解,说明 因为初等函数的偏导数仍为初等函数，而初等函数在其定义区域内是连续的，故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.,定理可以推广，例如：,对三元函数 u=f(x,y,z),当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有,若在 f(x,y)的表达式中将 x 换为 y，同时把 y 换为 x 时，表达式不变，则称 f(x,y)对 x,y 具有轮换对称性.,对有轮换对称性的函数，若已经求得，则只要在 的表达式中将 换为，同时把换为 即可得到.,解,函数的轮换对称性可推广到三元以上的函数.,偏导数的定义,偏导数的计算、偏导数的几何意义,高阶偏导数,（偏增量比的极限）,纯偏导,混合偏导,（相等的条件）,三、小结,思考题,思考题解答,不能.,例如,练 习 题,例如：,练习题答案,