概率论1-4章课后习题讲解.ppt

1,概率论与数理统计习题解答课件,2,第一章 随机事件及概率,3,P23习题1.1 有数字0,1,2,3,4,5能组成多少个没有重复数字的五位数？,这6个数字选出5个来排列的方法有,解：由题意可知，,种；而,首位为0的有,种，故首位不能为0的为：,4,P23习题1.2 从含3件次品、7件正品的产品中任取 5件，其中有4件正品与1件次品，试问有多少种取法？,解：由题意可知，任取5件，其中有4件正品与1件次品的取法为：,5,P23习题1.3 试证,证明：由概率的加法公式得任意的两个事件A,B有,故,6,P23习题1.4 从含45件正品、5件次品的产品中任取 3件产品，试求其中恰有一件次品的概率.,解：由题意可知，A表示任取3件中有一件为次品事件，50件,中任取3件的取法为,。,而有一件为次品的取法为,故,7,P23习题1.5 一袋中装有6只白球，4只红球，2只黑球，求：,解（1）任取4个球都是白球的取法为,（1）从中任取4个球都是白球的概率；,4个球的取法有,（2）从中任取6个球恰好3白、2红、1黑的概率；,，而任取,，故任取4个球都是白球的概率:,（2）从中任取6个球恰好3白、2红、1黑的概率：,8,P23习题1.6 将10个不同的质点随机地放入10只不同的盒子中，求：,解（1）每个盒子都放有的方法有,（1）没有一个空盒子的概率；,法有,（2）至少有一个空盒子的概率；,，而总共的方,故没有一个空盒子的概率:P(A)=,（2）至少有一个空盒子的概率为：P(B)=1-P(A)=,9,P23习题1.7 在区间(0,1)中随机地抽取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率。,解：用x,y分别表示从(0,1)中取出的2个数，,则样本空间为正形：,如图所示，K为区域：,K,所以由几何概型得:,x+y=6/5,10,P23习题1.8 设一质点落在,解：如右图所示,由题意可知所求的概率为：,轴、,轴及直线,所围成的三角形区域内各点是等可能的，求这点在直线 左边的概率.,A,B,S,x,y,o,11,解：设A=第一次取得红球，B=第二次取得红球,P23习题1.9 袋中有10个球，其中8个红球，2个白球，现从中任取两次，每次一球，作不放回抽样，求下列事件的概率：(1)两次都取红球；(2)两次中一次取得红球，另一次取得白球；(3)至少一次取得白球；(4)第二次取得白球。,12,解(1)P(AB)=P(A)P(B|A),13,解：设A=甲译出密码,B=乙译出密码,P(A)=1/5,P(B)=1/3,P(C)=1/4,则A,B,C相互独立，且,C=丙译出密码.,则此密码被译出的概率为,P23习题1.10 甲、乙、丙三人独立地翻译一个密码，他们译出的概率分别是1/5，1/3，1/4，试求此密码被译出的概率。,14,P23习题1.11 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应为0.8，0.1和0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时时，售货员随意取一箱，而顾客随机地查看4只，若无残次品，则购买下该箱玻璃杯,否则退回，求：(1)顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。,15,解(1)设Ai一箱玻璃杯中含有i个残次品,i=0,1,2;,B=从一箱玻璃杯中任取4只无残次品,由题设可知,P(A0)=0.8,P(A1)=0.1,P(A2)=0.1.,根据全概率公式得,16,P23习题1.12 设8支枪中有3支未经试射校正，5支已经试射校正，一射手用校正的枪射击时，中靶概率为0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶概率为0.3，现假定从8支枪中任取一支进行射击，结果中靶，求所用的枪是已校正过的概率。,17,解 设A经过校正的枪,C=射击中靶,由题设可知,P(A)=5/8,P(B)=3/8,P(C|A)=0.8,P(C|B)=0.3.,根据全概率公式得,B未经校正的枪,18,P23习题1.13 对飞机进行3次独立射击,第1次射击的命中率为0.4、第2次为0.5、第3次为0.7.飞机被击中1次而坠落的概率为0.2,被击中2次而坠落的概率为0.6,若被击中3次飞机必坠落,求射击3次使飞机坠落的概率.,设B=飞机坠落，Ai=飞机被击中i次,i=1,2,3,由全概率公式,则 B=A1B+A2B+A3B,解:,依题意，,P(B|A1)=0.2,P(B|A2)=0.6,P(B|A3)=1,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),19,可求得:,为求P(Ai),将数据代入计算得:,设 Hi=飞机被第i次射击击中,i=1,2,3,P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.,20,于是,=0.458,=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,即飞机坠落的概率为0.458.,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),21,P24习题1.14 某人每次射击的命中率为0.6，独立射击5次，求：（1）击中3次的概率；（2）至少有1次未击中的概率.,解(1),(2)考虑至少有1次未击中的对立事件，,即每次都击中，其概率为：,故至少有1次未击中的概率为,22,P24习题1.15 某车间有12台车床，由于工艺上的原因，时常发生故障，设每台车床在任一时刻出故障的概率为0.3，且各台车床的工作是相互独立的，计算在任一指定时刻有3台以上车床发生故障的概率.,解：设A=任一指定时刻有3台以上车床发生故障,又因为,23,有0台车床发生故障的概率为,有1台车床发生故障的概率为,有2台车床发生故障的概率为,故,有3台车床发生故障的概率为,24,P24习题1.16 若1人负责维修同类型的设备20台，设各台设备的工作是相互独立的，在一天内发生故障的概率都是0.01，维修用不了多长时间，求设备发生故障而不能得到及时处理的概率，若3人共同负责维修80台呢？,25,解:(1)设A=设备发生故障而不能得到及时处理,故,26,(2)设A=设备发生故障而不能得到及时处理,故,27,第二章 随机变量及其分布,28,P43习题2.1 设在15只同类型的零件中有2只次品,在其中取3次,做不放回抽样,以X表示取出次品的个数，求X的分布率。解：设X表示取出次品的个数，则 X的取值可能是0，1，2，pX=0=pX=1=,29,pX=2=所以X的分布律为,30,P43习题2.2 一实习生用一台机器接连独立地制造了3个不同的零件，第i个零件是不合格的概率为Pi=1/(i+1),(i=1、2、3),以X表示3个零件中合格品的个数，求X的分布律。解：设Ai为第i个零件为不合格品事件，显 然A1、A2、A3为相互独立事件。由题设可知:X的取值只能是0、1、2、3,P(A1)=1/2 P(A2)=1/3 P(A3)=1/4,31,P(X=0)=1/24 P(X=1)=6/24 P(X=2)=11/24 P(X=3)=1/4 所以X的分布列为:,32,P43习题2.3 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的概率为1/2。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数。,33,解:X的取值为0,1,2,3,PX=0=1/2,X的概率分布为,PX=1=1/21/2=1/4,PX=2=1/21/21/2=1/8,PX=3=1/21/21/2=1/8,34,P43习题2.4 将一枚硬币连投n次，X表示n次中出现正面的次数，求X的分布律。解：XB(n,1/2),则X的分布律为,35,求X的分布函数,P43习题2.5 已知离散型随机变量X的分布率为,36,解：由分布函数的定义，则X的分布函数,37,（1）求系数A（2）X的分布函数F(x),P43习题2.6 设随机变量X的密度为,38,所以 A=1/2（2）因为,（1）因为,39,所以,40,求X的分布函数。解：当 X0 时,P43习题2.7设随机变量X的概率密度为,41,所以,当 X0 时,42,P44习题2.8 设连续型随机变量X的分布函数为,求:(1)A;(2)P0.3X0.7;(3)X的概率密度f(x),解:(1)F(x)在x=1点连续,由连续性得:,所以,A=1,43,0，x02x，0 x10，1x,即:,(3),44,若一架收音机上装了3个这种管子，求：（1）使用的最初150小时内至少有2个电子管烧坏的概率；（2）在使用的最初150小时内烧坏电子管数Y的分布率；（3）Y的分布函数。,P44习题2.9 设电子管的寿命X的概率密度为,45,因此至少有两电子管被烧坏的概率为,解:(1)最初150小时电子管烧坏的概率为,46,(2)Y为在使用最初150小时内烧坏的个数，则 YB(3,1/3),47,因此电子管数Y的分布列为,48,(3)Y的分布函数为,49,P44习题2.10 设随机变量X的概率密度为,表示观测值不大于0.1的次数，试求随机变量 的概率分布。,现对X进行n次独立重复观测，以,50,解：设X表示观测值不大于0.1的次数，,51,因此随机变量的概率分布为,52,P44习题2.11 设随机变量X服从1,6上的均匀分布，求方程y2+Xy+1=0有实根的概率。,解 因为要使方程有实根，则其判别式 所以 或又因为X服从1,6分布，故,53,P44习题2.12 设 现对 X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。,解:由题意得:,记A=X3,则P(A)=PX3=,2/3,设Y表示三次独立观测中A出现的次数,则,54,故所求为：,PY=2+PY=3,=20/27,PY2=,55,P44习题2.13 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(单位:分)服从参数为1/5的指数分布，若等待的时间超过10分钟，则他就离开，设他一个月内要来银行5次，以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布律及PY=1。,56,解（1）因为 所以,57,（2）Y是表示10分钟内等不到的次数，则,58,P44习题2.14 设随机变量XN(108,32),求：(1)常数a，使PXa=0.90;(2)P101.1x11.76.,解:(1)由题设可知查表可知所以,59,(2)因为 又因为 所以,60,P44习题2.15 某产品的质量指标若要求,若要求,问许最大的多少？,解：因为,，即,61,查表可知,所以,62,P44习题2.16 测量到某一目标的距离发生的随机误差X(m)具有概率密度 求：在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m的概率。,63,解：误差的绝对值不超过30米的概率为 所以误差超过30米的概率为：1-0.4931=0.5069所以三次误差绝对值都超过30米的概率为,64,因此三次测量中至少有一次误差绝对值不超过30的概率为,65,内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比.,P44习题2.17 设随机变量X的绝对值不大于1；,在事件-1X1出现的条件下，X在(-1,1),试求:,(2)X取负值的概率P,(1)X的分布函数F(x),66,解,由题设知,设,于是,(1)当,当,当,上式中令 得,推导较复杂先做准备工作.,67,又,于是当 时，,68,(2),69,P45习题2.18 设XB(3,0.4),求下列随机变量的分布律 1、Y1=X2 2、Y2=X2-2X 3、Y3=3X-X22,解：X的概率分布为PX=k=列表如下：,70,则有Y1，Y2，Y3的分布律分别为,71,P45习题2.19 设随机变量X的概率密度函数为,求随机变量Y=的概率密度函数。,解：先求Y的分布函数FY(y)=PY y=P y,（1）当y1时，=P(X0)=0,(2)当y1时,FY(y)=P(Xlny)=,72,所以Y的概率密度函数为,即,73,第三章 多维随机变量及其分布,74,P72习题3.1 箱子里装有12只开关，其中只有2 只次品，从箱中随机地取两次，每次取一只，且设随机变量X，Y为,试就放回抽样与不放回抽样两种情况，写出X与Y的联合分布律.,75,解:先考虑放回抽样的情况,则X,Y的联合分布律为：,76,再考虑不放回抽样的情况,则此种情况下，X与Y的联合分布律为：,77,P72习题3.2 将一硬币连掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出（X,Y）的联合分布律及边缘分布律.,解:已知可得：X的取值可能为0，1，2，3；Y=Y 的取值可能为1，3；硬币出现正面和反面的概率各为，可知,78,79,Y13,X 0 1 2 3,0 3/8 3/8 0 6/8 1/8 0 0 1/8 2/8 1/8 3/8 3/8 1/8 1,联合概率分布表为:,80,解：由已知可得：X的取值可能为0，1，2，3；Y的取值可能为0，1，2，3；则,P72习题3.3 把三个球随机地投入三个盒子中去，每个球投入各个盒子的可能性是相同的，设随机变量X与Y分别表示投入第一个及第二个盒子中的球的个数，求二维随机变量(X,Y)的概率分布及边缘分布.,81,82,则二维随机变量（X,Y）的概率分布及边缘分布为,83,P72习题3.4 设(X,Y)的概率密度为,求：(1)P(x,y)D,其中D=(x,y)|x1,y3;(2)P(x,y)D,其中D=(x,y)|x+y3.,84,解：（1）,（2）,85,P72习题3.5 设(X,Y)的概率密度为,求：(1)系数c；(2)(X,Y)落在圆,内的概率.,86,解：（1）由,得,可求得,（2）设,则,87,P72习题3.6 已知随机变量X和Y的联合概率密度为,求X和Y的联合分布函数。,解：随机变量X和Y的联合概率密度为,当x0,或y0时，F(x,y)=0;,当,时，,88,当,时，,当,时，,综上可得，X和Y的联合分布函数为,当,时，,89,P72习题3.7 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,（1）求常数k；（2）求 P0 x2,1y3;（3）求X,Y的边缘概率密度；（4）判断X与Y是否相互独立.,90,解：（1）由概率密度的性质有,即,有,（2）,91,(3)X的边缘概率密度为,当0 x6时，,当x0或x6时，显然有,92,Y的边缘概率密度为,当0y6时，,当y0或y6时，显然有,(4),X与Y不相互独立.,从 及 的表达式易知,93,P73习题3.8 已知随机变量X1和X2的概率分布,X1-1 0 1,P 1/4 1/2 1/4,X2 0 1,P 1/2 1/2,而且PX1X2=0=1.,(1)求X1和X2的联合分布；,(2)问X1和X2是否独立？为什么？,94,0,0,联合概率分布表如右图,1/2,0,1/4,1/4,1,0,0,1,-1,1,解(1)因为PX1X2=0=1，,所以PX1X20=0，,即PX1=-1，X2=1=0，,PX1=1，X2=1=0，,PX1=0，X2=1=1/2，,PX1=0，X2=0=0，,PX1=-1，X2=0=1/4,PX1=1，X2=0=1/4，,Pi.1/4 1/2 1/4,P.j 1/2 1/2,95,所以,可知,和,不独立.,(2)X1和X2不独立。,PX1=0，X2=1=1/2,因为,PX1=0=1/2，,PX2=1=1/2，,PX1=0，X2=1,PX1=0PX2=1=1/4,96,P73习题3.9 设随机变量X与Y相互独立，且都服从,上的均匀分布，求方程,实根的概率.,解：方程,有实根的充要条件是,由于随机变量X与Y相互独立，所以随机变量（X，Y）的联合概率密度为,下面分两种情况讨论：,有,97,（1）当,时，如图,98,(2)当,时，如图,99,综上可得：方程,有实根的概率为,100,求边缘概率密度和PX+Y1.,解:(1)当x0时,fX(x)=0;,所以X的边缘概率密度为,当x0时,P73习题3.10 设(X,Y)的概率密度为,101,Y的边缘概率密度为,当y0时，,，当y0时，,所以Y的边缘概率密度,而,102,P73习题3.11 设X,Y相互独立，其概率密度为,求Z=X+Y的概率密度.,解：由已知得,当z0时，,103,当0z1时，,当z1时，,Z=X+Y的概率密度为,104,此种类型的题目建议先求分布函 数在求导得密度函数,解：X与Y独立，则,则,105,易求,106,从而,107,P73习题3.12 设随机变量（X,Y）的概率密度为,求Z=X-Y的概率密度.,解：Z=X-Y的分布函数为,108,Z=XY的概率密度为,109,P73习题3.13 设随机变量(X,Y)的联合概率密度为,求Z=X2+Y2的概率密度。,110,时，,时，,解:当,当,111,P73习题3.14 设二维随机变量（X,Y）在矩形,上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度f(s).解：由已知可得随机变量（X,Y）的概率密度为,设边长为X和Y的矩形面积S的分布函数为F(s)，则,112,矩形面积S的概率密度为,113,P73习题3.15 设X和Y为两个随机变量，且,求,解：,同理可得,114,又,115,求：(1)PXY;(2)边缘概率密度；,P73习题3.16 设(X,Y)的联合概率密度为,116,解(1),117,(2),同理可得,118,(3),因为,所以,119,注：习题3.16可以推广到如下一般形式,设X、Y为相互独立同分布的连续型随机变量,证明:,证:,设X的分布函数为F(x),概率密度为f(x).,由题设,可设Y的分布函数为F(y),概率密度为f(y),则,则(X,Y)的联合概率密度为:,f(x,y)=f(x)f(y).,故,120,121,P74习题3.17 设X和Y是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知X的分布律为,PX=i=1/3,i=1,2,3.,又设,试写出变量,的分布律及边缘分布并求,122,Pi.1/9 1/3 5/9,P.j 5/9 1/3 1/9,解 因为,0,联合概率分布表如下图,1/9,2/9,1/9,1,0,0,1/9,2/9,2/9,所以,其他同理可得,123,P74习题3.18 设X关于Y的条件概率密度为,求,而Y的概率密度为,124,解 因为,所以,所以X的概率密度为,则,125,P74习题3.19 设(X,Y)的概率密度为,求：,（1）Z=maxX,Y的概率密度；,（2）Z=minX,Y的概率密度；,解(1)设Z=maxX,Y的分布函数为,概率密度为 则当 时，,126,当 时，,当 时，,故Z=maxX,Y的概率密度为：,127,(2)设Z=minX,Y的分布函数为 概率密度为 则当 时，,当 时，,当 时，,128,故Z=minX,Y的概率密度为：,129,P74习题3.20 假设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为0的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。试求电路正常工作的时间T的概率分布。,解：三个元件都无故障工作时间分别为X,Y,Z,则,T=min(X,Y,Z),且X,Y,Z的概率密度都为,130,则,故T服从参数为30的指数分布,即概率密度为,131,第四章 随机变量的数字特征,132,P89习题4.1,解：设所需比赛场数为X,则X的分布律为,解：设所需比赛场数为X,则X的分布律为,133,P89习题4.2,解：由题意知，10个电子元件中有2个次品，所以在取得正品前已取出次品数X的取值有三种情况，即X=0,X=1 X=2.,134,则X的分布律为,X的数学期望为,135,P89习题4.3,解：乘客侯车时间的随机变量X在区间0,5服从均匀分布，其密度函数为,136,(2),（2）,137,解：由题意可知，,P89习题4.4,138,P90习题4.5,解：(1)由密度函数的性质得,又由,139,（2）当x0时，F(x)=0,当0 x1时，,故X的分布函数,140,（3）（4）,141,P90习题4.6解：随机变量X的密度函数为,142,P90习题4.7解：由题意可知：,143,P90习题4.8解：由联合分布列求出其相应的边际分布列,144,P90习题4.9解：(1)由密度函数的性质得,（2）则,145,P90习题4.10解：(1)由密度函数的性质得,（2）,146,由X,Y的对称性，同理可得,147,148,P90习题4.11解：,E(2X-3Y2)=E(2X)3E(Y2)=2E(X)-3E(Y2)=,149,P90习题4.12解：,E(X)=E(Y)=0,D(X)=D(Y)=1，,150,P90习题4.13解：（1）由题意知，X的概率密度为,151,（2）,152,（3）,（4）,153,（5）,154,（6）,155,156,P90习题4.14解：设商店所获利润为P,则,157,要使E(P)最大，则E(P)对y求导为0，即,