线性代数向量空间.ppt
Ch4 向量空间,第一节 向量组的线性相关 与线性无关,一、向量、向量组与矩阵,维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：,维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,例如,向量组,，称为矩阵A的行向量组,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应,定义,线性组合,向量 能由向量组 线性表示,定理1,定义,注意:,定义,二、线性相关性的概念,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,三、线性相关性的判定,解,例,或r(I)=n，得线性无关。,解,例,分析,解：因为,证法1,证法2,性质1：,性质2：,性质3：,证明,四、向量组的线性相关性质,性质4：,证明,说明：,性质5：,说明：,证明：,定理3 向量组（当 时）线性相关的充分必要条件是 中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示,证明,充分性,设 中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.,即有,五、线性表示、线性相关、线性 无关三者的关系,而不是“每一个”,故,因 这 个数不全为0，,故 线性相关.,必要性,设 线性相关，,则有不全为0的数使,因 中至少有一个不为0，,不妨设则有,即 能由其余向量线性表示.,证毕.,定理 4：,（定理）。,.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；,.线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）,.线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理（难点）,六、小结,线性表示:,线性表示、线性相关、线性无关 三者的概念,线性相关:,线性无关:,性质1：,性质2：,性质3：,向量组的线性相关性质,性质4：,性质5：,定理 向量组（当 时）线性相关的充分必要条件是 中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示,线性表示、线性相关、线性无关 三者的关系,而不是“每一个”,定理,向量空间,第二节 向量组的秩,定义,最大线性无关向量组,最大,无关组,一、最大线性无关向量组,秩,定理,二、矩阵与向量组秩的关系,说明,定理,三、向量组秩的重要结论,推论1,推论2,性质,最大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性,矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩,关于向量组秩的一些结论：一个定理、两个推论两个性质,求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换,四、小结,思考题,思考题解答,问题转化为,因为,所以,向量空间,第三节 向量空间,说明,2 维向量的集合是一个向量空间,记作.,一、向量空间的概念,定义1设 为 维向量的集合，如果集合 非空,且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合 为向量空间,1集合 对于加法及乘数两种运算封闭指,例2 判别下列集合是否为向量空间.,解,解,试判断集合是否为向量空间.,定义2 设有向量空间 及，若向量集合，就说 是 的子空间,实例,二、子空间,设 是由 维向量所组成的向量空间，,那末向量组 就称为向量空间的一个,基，称为向量空间 的维数，并称 为 维向量空间,三、向量空间的基与维数,定义3 设 是向量空间，如果 个向量，且满足,dimV=r,向量空间的概念：向量的集合对加法及数乘两种运算封闭；由向量组生成的向量空间,子空间的概念,四、小结,向量空间,第四节 线性方程组解的结构,解向量的概念,为齐次线性方程组,一、齐次线性方程组解的性质,的解,称为方程组 的解向量。,齐次线性方程组解的性质,证明,（2）若 为 的解，为实数，则 也是 的解,证明,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组 的解空间一般记作,注：齐次解的线性组合仍为齐次解,基础解系的定义,二、基础解系及其求法,线性方程组基础解系的求法,现对 取下列 组数：,依次得,从而求得原方程组的 个解：,说明,解空间的基不是唯一的,解空间的基又称为方程组的基础解系,若 是 的基础解系，则其通解为,定理1,解,对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩阵，有,证明,非齐次线性方程组解的性质,三、非齐次线性方程组解的性质,证明,证毕,其中 为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.,非齐次线性方程组的通解,非齐次线性方程组Ax=b的通解为,与方程组 有解等价的命题,线性方程组 有解,线性方程组的解法,（1）应用克莱姆法则,（2）利用初等变换,特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题,特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法,例4 求解方程组,解,非齐次方程的通解=齐次方程的通解+非齐次方程的特解,齐次线性方程组基础解系的求法,四、小结,对系数矩阵 进行初等变换，将其化为行最简形讨论,线性方程组解的情况,思考题,思考题解答,第五节 向量的内积,向量空间,定义1,一、内积的定义及性质,说明,内积的运算性质,向量的长度具有下述性质：,二、向量的长度及性质,解,单位向量,夹角,正交的概念,正交向量组的概念,正交（或垂直）.,若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组,三、正交向量组的概念及求法,证明,正交向量组的性质,定理1,例1 已知三维向量空间中两个向量,正交，试求 使 构成三维空间的一个正交基.,向量空间的正交基,即,解之得,由上可知 构成三维空间的一个正交基.,则有,解,规范正交基,例如，4 维向量组,同理可知,自然基.,（1）施密特正交化，取，,求规范正交基的方法,我们来介绍其步骤：,（2）规范化（即单位化），取,解 先正交化，,取,施密特正交化过程,再单位化，,得规范正交向量组如下,例3,解,把基础解系正交化，即为所求亦即取,证明,定义4,定理2,四、正交矩阵与正交变换,为正交矩阵的充要条件是 的列向量都是单位向量且两两正交,正交矩阵.,定义5 若 为正交阵，则线性变换 称为正交变换,性质 正交变换保持向量的长度不变,证明,例5 判别下列矩阵是否为正交阵,解,所以它不是正交矩阵,考察矩阵的第一列和第二列，,由于,所以它是正交矩阵,由于,例6,解,1将一组基向量规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化,五、小结,2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：,求一单位向量，使它与,正交,思考题,思考题解答,
