正弦定理余弦定理应用举例.ppt
1.2.正余弦定理应用举例,正弦定理：,正弦定理的一些常见变形：,余弦定理：,角化边公式,斜三角形的解法,用正弦定理求出另一对角,再由A+B+C=180，得出第三角,然后用正弦定理求出第三边。,正弦定理,余弦定理,正弦定理,余弦定理,由A+B+C=180,求出另一角，再用正弦定理求出两边。,用余弦定理求第三边，再用余弦定理求出一角，再由A+B+C=180得出第三角。,用余弦定理求出两角，再由A+B+C=180得出第三角。,一边和两角(ASA或AAS),两边和夹角(SAS),三边(SSS),两边和其中一边的对角(SSA),解三角形时常用结论,二.判断三角形形状,1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量:距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.,2.实际问题中的常用角（1）仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标 视线的夹角,目标视线在水平视线 叫仰角,目标视线在水平视线 叫俯角（如图）.,上方,下方,(2)方位角指从 方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为（如图）.,正北,A,C,B,51o,55m,75o,测量距离,题型一 与距离有关的问题 要测量对岸A、B两点之间的距离，选取 相距 km的C、D两点,并测得ACB=75,BCD=45,ADC=30,ADB=45,求 A、B之间的距离.分析题意，作出草图，综合运用正、余弦定理求解.,题型分类 深度剖析,解 如图所示在ACD中，ACD=120，CAD=ADC=30，AC=CD=km.在BCD中，BCD=45，BDC=75，CBD=60.在ABC中，由余弦定理，得,测量高度,例2.在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30，60,则塔高为（）解析 作出示意图如图，由已知：在RtOAC中，OA=200，OAC=30，则OC=OAtanOAC=200tan 30=在RtABD中，AD=，BAD=30，则BD=ADtanBAD=,A,题型二 与高度有关的问题,变式2 如图所示，测量河对岸的 塔高AB时，可以选与塔底B在同一水 平面内的两个测点C与D，现测得 BCD=，BDC=，CD=x，并 在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.解 在BCD中，CBD=-,例3.在海岸A处,发现北偏东45方向,距离A n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的 方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以 10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？分析 如图所示，注意到最快追上走 私船且两船所用时间相等，若在D 处相遇，则可先在ABC中求出BC，再在BCD中求BCD.,题型三 与角度有关的问题,则有CD=10 t，BD=10t.在ABC中，AB=-1，AC=2，BAC=120,由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=（-1）2+22-2（-1）2cos 120=6,BC=，即CBD=90+30=120，在BCD中，由正弦定理，得BCD=30.即缉私船北偏东60方向能最快追上走私船.,解:设缉私船用t h在D处追上走私船，,1.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15，与灯塔相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后，又测得它在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）（A）海里/小时（B）海里/小时（C）海里/小时（D）海里/小时,练习,【解析】选B.由题意知NMS=15+30=45，MNS=60+45=105，由正弦定理得,4.（2010泰州模拟）如图，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为,沿BE方向前进30米至C处测得顶端A的仰角为2,再继续前进 米至D处，测得顶端A的仰角为4,则的值为（）（A）15（B）10（C）5（D）20,【解题提示】解答本题的关键是将放在某一三角形中，借助正、余弦定理确定的值，就本题而言，在ACD中，三边可求，利用正弦定理可求出cos2的值，进而确定的值.,【解析】选A.由条件知ADC中，ACD=2，ADC=180-4,AC=BC=30,AD=CD=,二、填空题（每小题3分，共9分）6.（2010珠海模拟）如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30，与O相距10海里的C处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20海里的B处的乙船，甲船需要_小时到达B处.,【解析】由题意，对于CB的长度，由余弦定理，得CB2=CO2+OB2-2COOBcos120=100+400+200=700.CB=,甲船所需时间为 小时.答案：,例4 如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上的 一个动点，以DC为边作等边PCD，且点D与 圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的 最大值.,题型四 正、余弦定理在平面几何中的综合应用,解 设POB=，四边形面积为y，则在POC中，由余弦定理得PC2=OP2+OC2-2OPOCcos=5-4cos.,1.合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念 建立三角函数模型.2.把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个 平面上利用三角函数求值.3.合理运用换元法、代入法解决实际问题.,思想方法 感悟提高,
