三重积分及其计算和多重积分.docx

第四节 三重积分及其计算和多重积分在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的n维空间中去.类似于第三节，我们先定义一个冷中集合的可求体积性.同样可以给出一列类似的结论.读者自己推广.这里将不再赘述.一、引例设一个物体在空间R3中占领了一个有界可求体积的区域V，它的点密度为f G，J, Z)，现在要求这个物体的质量.假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域V分割为若干个可求体积的小区域V ,V，,V，其体积分别是AV , AV，,AV，直径分别是d ,d，,d，12 n12n12 n即 d = supl WQ IIW, Q e 匕 , (i=1,2,n ) , IWQI 表示 W, Q 两点的距离.设X = maxd ,d，,d ，则当人很小时，f G, J,z)在V上的变化也很小.可以用这个小 12 ni区域上的任意一点G , J , z )的密度f (x , J , z )来近似整个小区域上的密度，这样我们可 i i ii i i以求得这个小的立体的质量近似为f匕,ji, Zj次v，所有这样的小的立体的质量之和即为这个物体的质量的一个近似值.即M R £ f (x , j , z)AV .= 1当人T0时，这个和式的极限存在，就是物体的质量.即M = lim £ f (x , j, z)AV .'° i =1从上面的讨论可以看出，整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，都是先分割， 再求和，最后取极限.所以我们也可以得到下面一类积分.二、三重积分的定义设f (x, J,z)是空间R3中的一个有界可求体积的闭区域V上的有界函数，将V任意分割为若干个可求体积的小闭区域V,V，,V，这个分割也称为V的分划，记为P: V ,V，,V . 12 n12 nV。c V o =O (空,2 j),其体积分别是AV , AV，,AV，直径分别是d , d，,d .设 i j12n12 nx = maxd ,d，,d ,或记为IIPII,在每个小区域中任意取一点 (x , j ,z )e V，作和12 ni i i i£ f (x , J , z)AV (称为Riemann和)，若当 0时，这个和式的极限存在，则称其极 i i i ii=1限为函数f G, J,z)在区域u上的三重积分，记为iff f G, y,zV .并称函数f G, j,z)在V区域V上可积.f (x, y, z)称为被积函数,x,y,z称为积分变量.,V称为积分区域.特别地，在直角坐标系下，可以记为fff f (x, y, z)dxdydz .V我们同样可以引入Darboux大，小和来判别可积，也有同样的结论(略).1.若f (x, y, z)是有界闭区域V上的连续函数，则函数f (x, y, z)在区域V上可积.2. 若 f (x, y, z)=1 时，川dxdydz = V 的体积.V3. 若f (x, y, z)在有界闭区域V上的间断点集合是0体积时，f (x, y, z)在V可积.三重积分有着与二重积分类似的性质.下面简单叙述一下.1.可积函数的和(或差)及积仍可积.和(差)的积分等于积分的和(差).2 .可积函数的函数k倍仍可积.其积分等于该函数积分的k倍.3 .设Q是可求体积的有界闭区域，ky,7)在Q上可积，Q分为两个无共同内点的可求体积的闭区域Q,Q2之并，则 & y, z)在Q,Q2上可积，并有 iff f (x, y, z)dV = iff f (x, y, z)dV + fff f (x, y, zdV .QQi电等等.三、三重积分的计算方法同二重积分一样，我们这里给出三重积分的计算方法，理论上的证明读者自己完成.1.利用直角坐标系计算三重积分先给一个结论.定理 12.14 若函数 f (x, y, z)是长方体 V=a,b x c,d x e,h上的可积，记 D=c,d 乂 e,h,对任意x C a,b,二重积分I(x) = ff f (x, y, z)dydzD存在，贝0 f I(x)dx = f ff f (x, y, z)dydzdx (记为 f dxff f (x, y, z)dydz)aa ' D'a D也存在，且 fff f (x, y, z)dV = f dxff f (x, y, z)dydz = f dxf dyf f (x, y, z)dz.Va Dace这时右边称为三次积分或累次积分，即三重积分化为三次积分.证明分别中a,b, c,d, e,h插入若干个分点a = x < x < x << x = b ；C = J 0 < J1 < J 2 < < j = d ；e = z 0 < z1 < z 2 < < z = h作平面X = X , J = J ,乙=乙,(i=0,1,2,.,; ,j i=0,1,2,.,”; k=0,1,2,.，s,)得到 V 的一个分 ijk划 P.令 V= X,X X J , J X Z , z ,(i=1,2,., ,j i=1,2,.,m; k=1,2,.，s,),ijki-1i j-1 jk-1kM , m分别是f(X, j, z)在v上的上，下确界.那么在D= j, j x z, z 上有ijk ijkijkjkj-1jk-1km Aj . Az <.,j, z)dydz < M * Aj Azk£I (E )Ax < £ MAx Aj Azi iijk i j ki=1i, j ,kjk其中. ,= X.- X. , Ay. ,= J .- J . 1 , Azk ,= zk- zk1 , (i=1,2,，n; ,j i=1,2,，m, k=1,2,，s,).£jj f (&. ,y, z)dydz = jj f (& , J, z)dydz = I(& )iiij,k DjkD£ m Ax Aj Az <i, j ,k若函数 f G, J,z)在 V上的可积，那么 jjj f G, J, zdV = jdz jj f G, J, z)dxdj .Ve Dz卜面给出一般三重积分的具体计算方法，理论证明读者可参照二重积分自己完成.设函我们现在z轴上做积分，暂时将X, y看成是常数.把函数f G, y, z)看作是z的函数，将它在区间z1 (x, y) z2 (x, y)上积分得到I z2M) f (x, y, z)dz.Z1 (X, y )显然这个结果是X,y的函数，再把这个结果在平面区域D上做二重积分xyjj fL G,y) f (x, y, zdzdxdy .V z (x,y)JD 1x在利用二重积分的计算公式便可以得到所要的结果.若平面区域D可以用不等式a < x < b, y1 (x)< y < y2 (x)表示，则jjj f (x, y, zdV = j dxjy2(x)dy jz2侦y) f (x, y, z)dz .Qayi G)zi 侦y)这个公式也将三重积分化为了三次积分.如果积分区域是其他的情形，可以用类似的方法计算.例1计算三重积分hj xdV，其中Q是由三个坐标面和平面x + y + z = 1所围的立体区Q域.解 积分区域如图所示，可以用不等式表示为0 < x < 1,0 < y < 1 一 x,0 < z < 1 一所以积分可以化为fff xdV = j1 dx f1-"" dy f1-x -y xdz000=j1 dxf1-x x(1 - x - y )dy 00=j11 xG - x )2 dx0 211111=x4 x3 + x 2 =8342408x8x8x8u8v8z8 (x, y, z)8y8y8y8 (u, v, w)用8v8z2 0,(u, v, w) e V (称为 Jacobi).8z8z8z8u8v8z四、三重积分的积分变换和二重积分的积分变换一样，有如下的结果：定理12.15设V是uvw空间R3中的有界可求体积的闭区域，T： x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w)，是V到xyz空间R3中的一一映射，它们有一阶连续偏导数，并且如果f(x,y,z)是T(V)上的可积函数，那么jjj f (x,T (V)y, z )dxdydz =jjj f (x(u,v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)g y,z)ddvdw 合(u, v, w)在R3中有两种重要的变换柱面坐标和球面坐标.1.利用柱面坐标计算三重积分前面我们可以看到，由于积分区域与被积函数的特点，二重积分可以用极坐标来计算.同 样对于三重积分可以用柱面坐标和球面坐标计算.我们先讨论用柱面坐标来计算三重积分.设空间中有一点M(x, y,z)，其在坐标面xoy上的投影点M'的极坐标为G,。)，这样三个数z,r,0就称为点M的柱面坐标(如图12-4-4).图 12-4-4图 12-4-5这里规定三个变量的变化范围是0 < r < +8< 0<9 <2兀，8 < Z < +8注意到，当r=常数时，表示以z轴为中心轴的一个柱面.当9 =常数时，表示通过z轴，与平面xoy的夹角为9的半平面.当z =常数时，表示平行于平面xoy，与平面xoy距离为z的平面. 空间的点的直角坐标与柱面坐标之间的关系，即是R3到R3的映射：x = rcos91y = r sin 9 .z = zc o9 一rsin) 0所以其Jacobi为a (x, y, z).qn n =s i 19r c o 90 = r,a(r ,9,z)001故容易得到：如果f(x,y,z)是R3中的有界可求体积的闭区域V上的可积函数，则 .f (x, y, z)dV = JJJ f (r cos9, r sin9, zdrd9dz ,VV其中，变换前后区域都用V表示.我们也可以从几何直观的意义来描述这个公式的由来.用三组坐标面r = q,9 = q, z =。3将积分区域划分为若干个小区域，考虑其中有代 表性的区域，如图12-4-5所示的区域可以看成是由底面圆半径为r和r + dr两个圆柱面，极 角为9和9+d9的两个半平面，以及高度为z和z + dz的两个平面所围成的.它可以近似的 看作一个柱体，其底面的面积为rdrd9，高为dz.所以其体积为柱面坐标下的体积元素， 即dV = rdrd9 dz .再利用两种坐标系之间的关系，可以得到jjjf G, y, zdV = jjjf (rcos9, r sin9, zdrd9dz .VV在柱面坐标下的三重积分的计算也是化为三次积分.(、例2计算三重积分jjj (x2 + y2hv，其中Q是由椭圆抛物面z = 4(x2 + y2扁平面z = 4所围成的区域.解 如图所示，积分区域Q在坐标面xoy上的投影是以。= < r < 1,0 <9 < 2兀,4r2 < z < 4于是jjj( 2 + y 2 dV = iff r 2 rdrd9dz=J2K d9 f1 r 2 rdr f4 dz=f2” d9f1 (4r3 - 4r5 d =-兀 003个圆心在原点的单位圆.所图 12-4-62.利用球面坐标计算三重积分我们知道球面坐标用数r,9,中来表示空间的一个点.设有直角坐标系的空间点MG, y, z)，点M在坐标面xoy上的投影M'，其中r =| OM |，9为x轴到射线OM'转角.中为向量OM与z轴的夹角.如图12-4-7.规定三个变量的变化范围是0 < r < +8< 0 <9 < 2兀.0 <9 <k我们可以看到，注意到，当r=常数时，表示以原点为球心的球面.当9 =常数时，表示通过z轴的半平面.当9 =常数时，表示以原点为顶点，z轴为中心的锥面.两种坐标系之间的关系如下：x = r sin 9 cos 9< y = r sin 9 sin 9 .z = r cos 9图 12-4-7即又是一个即是R3到R3的映射.它的Jacobi是S 3, y, z)sin 里 cos 9sin 里 sin 9cos中r cos 里 sin 9rcos里cos9一 r sin 中一 r sin 中 sin 9r sin 里 cos 90=r 2sin 中,由一般的重积分变换公式容易得到：如果f(x,y,z)是R3中的有界可求体积的闭区域V上的可积函数，则JJJ f G, y, z)dV = JJJ f (rsin甲 cos0, rsin甲 sin0, rcos甲)r2 sindrddQ ,VV其中，变换前后区域都用V表示.用几何直观的意义可以如下理解：已知f(x,y,z)闭区域V上的可积函数.用三组坐标r =常数，0 =常数，中=常数，将积分区域V划分为若干个小的区域.考 虑其中有代表性的区域，此小区域可以看成是有半径为 r和r + dr的球面，极角为0和 0+ d0的半平面，与中心轴夹角为中和平+ d甲的锥面所围成，它可以近似的看作边长分别 是dr,rd里,rsin里d0的小长方体，从而得到球面坐标系下的体积元素为dV = r 2 sin drd0d .再由直角坐标系与球面坐标之间的关系，可以得到下面的公式JJJ f (x, y, z)dV = JJJ f (r sin 甲 cos 0, r sin 甲 sin 0, r cos 甲2 sin 甲drd0d甲.VV例3计算三重积分如(x2 + y2dV，其中Q是右半球面x2 + y2 + z2 < a2, y > 0所Q围成的区域.解在球面坐标下，积分区域可以表示为Q = 0 < r < a,0 <0 <k,0 < <k所以jjjQ +y 2 )dV =jjj r 2 sin 2 中r2 sin drd0dQQ 一，=Jn d0jn dJar4 sin3 中dr000=Jn d0卜 sin3 中-r5d中0001 I兀-y a5 cos中一 cos3 中4=一na 5150与二重积分,三重积分一样可以定义一般n重积分.我们这里只是简单介绍.当V是R中的有界闭区域.依照可求面积的方法定义V的可求“体积”或可测(略).设 fX, x2，,xn，)是Rn中的有界可测闭区域V上的函数，任取V的分划P,即把分成若干个 可测小区域V ,V ,.,V ,它们的”体积”或测度分别记为AV ,AV ,., AV ,当令 12m12m1 q21表示两点的距离，d = sup! Q1Q2 I I Q1, Q2 E 匕,II P II= max/ ,d，,d ,对任取(xa),xa),xa) e V ,(i = 1,2,m),如果12m12nlim UIIPIIT0I =1f (X1 i), xU)，,x(：)¥ 存在，称 fX,X2, , xn，) 是V上的可积函数.其极限值称为f(x1，x2，,xn，)在V上的n重积分，记为j j f (xx2,x )dV 或V特别 当 V=a1,b1 x a2,b2 x.x 气，妇时,f (x ,x，,x )dx dx dx .12n 12 nVj.： j f (x ,x，,x )dx dx -dx=j dx jdx -f f (x ,x，,x )dx .1212n na2a若V上有一一映射Tx1x2=x (u , u，u )1 12n=x (u , u，u )212n其每个分量的函数有连续偏导数，=x (u , u，u ) n12n当V是有界可测区域，f(x1，x2，,xn，)在 T(V)上可积，并且Jacobid (x,x，,x )d(u ,u，,u )dxdudx11.dxndu1dx1dudx22du2dxdu2dxc n dx2dun:dx丰 0, (u ,u，u ) e V12n那么12nT (V)j. j f (x ,x ,x )dx dx dx(u ,u，u )12nj.j f (x (u ,u，,uV),x (u ,u，,u ),x212ndu du . dud(x ,x，,x )d(u ,u，u )12n特别是Rn中的球坐标变换T : x = r cos p , x = r sin p cos p , x = r sin p sin p cos p112123123,x = r sin p sin p sin p sin p cos p ,x = r sin p sin p sin p sin psin p ,在 R 中，0 < r <3,0 <p ,p ,p ,p <F,0 <p < 2兀.这时的Jacobi是d（x,x，,x ）d（r,p，,p ）1n-1dxdrdxdxndrdxi- dp dx1 2 dp1.dx dp1dx1dpc n-1dxdpn-1.dxndpn-1=rn-1 sinn-2 p sinn-3 p sinp同样可以得到相应的公式.例 4 求JJdx dx . dx .x 2 + x 2 HH x 2 < R 2<f,0 <p < 2兀.,12解 用球坐标.这时,0 < r < R,0 <p1,p2,p3,pJJ dx dx . dx = J dr J dp -J dpx 2 + x 2 +H x 2 < R 212如p 2 p 3p1 - 2兀其中& kn-200Jrn-1 sinn-2p sinn-3p .sinpdpF=J sink xdx, k = 1,2, .r m从而有 J,n = 2mdx dx . dx = <x 2 + x 2 HF x 2 < R 212nR 2 m兀mm!2 R 2 m+1（2 兀）m, n = 2m +1（2m +1）!习题12-41.设有物体占有空间V: 0WxW1, 0WyW1, 0WzW1,在点G, y,z)的密度是P G, y, z)= x + y + z,求该物质量.2.计算狙 xy 2 z 3 dxdydz ,其中V是曲面z = xy与平面y = x,x = a和z = 0所围成的闭V区域.3, 计算jdxdydz,_ ,其中是平面x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1所围成的(1 + x + y + z )3V四面体.4, 计算JJJ xyzdxdydz ,其中V是球面x2 + y2 + z2 = 1及坐标面所围成的第一卦限内的V闭区域.5, 计算Jjjxyzdxdydz，其中V是平面x = 0, z = y, y = 1以及抛物柱面y = x2所围成的V闭区域.6.计算iff zdxdydz ,其中V是曲面z = * x2 - y2及z = x2 + y2所围成的闭区域.V7.计算fff (x2 + y2)dv ,其中V是x2 + y2 = 2z及平面z = 2所围成的闭区域.8.计算fff (x2 + y2 + z2)dv，其中v是球面x2 + y2 + z2 = 1所围成的闭区域.9.计算fff zdv，其中V是由不等式x2 + y2 +(z - a* < a2, x2 + y2 < z2所围成的闭V区域.10. 用三重积分计算下面所围体的体积:(1) z = 6 - X2 - J2 及 z =、jx2 + y 2(2) x2 + y2 + z2 = 2az 及 x2 + y2 = z (含 z 轴部分)x 2 y 2 z 2 , x 2 y 2 z 2-11. 计算fff ( 2 + b2 + 2)dv , V: 2 + b- + - < 1.V厂T x2x 2 x 2x 2 , x 2 x 212. 计算J (- + - +)dx dx dx , V：1 + 2 + n < 12 a 2 a 21 2 n a2 a 2 a 2V 12n12n13 计算f . f (x + x + x )dx dx dx ,12n 12 nVV： x > 0,(i = 1,2,，n),x + x + x < 1.i12n