正项级数敛散性的判别(IV).ppt

一元微积分学,大 学 数 学（一）,第2节 正项级数敛散性的判别,第七章 无穷级数,第二节 正项级数敛散性的判别,一.正项级数的审敛法,1.正项级数的定义,若级数,则称之为正项级数.,定义,2.正项级数收敛的充要条件,正项级数,Sn 有界.,定理7.1,级数,是否收敛？,该级数为正项级数,又有,(n=1,2,),故 当n 1 时,有,即其部分和数列 Sn 有界,从而,级数,解,例1,3.正项级数敛散性的比较判别法,且 0 un vn(n=1,2,),大收小收,小发大发.,记,0 un vn(n=1,2,),0 Sn Gn,证(1),证(2),判断级数,的敛散性.(0 x 3),由于,又,由等比级数的敛散性可知：,原级数收敛.,解,例2,讨论 P 级数,(p 0)的敛散性.,当 p1时,P 级数为调和级数:,它是发散的.,当 0 p 1 时,有,由比较判别法,P 级数此时是发散的.,解,例3,当 p 1 时,按 1,2,22,23,2n,项,而,对 P 级数加括号,不影响其敛散性：,故当 p 1 时,P 级数收敛.,综上所述:,当 p 1 时,P 级数收敛.,当 p 1 时,P 级数发散.,4.比较判别法的极限形式,由于,(0+),故 0,N 0,当 n N 时,不妨取,运用比较判别法可知,具有相同的敛散性.,证(1),当 0+时,由于,(=0),取=1 时,N 0,当 n N 时,故由比较判别法,当=0 时,证(2),由于,(=),M 0(不妨取 M 1),即,由比较判别法,证(3),故,N 0,当 n N 时,当=时,0 vn un,判别级数,的敛散性(a 0 为常数).,因为,(即=1 为常数),又,是调和级数,它是发散的,发散.,解,原级数,故,例4,5.比值判别法,利用级数本身来进行判别.,即=x2,解,例5,综上所述,当 0 1 时,原级数发散.,由达朗贝尔比值判别法知该正项级数收敛.,由级数收敛的必要条件得,例6,解,6.柯西根值判别法,解,例7,记,解,即,当 x a 时,当 0 x a 时,当 x=a 时,=1,但,故此时原级数发散.,（级数收敛的必要条件）,例8,