郑毓信报告《数学教学研究：问题与案例》.ppt

数学教学研究：问题与案例,郑毓信（2011，5）,回顾：关于教学研究的两点建议,（1）加强问题意识。问题应当被看成教师教学研究的直接出发点。问题从何而来？立足教学实践,（2）努力做到“小中见大”。既应切实立足于教学实践，同时又应努力指明问题的普遍意义。,对照：杭州长寿桥小学的“一点研究”。人民教育2009第18期）,“我们是从2004年开始倡导教师开展一点研究的。所谓的一点，指的是最困惑疑虑的一点，最成功满意的一点，最让自己感动的一点，印象最深的一点。”（1）可取之处：与教师的日常工作密切相关；（2）可能的改进：努力做到“小中见大”。,一个直接的推论,应当保持对于基本问题与热点问题的必要关注（读者意识）。,当前特别重要的一个课题,课改10年的总结与展望。湖北教育：“请读者关注课改十年，关注10年来教育教学的改革亮点、难点和盲点。”课程教材教法2011年征稿重点：全面反思过去十年课程改革历程,科学推进未来十年发展的精神.,插入：一些应当特别注意的文章,年终总结：人民教育、福建教育等的年终综述。未来展望：小学教学（河南）的年初展望。,关于一线教师教学研究的又一建议,（3）用案例说话。案例并可以被看成教师教学研究的实际切入点。,教学研究的应有特点：具体性、生动性,相关的论述：“教学法有关的研究叙述不宜精简或压缩，它的威力在于它的丰富，而不在于任何简洁的理论框架这些教育家的智慧表现在高度理论化了的和精巧的创新做法上面，表现在对教育情境的带有感情色彩的详尽描述和对经验的有见识的分析之中。”（毕晓普）,回到主题：“数学教学研究：问题与案例”,具体内容：（1）数学教学方法的改革与研究；（2）数学思维的教学；（3）从了解学生到努力促进学生的发展；（4）数学教育的误区与盲点,一、数学教学方法的改革与研究；,教学研究的一个永恒主题；课程改革的一项重要内容。,教学研究的一个范例,贲友林，“走向为学生的设计一节数学课历经14年的对比与思考”，教学研究与评论（小学数学教学），2010年第4期。主要内容：“两位数减两位数（退位）”的教学设计。,背景与思考,背景：1995年的一节课，2008年的一节课。研究的基本方法：从案例着手；分析比较。研究的具体途径：实践总结反思新的实践（“反思性实践”）,如何做到“小中见大”,三个主要的着眼点：（1）算题呈现与情境创设；（2）算法探究与动手操作；（3）课前预设与课堂生成。,（1）算题呈现与情境创设,13年前的数学课，出示算题的方式大都是开门见山，直截了当。2008年的数学课，则将计算问题与解决实际问题结合在一起，并用“懒羊羊、美羊羊”进行了包装。思考（问题的提出）：“今天是羊，明天是什么？懒羊羊、美羊羊的确是一年级学生喜欢的动画形象，但这样的情境创设对计算的学习究竟有什么作用呢？”,相关的结论,“数学教学中的情境创设，关键是要引发学生数学层面的思考。通过对教学内容问题化组织，引起认知冲突，生数学之情，入数学之境。两位数减两位数这节课中与计算所结合的实际问题，是求相差数的问题，学生在这节课之前已多次接触，只是在这里的数据是两位数，即便改换问题中的角色，学生列算式也几乎不需要思维上的努力，因而很难引发数学思考。”,“情境创设，不是简单地更换一下问题中的角色，让学生喜欢而已。创设情境，并非机械地按文本要求行事，而应当依据学生数学学习现实，激发学生的数学思考，还要考虑在这一过程中学生是否保持了心理的安全感。”,（2）算法探究与动手操作,13年前的数学课，学习算法的方法是教师讲，学生听，教师演示，学生看。2008年的数学课，学生先操作演示、讲解，教师再“重复”确认，学生先口述计算过程，教师再板书进行“规范”指导。思考（问题的提出）：“让学生直接看操作演示，或让学生动手操作探究，都是基于一年级学生的思维发展还处于具体直观阶段而采用的设计。那让学生直接看操作演示与让学生动手操作探究有什么不同呢？”,相关的结论,在实际教学中，部分学生的学习起点已经高于教材的逻辑起点，那么，动手操作还需要吗？我的想法是，动手操作依然有其价值与意义。我们可在教学时将探索性操作调整为理解性、验证性操作，将实物操作改为表象操作,（3）课前预设与课堂生成,13年前的课堂，教师演示、讲解，覆盖了学生的想法，学生亦步亦趋回答教师的提问，很难产生自己的想法，只要跟着教师走就行了。2008年的数学课，我们清晰地感受到，学生有不同的想法，且多次有表达的愿望。但课堂中，教师几次让学生“等一等”，“很自我”的处理，让学生难以言说。,思考（问题的提出）：“13年前的数学课，预设排斥与挤占了生成。2008年的数学课，预设给了生成的空间，却又未能处理好预设与生成两者的关系。我们都知道，课前预设是对教学的整体勾画，要与课堂生成有机统一。,相关的结论,“课堂生成，是更多地将学生作为教学资源。对预设与生成的处理，反映了教师眼中是否真正看到学生，心中是否实际装有学生。提供开放性的学习内容、开放性的教育资源、开放性的教学方式，让学生积极探索、思考、交流，是主动给学生的生成提供了可能。,小结,教学研究的永恒主题：教学方法的改革与研究；当前的聚焦点：新一轮数学课程改革的总结与反思基本的研究方法：案例分析，比较研究。一个应当特别注意的问题：防止“新八股”、新框框。,例“不妨请外行来听听数学课”（小学教学2010年第6期）,教学内容：用2-6的乘法口诀求商。片断一：教师出示问题：12个桃子，每只小猴分3个，可以分给几只小猴？师：谁会列式？生：123=4。师：（板书123）123你们会算吗？生：（整齐响亮地）会！,师：那好，请大家用三角形摆一摆。学生摆，教师巡视，请一名学生往黑板上摆。刘（听课的语文教师）：学生明明说出了123=4，老师为什么视而不见，不板书得数呢？陪同者：老师只要求学生列式，没让学生说出得数，列式是列式，计算是计算。,刘：全班学生都说会算，老师为什么不让学生说说他们是怎么算的，而非要按老师的要求来摆三角形？陪同者：可能老师认为不能这么快说出得数，而操作很重要，所以大家都来摆一摆。刘：这样太不自然了。,片断二,黑板前的孩子摆成的三角形是4堆，每堆有3个师：他摆得对吗？分成了几堆？生：对！分成了4堆。老师在算式后面接着板书得数“4”。,师：刚才我们用摆学具的方法算出了得数。请小朋友开动脑筋想一想，“123”还可以怎样想？教室里一片沉寂。刘：还可以怎样想呢？我也不知道啊。陪同者：还可以想乘法口诀呀！因为三四十二，所以123=4。刘：（恍然大悟）哦，没想到。,片断三,讲解完用乘法口诀求商以后，老师又进一步追问：“123”还可以怎样想？几个孩子答了一些不着边际的想法。教室里又是一片沉寂。刘（疑惑地）：还能有什么方法？陪同者：说不准，看看教材上是怎么写的。两人开始翻教材，只见教材上写着：第一只分3只，12-3=9；第二只分3只，9-3=6；第三只分3只，6-3=3；第四只分3只，正好分完。,生：还可以一只猴子一只猴子地分，分给一只猴子就减一个3，师：（喜不自禁）这位小朋友真不错！生（迟疑地）老师，我还有一种方法：3+3+3+3=12。一只猴子分到3只，2只猴子分到6个，师：你真聪明！也奖你一颗五角星！,刘：（皱着眉头）怎么搞得这么复杂啊？陪同者：这不是复杂，这是算法多样化。现在的计算提倡算法多样化。刘：可我怎么觉得很牵强，把简单问题复杂化了？,片段四,师：请小朋友看黑黑板，现在有这么多种方法来算123，你最喜欢哪种方法？生：我喜欢减法，因为它最特殊。师：不觉得它很麻烦吗？生：不麻烦！师：谁再来说说，你最喜欢哪种方法？生：我最喜欢加法。师：为什么？生：因为我喜欢做加法，不喜欢做乘法。,师：（无奈地指着用乘法口诀求商的方法）有没有喜欢用这种方法的？有少部分学生响应。师：其实，用乘法口诀求商是最简便的方法。以后我们做除法时，就用这种方法来做。刘（很困惑地）：老师到底想问什么？学生答了，她又不满意，也不理会。,陪同者：这一环节是算法的优化，多样化以后一般都会优化。前面两个学生说的不是最优的方法，所以没办法理会。刘：那些方法不是她自己硬“掏”出来的吗？好不容易“掏”出来的东西，这会儿又瞧不上了。他的学生可真不容易当啊！,作者的反思：“她的感受很本原，很真实，恰好击中了数学教学的积弊，惊醒了我们这些局中人。”,更为一般的分析,（1）从教学方法的改革看课程改革：对于新的教学方法的大力提倡以及形式主义的盛行。对于形式主义的必要纠正（常识的回顾）。（2）新的努力方向：对于常识的必要超越，这也是“专业化”的一个基本涵义,一些研究问题,第一，我们究竟应当如何去处理“情境设置”与“数学化”的关系？什么又是数学教学中“去情境”的有效手段？第二，除去积极鼓励学生的主动探究以外，教师在教学中又应如何发挥应有的指导作用，什么更可看成数学教师在这一方面的基本功？,第三，什么是好的“合作学习”所应满足的基本要求？从数学教学的角度看我们应当如何去实现这些要求，数学教学在这一方面又是否有其一定的特殊性？第四，应当如何去认识“动手实践”与数学认识发展之间的关系？特别是，什么是“活动的内化”的真正涵义？,二、数学思维的教学,基本态度的重要变化：由普遍的抵触到积极实践。,当年的普遍看法：“数学思维，想说爱你不容易！”,小学数学不必提什么数学思想吧？那有什么意思呀？真的搞不懂，你们的学生个个是天才吗？对学生没有必要说这个事吧？小学生没有一定的数学知识怎么能体验和理解那个东西（数学思想方法）呀？对小学生谈数学思想是有点虚的感觉呀。和小学生谈什么所谓的数学思想有一点拨苗助长的味道。,新的认识,即使是最为初等的教学内容仍然充满着数学思维。当前的迫切任务：清楚界定，合理定位。前提：教师本身也应有一个再学习的过程。,数学思维学习的关键,数学思维的学习不应求全，而应求用，即应联系自己的教学实践去进行学习，学以致用。学习的基本途径：从案例着手。,插入：“双基”教学的必要发展,基础知识的学习，不应求全，而应求联；基本技能的学习，不应求全，而应求变；基本思维的学习，不应求全，而应求用。,例“植树问题”的教学,教学研究的一个持续热点：“众所周知，植树问题是一个经典的问题，长期备受众多专家、特级老师的青睐，曾经无数次被搬上舞台演绎出许多经典课例。”（郦丹）教学重点：数学思维的学习。,教学中的常态,任课教师通常特别重视关于“植树问题”三种不同类型的区分，即“两端都种”、“只种一端”与“两端都不种”。上述三个类型的区分往往又被归结为“规律的发现”，教学中并普遍采取了“学生独立探究（或分组探究）、反馈交流、教师总结”这样的教学方法。第三，就相关的数学思想而言，并有不少教师突出地强调了所谓的“化归思想”。,分析与思考（1）：“归类”与“分类”,“植树问题”事实上涉及到了两种不同的数学活动：（1）以“植树问题”为原型引出普遍性的数学模式，然后再利用这一模式去解决各种新的类似问题，如路灯问题、锯树问题、爬楼问题等。（2）对于所提到的每一个问题我们又都可以区分出三种不同的情况，即所谓的“两端都种”、“只种一端”与“两端都不种”。,清楚界定,究竟何者是这一教学活动的重点？什么又是教学活动的真正难点？教学中的常见现象：“有些学生虽然会解决这一问题，但这些学生尚不能把植树问题的解决方法与生活中相似的现象进行知识链接，这就导致了能找到规律但不会熟练运用规律”（张锡忠）,分析与结论,如果学生未能清楚地认识到路灯问题、锯树问题等都与植树问题具有相同的数学结构，对他们来说，“这属于植树问题中的哪个类型？”就完全没有意义。结论：“模式的建构”比“三种情况的区分”更加重要，我们在教学上应对此给予更大的关注。,如何能够超出“植树问题”并引出普遍性的模式？,问题的适当转移：由“植树问题”到“分隔问题”；一个重要的方法：图形与符号的适当应用。一些实例：叶婉红，“植树问题教学实录与评析”，小学数学教育，2008No.7；张锡忠,，“植树问题课堂实录”，小学数学2008No.2,分析与思考（2）：规律的“机械应用”与思维的灵活性,问题：我们在教学中是否应当特别重视“两端都种”、“只种一端”与“两端都不种”这样三种情况的区分，并要求学生牢牢地记住相应的计算法则（“加一”、“不加不减”、“减一”），从而在面对新的类似问题时就能不假思索地直接应用？,有益的思考,就“植树问题”而言，在现实中是否真的只有“两端都种”、“只种一端”、“两端都不种”这样三种情况？进而，对于其它的可能的情况我们又是否也应要求学生总结出相关类型，并牢牢记住相应的“规律”（“加二”、“减二”、“乘二”、“除二”）？,插入：一个“反例”,教学中的“病态现象”（施银燕，小学教学，2011年第4期）：“小明踢球，从3时踢到5时，他踢了几小时？”我的孩子有得3小时的，通过数数就能检验出是错误的，他们却深信不疑：我们学过植树问题，5-3+1=3。”,分析与结论,将三种情况的区分及相应的计算法则看成是一种“规律”、并要求学生牢固掌握从而就能直接加以运用并不恰当；真正重要的是“一一对应”这样一个数学思想，也即在“间隔”与“树”之间所存在的一一对应关系。所谓的“加一”、“减一”等法则都只是针对具体情况作出的必要变化从而，在此所需要的就不是“规律的应用”；而是思维的灵活性，也即如何能够通过基本模式的适当变化适应变化了的情况。,总结,这是“植树问题”教学的两个主要环节：（1）突出“分隔问题”，也即如何能以“植树问题”为背景帮助学生建构起相应的数学模式；（2）明确“间隔数”与“所种树的棵数”这两者之间的关系，突出“一一对应”，并以此为基础求解各种变化了的情况。,应当注意的问题,对于“两端都种”等三种情况的区分我们不应过于强调，更不应将相应的计算法则看成所谓的“规律”并要求学生牢牢记住从而就能不假思索地加以应用，而应更加强调思维的灵活性。回顾：数学基本技能的学习，不应求全，而应求变。,例“找次品问题”与数学思维,问题：如果243个产品（螺丝钉）中有一个次品（较轻），用天平至少称几次能保证将把它找出来？,教学中的两个关键点,第一，如何能够帮助学生很好地理解题意？第二，特殊化方法的应用：为了解决原来的问题，应当首先研究与此相似、但又较为简单的问题。,（1）弄清问题,波利亚的相关论述：对于解题过程我们可以分解成这样四个阶段：（1）“弄清问题”；（2）“拟定计划”；（3）“实现计划”；（4）“回顾”。“弄清问题”的重要性：磨刀不误砍柴工！,具体化,（1）弄清条件。什么是“天平”的主要特点？对于所需检验的产品、特别是次品我们知道些什么？（2）明确目标。什么是“至少称几次能保证将把它找出来”的准确涵义？,相关的建议,第一，教学中不应停留于词语分析，而应通过实例的考察使学生获得切实的体验。第二，就所说的特例而言，我们并可首先围绕日常生活中经常会想到的一些问题组织学生进行讨论，如“如果运气好的话，只要称几次就可以了？”“如果有几种不同的称法，这几种方法中哪一种方法最好？”,关键,我们在教学中又必须超越日常生活过渡到数学思维，后者不仅是指如何用数学语言去取代日常语言，包括由不精确过渡到更为精确的表述，更是指这样一种思维方式：我们在此所关注的已不是现实中究竟会出现怎样的情况，而是如何能够基于各种可能性的综合分析得出普遍性的结论。,（2）特殊化方法的运用,相关的论述（梅森）：由随意的特殊化去了解问题；由系统的特殊化为一般化提供基础；由巧妙的特殊化对一般性结论进行检验。,聚焦“系统的特殊化”,问题的具体化：我们在此应当选择n=?（问题的普遍化：“如果n个产品（螺丝钉）中有一个次品（较轻），用天平至少称几次能保证将把它找出来？”）目标：通过特殊化找出解决此类问题的普遍思路。,几个特别重要的思想（解题策略）,策略一：“三分”的合理性。（“不称”有时也是一种“称”。）策略二：问题的适当归类。（有时产品多一个、少一个并不会影响到最终的答案。策略三：如何能够充分利用已获得的成果由简到到繁地去开展研究。策略四：思维的条理性。应当帮助学生跳出各个具体步骤并从整体上把握全部的解题过程。,教学的真正难点,我们不应满足于教师自身能够通过数学思维的恰当运用成功解决这一问题，也应通过自己的教学帮助学生真正理解解题过程的合理性，从而切实起到“帮助学生初步地学会数学思维”的作用。,教学设计,第一步，取n=5，帮助学生通过实际尝试真正弄清问题。第二步，先选n=3，再选n=9。从而帮助学生很好理解上述的“策略一”和“策略三”。在这两种情况下，我们仍可让学生先行主动地进行探究；但教师在教学中又应特别强调这样两点：（1）“三分”的合理性与“优化”的思想；（2）“充分利用已获得的成果”也是一个十分重要的解题策略,波利亚的相关论述,“在解题的每一阶段，我们都把关于一个新的分量的知识加到已经得到的知识上去，在每一阶段，我们又都要用已经得到的知识去得出更多的知识，我们要靠逐省逐省的占领去最后征服一个王国。在每个阶段，我们利用已被征服的省份作为行动基地去征服下一个省份。”（“递归模式”）,第三步，在n=3和n=9的情况得到解决以后，我们又可选择n=8，甚至还可再选n=7或6，从而帮助学生较好地理解“策略二”。相关的数学思想：数学中的分类应当具有明确的目的性，而不应为了分类而分类。,一个反例,这是北京“幼升小”的一个测试题：“1到9九个数，按照要求给它们分类，比如（1、3、5、7、9）和（2、4、6、8）是按照奇数、偶数来分，那如果是（1、3、7、8）；（5、9）和（2、4、6），这是按照什么将它们分为三类的？”。答案：后一分类是按照拼音来分的：1、3、7、8都是第一声，5、9是第三声，2、4、6都是第四声。,第四步，下一步的选择显然应是n=27（为什么？）在教学中我们并应要求学生对自己的解题方法作出表述，这对于他们深入体会“策略三”与“策略四”是十分有益的。“流程图”的应用。,相关的论述：“序的把握”,“一个数学证明并不是若干三段论的简单并列，而是众多三段论在确定的序之中的安置。这种使元素得以安置其中的序要比元素本身重要得多。一旦我感觉到，也可以说，直觉到这个序，以致我一眼之下就领悟了整个推理，我就再也不必害怕会忘掉任何一个元素，因为每个元素都将在序中各得其所，而这是不需要我付出任何记忆上的努力的。”（彭加莱）,插入,一个的论述：所谓“数学化”主要是一个“从无到有、从粗糙到精确”的过程。（香港教育学院冯振业）,第五步，解决原来的问题。两种可能的选择：（1）在解决了n=27的情况以后，让学生首先发表看法下一步应当选择几。（2）不是“按步求班地”由n=27过渡到n=81，而是一下子直接跳到n=243。,结论,就“找次品问题”的教学而言，重点在于应将数学思维的教学真正落到实处，特别是，我们在教学即应注意突出这样两种数学思想或解题策略：（1）特殊化；（2）“序”的把握。,必要的发展,这也是一种十分重要的数学思维：我们不应满足于“问题解决”，而应“继续前进”。例1 如果事先只知道“次品重量不一样”，而不是“次品较轻”，结果有什么不同？例2如果事先知道有两个次品，而不是只有一个次品较轻，结果有什么不同？,总结,数学思维的学习：不应求全，而应求用，从案例着手。主要的工作方向：清楚界定，合理定位。一个建议：抓住重点，不应平均使用力量。,三、从了解学生到努力促进学生的发展,近年来的一项重要变化：对于学生数学学习活动的高度关注。例“全国小学数学名师新秀最新教学案例专号”（小学教学，2010年第7-8期）,张齐华，“数学教学，从学生的需要与困惑出发”；位惠女，“循着学生的思路开始”；朱国荣，“追寻基于学生的理想课堂”；贲友林，“基于学生的数学教学”；张良朋，“为促进学生的思维发展而教”；牛献礼，“教学要从学生的视角望出去”,回顾：相关的建议,面对任一新的发展我们都应认真地思考这样几个问题：（1）是什么？（2）是否有其一定的合理性？（3）如何避免可能的问题或克服其局限性？,具体分析,合理性：对于学生数学学习活动、特别是内在思维过程的很好了解应当被看成教学工作的直接前提：这不仅关系到了教师应当如何去教，也关系到了我们应当教什么，乃至数学教育的基本目标。,进一步的问题,（1）我们应当如何去了解学生？（2）进一步的工作：由了解学生到努力促进学生的发展。研究的具体途径：从案例着手。,例 学生中的两个常见“困惑”,困惑一 0.9999究竟是否等于1？困惑二 1/2与1/3究竟哪个大？问题：为什么会出现这样的情况？这时在学生头脑中出现的究竟是怎样的一种情况？,教师的努力与学生的反应,证明1：因为1/3=0.333，两边都乘以3，我们就得到1=0.999“学生的反应：吃惊，怎么会这样？”（苏明杰，“我与学生沟通0.999等于1”，小学数学教师2010年第12期）,证明2：因为 0.9910-0.991=0.999 所以 9.99-0.99=0.99 9 所以 9=0.99 9所以 9/9=0.99所以 0.99=1学生的反应：“老师绕来绕去的，好像是对的。”,分析与思考（1）,理论的重要性：现象的理解与解释都离不开理论。国际上的相关经验：就学生数学学习活动的了解而言，重要的“并不仅仅在于如何能够获得更多的材料，而主要是适当的视角，并能将此组织到关于数学思维与学习的深入理论之中。”（斯法德）,更为普遍的结论,人们总是通过“有色眼镜”看待世界的，这也就是指，即使是“观察”这种最为基本、最为直截了当的活动事实上也不简单，而是同样表现出了理论的影响和渗透。,分析与思考（2）：聚焦“困惑一”,关键：两种不同的无限观（1）潜无限的观念：这是指把无限看成一个过程、一个永无止境的生成过程；（2）实无限的观念：这是指把无限看成一种已经生成了的对象。,学生无限观的最早形成,原型：自然数的无限性与直线的无限延伸性。与此相应的显然是潜无限的观念。相应的问题：学生在相关的学习中为什么没有感到特别困难？分析：正是实际操作与学生已形成的心理习惯（思维能力）为此提供了必要的基础。,进一步的思考,学生为什么会对“0.9999=1”始终感到困惑不解？关键在于促成学生无限观念的很必要更新，即是如何能由潜无限的观念转变到实无限的观念。,有益的对照：“阿基里斯悖论”,“动得最快的东西（古希腊著名善跑者阿基里斯）永远追不上动得最慢的东西（乌龟）。因为，阿基里斯首先必须到达乌龟的出发点，这时乌龟会向前走了一段路；于是阿基里斯又必须赶上这一段路，而乌龟又会向前走了一段路；因而，他只是愈追愈近，但却始终追不上它。”,转向教学,（1）转变视角。教学中可以首先对原来的问题加以变化，也即引导学生具体地去思考这样一个问题：“0.99与1相差多少？”显然，在这样的形式下，相应的过程就是：0.1，0.01，0.001，00001，,（2）语言引导。就上述问题的求解而言，容易看出：计算的时间越长，两者的差就越小；计算的时间很长，两者的差就很小；计算的时间很长很长，两者的差就很小很小；计算的时间很长很长很长，两者的差就很小很小很小；,（3）引发“内在冲突”。教师此时可以提出这样一个问题：“但是，两个数的差是否是一个确定的差？”进一步的追问：“两个数的差很小很小很小，比所讲的任何一个数都要小，这种情况只有在什么时候才可能出现？”,分析与思考（3）：转向分数的教学,数学学习心理学现代研究的一项重要成果：在大多数情况下数学概念的内在表征都并非概念的严格定义，而是一种由多种成分组成的复合物，包括相应的心智图像、对其性质及相关过程的记忆，以及相关的实例等，从而，我们在此也就应当作出关于“概念定义”与“概念意象”的明确区分。,两者的不同性质,学生为什么会感到困惑？,“1/2与1/3的大小不确定，因为，大圆的1/3比小圆的1/2大。”分析：学生关于分数的理解始终停留于“整体与部分的关系”这样一种理解。,相关的事实,人们对于分数的认识事实上有一个不断发展与深化的过程，这并集中地反映于分数的多个“定义”（解释），包括“份数定义”、“商的定义”、“比的定义”等。,有益的对照,为什么在自然数的学习中没有产生类似的疑问，如“2与3的大小不确定，因为，2个十比3个一大！”关键：数的对象化、结构化。,分数的“对象（客体）化”,学生学习分数的主要难点之一：在尚未求得两个自然数的比值的情况下，如何能将它们的商看成一个真正的数？这也正是人们何以普遍倾向于以“实物分割”来引入分数的主要原因：在这种情况下，由“过程”向“对象”的转化是十分自然的。,难点之二,如果说分数的“商的定义”主要涉及到了过程与对象之间的关系，那么，分数的“比的定义”则更意味着采取了一个新的不同视角：我们在此此关注的已不再是每一个分数是如何产生的，而是各个分数之间的关系，也即分数的整体结构。,数学：结构的科学,数（数学对象）的性质主要表现于相互关系，特别是，大小关系（序结构）与运算关系（代数结构）。我们并就应当从这一角度更为深入地去理解“对象的生成”的涵义。,从数学思维的角度看,数学思维的又一重要形式：建构性，也即如何以已有的数（在此指自然数）为基础建构出新的数（在此指分数）。这也是数系不断扩张的一个基本形式。,进一步的思考,那么，在分数的教学中我们是否就应唯一地去强调由多个不同定义向严格数学定义、也即能够正确反映分数本质的“比的定义”的过渡呢？,必要的平衡：数学思维的两个不同方面,数学思维的“垂直方面”：数学思维的建构性与层次性。数学思维的“水平方面”：数学思维的整合性与灵活性；,数学学习心理学研究的普遍趋势,由“单一表征理论”向“多元表征理论”的必要转变，后者即是指，数学概念内在表征的各个方面对于概念的正确理解都具有重要的作用；从而，与片面强调其中的某一成分相对照，我们就应更加重视不同方面之间的联结。,概念的“多元性”与“整合性”,概念表征的“多元性”：现实情景、动手实践、口头表述、图象、文字符号表征。数学思维的一个重要特性：思维的综合性与灵活性。,教学涵义,（1）注意纠正对于“情境设置”或“动手实践”的片面强调。（2）我们在教学中并应注意应用举例、图像演示、隐喻与手势（身体活动）等多种手段。相关的论述：“语言活动、手势和身体活动、隐喻、生活经验、图像等”都应被看成数学中意义建构的重要来源。,（3）我们在教学中并应注意发挥学生的主体作用，如要求学生用适当的物质对象证实相关的结论，为数学概念举出具体实例，用隐喻来说明自己的感受或体验，对新学习的概念作出表述甚至作出自己的定义，等等。（4）重视“联结”与思维灵活性的培养。,回到分数的教学,分数的多个定义恰就表明了概念的多元性，从而，我们在教学中就应特别重视帮助学生从多个不同角度去理解分数，并努力实现不同方面的必要互补与适当整合。,相关的结论,分数的认识不可能一次得以完成，而必然有一个不断深化的过程，从而，我们在教学中就不应刻意地去追求这样一个目标，即是希望设计出这样的教学方案，一下子就能帮助学生掌握分数的本质，而应更加注意如何能够促进学生思维的不断发展和深化。,总结：两个应当特别重视的工作,深入了解学生；努力促进学生的发展。一个相应的结论：理论的重要性。,国际上的相应变化,数学教育理论研究的三个阶段（1）20世纪的60-70年代：“课程的时代”（the era of curriculum）；（2）20世纪最后的20年：“学习者的时代”（the era of the learner）；（3）当前：“教师的时代”（the era of the teacher）。,四、数学教育的误区与盲点（人民教育，2011年第3-4期）,“误区”：主要指数学教育领域中的这样一些理念，其基本涵义并没有错，但由于人们在接受时往往没有经过认真思考，接受后又很少会对自己是否真正领会了精神实质、包括其局限性做出深入的思考，因此就很容易出现理解上的片面性与做法上的简单化。“盲点”：实践中所出现的这样一些问题，对此人们不仅没有能够在事先有所警惕与预防，在出现以后也往往视而不见、听之任之。,（1）聚焦“过程教育”,究竟什么是“数学活动”的基本涵义？我们又是否应对“学生的学习活动”与“真正的数学活动”作出必要的区分？过程与结果的辩证关系。,相关的论述,“模式的建构与研究”（斯蒂恩）“数学化、公理化与形式化”（弗赖登特尔）“问题解决”（波利亚）“下定义，概括，抽象，综合，表征，视觉化，公理化，符号化，算法和证明。”（哈雷尔等）,相关的结论,应当清楚地认识数学活动的复杂性和多元性。也正因为此，将“数学活动”简单等同于某种具体的数学活动，无论这是指外部的操作性活动，也即所谓的“动手实践”，或是指归纳与演绎这样的逻辑思维活动，乃至别的什么活动，都是不够恰当的。相对于抽象的论述而言，我们又应更加重视如何能够通过实际参与数学活动获得这方面的直接体验。,（2）关注“两极分化”,一个基本事实：“两极分化”加剧。应有思考（1）“两极分化”的范围与程度？（2）当前的“两极分化”与先前的“两极分化”是否具有相同的性质？什么又是造成这种新的两极分化的主要原因？（3）我们又应如何去解决所说的“两极分化”？,一个可能的结论,“所谓的超前教育正是造成现今两极分化的一个重要原因，这就是指，我们此所看到的事实上并非真正的优秀学生与差生间的差距，而是由各种原因造成的提前起跑者与正常起跑者之间的差距”.更为严重的是，“这里所说的先进生有很多不仅不能被看成真正的优秀学生，更可能是一个越做越恨、越学失败感越强，甚至灵魂也因此受到一定扭曲的偷跑者。”,其它的“误区”与“盲点”,“教育以学生为本”与“以学生为中心进行教学”；“精英教育”的缺失。,总结,加强问题意识，重视案例分析，积极开展教学研究，不断改进数学教学。,欢迎批评与指正 谢谢！(),郑毓信，“数学课程改革如何深入？”人民教育，2010年第5期 郑毓信，“数学教师的专业成长”，人民教育，2010年第8期郑毓信，“数学教育的误区与盲点”，人民教育，2011年第3期,郑毓信，开放的小学数学教学（郑毓信数学教育论丛之一），江苏教育出版社，2008郑毓信，数学思维与小学数学（郑毓信数学教育论丛之二），江苏教育出版社，2008郑毓信，数学教育新论，人民教育出版社，2011，6,