信号与系统微分算子方程.ppt

1 微分算子和积分算子,p称为微分算子，1/p称为微分逆算子或积分算子。,系统的微分算子方程,例：,以p的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。,设A(p)和B(p)是p的正幂多项式，则,性质1,性质2,微分算子的运算性质,微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消去。,不能随意消去公因子p而得到y(t)=f(t)的结果。因为y(t)与f(t)之间可以相差一个常数c。,也不能由方程,通过直接消去方程两边的公因式(p+a)得到y(t)=f(t),性质3,例如，方程,性质4,设A(p),B(p)和D(p)均为p的正幂多项式,但是,2 LTI系统的微分算子方程,对于LTI n阶连续系统，其输入输出方程是线性常系数n阶微分方程。若系统输入为f(t)，输出为y(t)，则可表示为,用微分算子P表示可写成,或缩写为,微分算子方程,传输算子,传输算子代表了系统将输入转变为输出的作用，或系统对输入的传输作用，故称H(p)为响应y(t)对激励f(t)的传输算子或系统的传输算子。,用H(p)表示的系统输入输出模型,例 1：设某连续系统的传输算子为,写出系统的输入输出微分方程,例 2：已知系统框图，求系统的传输算子。,解 设中间变量x(t)，左端加法器列方程,右端加法器,电路系统算子方程的建立,表 2.2 电路元件的算子模型,在电路分析中，独立源信号代表系统激励，待求解的电流或电压为系统响应。,3：零输入响应算子方程,设系统响应y(t)对输入f(t)的传输算子为H(p)，且,系统的特征多项式,简单系统的零输入响应,简单系统1 若A(p)=p-，则yx(t)=c0et,简单系统2 若 A(p)=(p-)2，则 yx(t)=(c0+c1t)et。,例 某系统输入输出微分算子方程为,已知系统的初始条件y(0-)=3,y(0-)=-6，y(0-)=13,求系统的零输入响应yx(t)。,解 由题意知 A(p)=(p+1)(p+2)2,其一阶和二阶导函数为,令t=0-,并考虑到y(0-)=3,y(0-)=-6，y(0-)=13,代入初始条件值并整理得,第二步，求出第i个根 对应的零输入响应yxi(t),第三步，将所有的yxi(t)(i=1,2,l)相加，得到系统的零输入响应，即,第四步，由给定的零输入响应初始条件 或者0-系统的初始条件，确定常数,第一步，将A（p）进行因式分解，即,一般n阶LTI连续系统零输入响应的求解步骤：,4：基本信号(t)激励下的零状态响应,1.冲激响应 一个初始状态为零的LTI连续系统，当输入为单位冲激信号时所产生的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)，如图所示：,2.冲激响应的计算 设LTI连续系统的传输算子为H(p)，H(p)h(t),简单系统1,简单系统 2,将上面的结果推广到特征方程A(p)=0在p=处有r 重根的情况,简单系统3,综上所述,可以得到系统冲激响应的一般步骤是：第一步：确定系统的传输算子H(p);第二步：将H(p)进行部分分式展开写成如下形式：第三步：根据H(p)公式求解第四步：将所有 相加，得到系统的冲激响应,例 2.5-4 已知某连续系统的微分方程为,若系统的初始条件y(0-)=y(0-)=1，输入f(t)=e-t(t)，求系统的零输入响应yx(t)，零状态响应yf(t)和完全响应y(t)。,解,(2)求零状态响应,(3)完全响应,系统的零状态响应,例:描述某LTI系统的微分方程为,已知 求该系统的零输入响应和零状态响应。,A(p)=p2+3p+2，可得系统的零输入响应为,代入初始条件值，有,联立求解得c10=5,c20=-2,