用一阶导数的单调性来判断曲线的凹凸性.ppt
用一阶导数的单调性来判断曲线的凹凸性,一般高等数学教材都是二阶导数的符号来判断曲线的凹凸性。但是,我们也可以用一阶导数的单调性来判断曲线的凹凸性,这种方法有很直观的几何解释,其证明也更简单。,凹弧的定义:,凸弧的定义:,如何判断曲线的凹凸?,设曲线弧上凹,单增,Concave upward,下凸,设曲线弧上凸,单减,Concave downward,下凹,反之,能否由一阶导数的单调性或二阶导数的符号来判断曲线的凹凸?答案是肯定的。先证明一个引理。,引理(利用一阶导数的单调性判断凹凸性)设函数 f(x)在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,那么 若在(a,b)内 f(x)单调增加,则曲线 y=f(x)在 a,b 上是凹的。(2)若在(a,b)内 f(x)单调减少,则曲线 y=f(x)在 a,b 上是凸的。,设,欲证:,区间(x1,x2)的中点,或,或,欲证:,由Lagrange中值定理,(1),不等式(1)成立。,欲证:,(1),不等式(1)成立。,同理可证,定理 2(曲线凹凸性的判定定理)设函数 f(x)在 a,b 上连续,在(a,b)内二阶可导,那么 若在(a,b)内 f(x)0,则曲线 y=f(x)在 a,b 上是凹的。(2)若在(a,b)内 f(x)0,则曲线 y=f(x)在 a,b 上是凸的。,因为,由以上引理得到以下,华阳 南湖 18MAR12,