专题72 空间点、直线、平面间的位置关系.docx

第七篇立体几何与空间向量专题7.02空间点、直线、平面间的位置关系【考纲要求】理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理【命题趋势】 空间点、线、面的位置关系以位置关系的判断为主要考查点，同时也考查逻辑推理能力和空间想象能力【核心素养】本讲内容主要考查直观想象、逻辑推理的核心素养。【素养清单.基础知识】1 .平面的基本性质(1) 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.(2) 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.(3) 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.(4) 公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.(5) 公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公 理3是证明三线共点或三点共线的依据.2. 空间中两直线的位置关系(1) 空间中两直线的位置关系共面直线(平行相交异面直线：不同在任何一个平面内.(2) 异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，少饥把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).范围:兀0，2.(3) 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.(4) 定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.3. 直线与平面、平面与平面之间的位置关系图形语言符号语言公共点直线平面相交7aa=A1个平行17all a0个在平面内a a无数个平面平面平行/一 /7all0个相交an=l无数个【素养清单.常用结论】1. 公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.2. 异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.3. 唯一性定理(1) 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.(2) 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.(3) 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.(4) 过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直【真题体验】1.【2019年高考全国II卷理数】设a, B为两个平面，则a月的充要条件是A. a内有无数条直线与&平行B. a内有两条相交直线与&平行C. a, &平行于同一条直线D. a, &垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：a内两条相交直线都与P平行是a P的充分条件，由面面平行性质 定理知，若a&，则a内任意一条直线都与P平行，所以a内两条相交直线都与P平行是a&的必要 条件，故选B.【名师点睛】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面 面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的 错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若a ua,b u。,ab，则a&”此类的错误.2.【2019年高考全国III卷理数】如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD±平面 ABCD，M是线段ED的中点，则A. BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B. BM手EN，且直线BM，EN是相交直线C. BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D. BM手EN，且直线BM，EN是异面直线【答案】B【解析】如图所示，作EO ± CD于O，连接ON，BD，易得直线BM，EN是三角形EBD的中线，是相交直线.过M作MF 1OD于F,连接BF平面 CDE1 平面 ABCD, EO 1 CD, EO u 平面 CDE, :. EO 1 平面 ABCD, MF1 平面 ABCD:.MFB与'EON均为直角三角形.设正方形边长为2 ,易知EO =百,ON = 1, EN = 2MF = 2, BF = 5,. BM = t7, BM。EN,故选 B.22【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用 垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题.3.【2019年高考浙江卷】设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）.记直线PB与直线AC所成的角为a,直线PB与平面ABC所成的角为为 二面角P-AC-B的平面角为Y，则A. P<y,a<yB. B<a, P<yC.摩a,Y<aD. a<g, y<P【答案】 【解析】如图，G为AC中点，连接VG, V在底面ABC的投影为O，则P在底面的投影D在线段AO上，过D作DE垂直于AC于E,连接PE, BD,易得PEVG,过p作PF#AC交VG于F ,连接BF,过D 作 DH#AC，交 BG 于 H，则 a = ZBPF, fi = ZPBD,y = APED，结合 pfb, aBDH, aPDB 均为直PF EG DH BD角三角形，可得cosa =<= cosP，即a>0PB PB PB PBPD PD在RtAPED中，tany=>= tan P，即y > P，综上所述，答案为B.ED BD【名师点睛】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念， 以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小而充分利用 图形特征，则可事倍功半常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角，未能想到利用'特殊位置 法”，寻求简便解法.4. 【2019年高考北京卷理数】已知1，m是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断：®l±m，mil a :/上 a .以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.【答案】如果ILa，mi a，则l±m.【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：(1) 如果 lLa，mil a，则 lLm，正确；(2) 如果lLa，lLm，则mi a，不正确，有可能m在平面a内；(3) 如果lLm，mi a，则lLa，不正确，有可能l与a斜交、la.故答案为：如果lLa，mi a，则lLm.【名师点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.将所给论断，分别 作为条件、结论加以分析即可.5. 【2018年高考浙江卷】已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等M是线段AB上的点(不含端点)，设SE与BC所成的角为* SE与平面ABCD所成的角为，二面角S-AB-C的平面角为，贝 a. e<e<e3b. e<e<evc. e1<e3<e2d. e2<e3<e1【答案】D【解析】设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线E/，交CD于尸，过O作ON 垂直EF于N，连接SO，SN，SE，SM，OM，OE，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB， 因此 /sen=e, /seo =e , zsmo=e ,123SN SN 八 = ,tanU EN OM 2SOEO,tanUSOoM因为 SN > SO, EO > OM，所以 tanO > tanO > tanO ,即U >6 >6132132故选D.【名师点睛】分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小 关系.6. 【2017年高考全国III卷理数】a, b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形A8C的直角边AC所 在直线与a, b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： 当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； 当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； 直线AB与a所成角的最小值为45°； 直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.（填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】设AC = BC = 1.由题意，AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线，由AC ± a, AC ± b又ACL圆锥底面，所以在底面内可以过点B，作BDa，交底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DE1BD，DEb，连接 AD，等腰 AABD 中，AB = AD =巨，当直线 AB 与 a 成 60°角时，ZABD = 60故BD =、，又在RtABDE中，BE = 2,.DE = 42，过点B作B/ DE，交圆C于点尸，连接A尸，由圆的对称性可知BF = DE = J2,. ABF为等边三角形，./ABF = 60，即AB与b成60°角，正确， 错误.则直线AB与a所成角的最大值为90°，错误.由图可知正确；很明显，可以满足平面ABCL直线a， 故正确的是.【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题 化归为共面问题来解决，具体步骤如下： 平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； 认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； 计算：求该角的值，常利用解三角形； 取舍：由异面直线所成的角的取值范围是°，了|，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两条异V 2面直线所成的角.（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.【考法拓展题型解码】考法一平面的基本性质及应用解题技巧用平面的基本性质证明共点、共线、共面的方法（1）证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的 线（或点）在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.（2）证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这 些点都在同一条特定直线上.（3）证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.【例1】以下四个命题中，正确命题的个数是（） 不共面的四点中，其中任意三点不共线； 若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，贝A，B，C，D，E共面； 若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； 依次首尾相接的四条线段必共面.B. 1A. 0C. 2D. 3【答案】B 【解析】显然是正确的，可用反证法证明；中若A, B, C三点共线，则A, B, C, D, E五点不一定 共面；构造长方体或正方体，如图所示，显然b, c异面，故不正确；中空间四边形中四条线段不共面.故只有正确.故选B.【例2】已知空间四边形ABCD(如图所示)，E, F分别是AB, AD的中点，G, H分别是BC, CD上的点，11且 cg=3bc, ch=3dc.求证:(1) E, F, G, H四点共面；(2) 直线FH, EG, AC共点.【答案】见解析1【解析】证明 连接EF, GH.因为E, F分别是AB, AD的中点，所以EF/BD.又因为CG=§BC, CH=13DC,所以GH/BD,所以EF/GH,所以E, F, G, H四点共面.(2)由(1)知FH与直线AC不平行，但共面，所以设FHAC=M,所以ME平面EFHG, ME平面ABC.又因为平面EFHGn平面ABC=EG,所以ME EG.所以FH, EG, AC三线共点.考法二空间两条直线的位置关系解题技巧判断空间两条直线的位置关系的方法(1) 异面直线，可采用直接法或反证法.(2) 平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理.(3) 垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决.【例3】(1)若直线11和12是异面直线，«在平面a内，l2在平面P内，l是平面a与平面P的交线，则下列 命题正确的是()A. l与11，12都不相交B. 1与11，12都相交C. 1至多与11，12中的一条相交D. 1至少与11，12中的一条相交【答案】D【解析】A项，如图1所示，12与1相交，故A项错误；B项，如图1所示，11/1，11与1不相交，故B项 错误；C项，如图2所示，1分别与11，12相交，故C项错误；D项，假设1与11，12不相交，因为1与11共 面且1与12共面，所以11112，这与11，12为异面直线相矛盾，故1至少与11，12中的一条相交，故D项正 确.故选D.图1图2(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH所在的直线在原正方体中互为 异面直线的对数为 对【答案】3【解析】平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB 与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行.故互为 异面直线的有且只有3对.考法三两条异面直线所成角归纳总结两异面直线所成角的作法及求解步骤(1) 找异面直线所成角的三种方法： 利用图中已有的平行线平移； 利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移； 补形平移.(2) 求异面直线所成角的三个步骤： 作：通过作平行线，得到相交直线； 证：证明相交直线所成的角或其补角为异面直线所成的角； 算：通过解三角形，求出该角.【例4】（1）（2018-全国卷II）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所 成角的正切值为（）笠吏A. 2B. 2圭吏C. 2D. 2【答案】C【解析】取DD1中点/，连EF，AF，AE，易知EFDC，所以匕AEF为两异面直线所成的角.在RtAEF、抵AF -抵中，令正方体棱长为1，则EF=1，AF= 2，所以tanZAEF=EF= 2 .故选C.（2）（2017-全国卷II）已知直三棱柱ABC-A1B1C1 中，匕ABC=120°，AB=2, BC=CC1 = 1，则异面直线AB1 与BC1所成角的余弦值为（）由而A. 2B. 5布吏C. 5D. 3【答案】C【解析】如图所示，将直三棱柱ABC-A1B1C1补成直四棱柱ABCD-AjBjCjD，连接AD，BR，则AD /BC1，所以NBjAD或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角.因为匕ABC=120°，AB=2, BC=CC= 1，所以 AB='5, AD='2 .在 BDC中，ZB1C1D1 = 60°，B1C1 = 1，Df=2,所以 BR =t_5+2 3 山012+222x1x2xcos 60° ='3，所以 cosZBqD尸2乂、抒乂寸2= 5 .故选 C.【易错警示】易错点忽视异面直线所成角的范围而出错【典例】如图所示，已知空间四边形ABCD，AD=BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN 所成的角为30°，求BC与AD所成的角.【错解】：如图，连接8D,并取中点R 连接EN, EM,则EN/BC, MEHAQ,故ZENM为BC与MN 所成的角，匕MEN为BC与AD所成的角，所以ZENM=30°,又由AD=BC, 知 ME=EN，所以匕EMN=£ ENM=30°,所以ZMEN= 180°-30°-30° = 120°，即 BC 与 AD 所成的角为 120°,【错因分析】：异面直线所成的角的范围是（0°，90°，因此在未判断出/MEN是锐角或直角还是钝角之 前，不能断定它就是两异面直线所成的角，如果ZMEN为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角.【正解】：以上同错解，求得/MEN=120°,即BC与AD所成的角为60°,误区防范 求异面直线所成的角的时候，要注意它的取值范围是（0°, 90°.两异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的 角，也可能等于其补角.【跟踪训练】（2019浙江普通高中学业水平考试）如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1±AB, AA1±AC.若AB= AC=AA1 = 1, BC=.&，则异面直线A1C与Bg所成的角为（）& GA. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C【解析】根据题意，得BCBC，故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角.在题图中，连 接A1B，在A1BC中，BC=AC=AB=V2，故/A1CB=60°,即异面直线A1C与B& 所成的角为60°【递进题组】1. 下列命题中正确的个数是（） 过异面直线a, b外一点P有且只有一个平面与a, b都平行； 异面直线a, b在平面a内的射影相互垂直，则a±b； 直线a, b分别在平面a, &内，且a±b,则a/.A.0B.1D.3C.2【答案】A【解析】对于，当点P与两条异面直线中的一条直线确定的平面与另一条直线平行时，就无法找到过点P 且与两条异面直线都平行的平面，故错误；对于，在如图所示的三棱锥P-ABC中，PBL平面ABC, BALBC,满足PA，PC两边在底面的射影相互垂直，但PA与PC不垂直，故错误；对于，直线a，b 分别在平面a，&内，且a±b，则a，&可以平行，故错误.所以正确命题的个数为0.故选A.2. 两条异面直线在同一个平面上的正投影不可能是()A. 两条相交直线B.两条平行直线C.两个点D. 一条直线和直线外一点【答案】C【解析】 如图，在正方体ABCD-EFGH中，M，N分别为BF，DH的中点，连接MN，DE，CF，EG.当 异面直线为EG，MN所在直线时，它们在底面ABCD内的射影为两条相交直线；当异面直线为DE，GF所 在直线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD，BC，是两条平行直线；当异面直线为DE，BF所在直 线时，它们在底面ABCD内的射影分别为AD和点B，是一条直线和一个点.故选C.3.已知正方体 ABCDA1B1C1D1.(1) 求AC与A1D所成角的大小；(2) 若E，F分别为AB，AD的中点，求Ag与EF所成角的大小.【答案】见解析 【解析】如图1所示，连接B1C.由ABCD-A1B1C1D1是正方体易知ADBC，从而ZB1CA(或其补角) 就是AC与A1D所成的角.因为AB=AC=BC，所以ZB1CA = 60°，即AC与AD所成的角为60°,图1图2(2)如图2所示，连接AC，BD，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC±BD，ACAC.因为E，F分别为AB， AD的中点，所以EFBD.所以EF±AC.所以EFLAg，即Ag与EF所成的角为90°.【考卷送检】 一、选择题1. （2019-武邑中学月考）下列命题正确的是（）A. 两个平面如果有公共点，那么一定相交B. 两个平面的公共点一定共线C. 两个平面有3个公共点一定重合D. 过空间任意三点，一定有一个平面【答案】D【解析】如果两个平面重合，则排除A, B两项；两个平面相交，则有一条交线，交线上任取三个点都是两 个平面的公共点，故排除C项；而D项中的三点不论共线还是不共线，则一定能找到一个平面过这三个 点.2. 设a，b是平面a内两条不同的直线，/是平面a外的一条直线，则“l±a，l±b是"a”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】直线 a，b 平行时，由"13, W'M “l±a"； “l±a"“l±a，l±b"，所以“l±a，l±b”是"a” 的必要不充分条件.3. 如图所示，ABCDAlB1C1D1是长方体，O是BR的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（）JD,A. A，M，O三点共线B. A，M，O, A1不共面C. A，M，C，O 不共面D. B，B1，O，M 共面【答案】A【解析】连接A1C1，AC，则ACAC，所以A1，C1，C，A四点共面.所以A'u平面ACCA1，因为ME A1C，所以ME平面ACC1A1,又 ME平面AB1D1，所以M为平面ACC1A1与ABR的公共点.同理，O, A 为平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点.所以A，M，O三点共线.4.正方体A1C中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线Afi与直线EF的位置关系是（）A.相交B.异面C.平行D.垂直【答案】A【解析】如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EFu平面ACD，且两直线不平 行，故两直线相交.5. （2017-全国卷I）如图，在下列四个正方体中，A, B为正方体的两个顶点，M, N, Q为所在棱的中点， 则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）【答案】A【解析】对于B项，如图所示，连接CD，因为ABCD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQCD， 所以ABMQ，又ABC平面MNQ，MQu平面MNQ，所以AB平面MNQ，同理可证，C，D项中均有AB 平面MNQ.故选A.6. （2019-绵阳二中月考）空间四边形ABCD中，AB，BC，CD的中点分别为P，Q，A，且AC=4, BD=2右，PR=3，则AC和BD所成的角为（）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】A【解析】如图，P，Q，R分别为AB，BC，CD中点，所以PQAC，QRBD，所以ZPQR为AC和BD11 L所成的角.又 PQ=2AC=2, QR=2BD=5, RP=3，所以 PR2=PQ2+QR2，所以ZPQR=90°，即 AC 和BD所成的角为90°.故选A.、填空题7. 已知a, b为异面直线，直线clla,则直线c与b的位置关系 .【答案】相交或异面【解析】直线的位置关系有三种：相交、异面、平行.因为a, b为异面直线，ca，所以c与b不平行， 故c与b可能相交或异面.8. （2019-长治二中月考）在正方体ABCD-AlBlClD1中，下列说法正确的 （填序号）. 直线AC1在平面CC1B1B内； 设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O, 01，则平面AA1C1C与平面BBRD的交线为OO； 由A，q，B1确定的平面是ADC1B1； 由A，q，B1确定的平面与由A，q，D确定的平面是同一个平面.【解析】错误，如图所示，点AW平面CC1B1B，所以直线AC1平面CC1B1B； 正确，如图所示，【答案】I因,7为O匕 直线ACU |面AAC 1C，O匕 直线BDU |面BBDD，O】匕 直线A1C】u面AA1C1C，OE直线B1D1U平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BBRD的交线为OO1 ；都正确，因 为ADBC且AD=BC，所以四边形ABf是平行四边形，所以A，BC1，D共面.9.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直 线AF与BE所成角的余弦值为.1【答案】2 【解析】如图，取BC的中点H，连接FH，AH，所以BEFH，所以ZAFH即为异面直线AF与BE所成 的角.过A作AG±EF于G，则G为EF的中点.连接HG，HE，则则AHGE是直角三角形.设正方形边长L 克_1 匝'5 1 _为 2,则 EF=& HE='B，EG= 2，所以 HG=：2+a= 2，所以 AH="+2 = h&由余弦定理知AF2+HF2 AH 12+223 1cos ZAFH=2AH = 2x1x2 =2.三、解答题10.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M, N分别是棱CD, Cq的中点，求异面直线AM与DN所成的 角的大小.【答案】见解析【解析】如图，连接DM，可证D1M±DN,又因为A1D1±DN，AD，MD平面AMD，ApCMD=D， 所以DNL平面AMD，所以DNLAjM，即异面直线AM与DN所成的夹角为90°,1111.如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，匕BAD =ZFAB=90°，BC£AD，Be£ 2FA，G，H分别 为FA, FD的中点.证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？/? C【答案】见解析1【解析】(1)证明：由已知FG=GA，FH=HD可得GH 2AD.1又BC死AD，所以GH统BC.所以四边形BCHG为平行四边形.1(2)由BE斑AF, G为FA的中点知BE嵌FG,所以四边形BEFG为平行四边形.所以EF/BG.由(1)知BGCH,所以EFCH,所以EF与CH共面.又DEFH，所以C, D, F, E四点共面.12.如图所示，在三棱锥PABC中，PAL平面ABC,ZBAC=60°, PA=AB=AC=2, E是PC的中点.(1) 求证：AE与PB是异面直线；(2) 求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(3) 求三棱锥A-EBC的体积.【答案】见解析【解析】(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为a.因为AEa, BEa, Ea，所以平面a即为平面ABE,所以PE平面ABE,这与P 平面ABE矛盾，所以AE 与PB是异面直线.(2)取BC的中点F，连接EF, AF,则EFPB,所以ZAEF或其补角就是异面直线AE和PB所成的角，因为匕BAC=60°,PA=AB=AC=2,尸人上平面ABC,_2+231所以AF=R, AE=a, EF;'2，由余弦定理得cosZAEF=必豪E=4所以异面直线AE和PB所成1角的余弦值为4.1 一1。宓一吏因为E是PC的中点，所以点E到平面ABC的距离为2PA = 1，匕_EBC= VEabc=3X&x2x2x 2 Jx1= 3 .13. (2019哈尔滨三中检测)如图是三棱锥D ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异 面直线DO和AB所成角的余弦值等于()1B.2笠A. 3 c3【答案】A 解析由三视图及题意得如图所示的直观图，从A出发的三条线段AB, AC, AD两两垂直且AB=AC=2,AD=1, O是BC中点，取AC中点E，连接DE，DO, OE，则OE=1,又可知AE=1,由于OEHAB,故ZDOE即为所求两异面直线所成的角或其补角.在RtADAE中，DE=h，由于O是BC的中点，在_1 + 32 3RtADAO中可以求得DO='3.在DOE中，由余弦定理得cos/DOE= 2x13 = 3，故所求异面直线DO吏与AB所成角的余弦值为3 .