线性代数逆矩阵重点精讲.ppt

25 逆矩阵,在实数运算中，若a0，则总能找到一个数 b,使得ab=ba=1，称b为a的逆。,定义214 对于n阶方阵A，若存在矩阵B,使得,则称A为可逆矩阵，简称A可逆。并 称B为A的逆矩阵。,定义214的说明：,（1）逆矩阵只对方阵而言，且B与A为同阶方阵,（2）A、B互为逆矩阵。,（3）若A可逆，则其逆矩阵是唯一的,(因为若B、C都是A的逆矩阵，则有AB=BA=E,AC=CA=E,于是 B,即,记为,=BE,=B(AC),=(BA)C,=EC,=C）,例如,由于,=E,且,=E,所以A可逆，B为A的逆矩阵,即,同时,【例1】设对角矩阵,，其中,证明A可逆，且,证明：因为,=E,且,=E,所以，A可逆，且,例（补）设方阵A满足,证明2A+E,可逆，且,故2A+E可逆，且,且,证明：因为,逆矩阵的运算公式：,2、若A可逆，则,1、若A可逆，则,5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且,证明：,且,即,证明：,且,即,注意：若A、B不是同阶方阵，该结论不成立,5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且,证明：,且,即,故AB可逆。且,因为当 时，,但A-1和 B-1没意义,AB为n阶方阵，AB有可能可逆，,判断题：1、若A、B都是可逆矩阵，则A+B也是可逆矩阵。2、若AB是可逆矩阵，则A、B也都是可逆矩阵。3、若n阶方阵AB是不可逆矩阵，则A、B中至少有一个是不可逆矩阵。4、若A是可逆矩阵，且AX=AY，则X=Y,（因为A、B有可能都不是方阵）,故A可逆，且,且,因为,25 逆矩阵,定义214 对于n阶方阵A，若存在矩阵B,使得,则称A为可逆矩阵，简称A可逆。并 称B为A的逆矩阵。,即,记为,定义214的说明：,（1）逆矩阵只对方阵而言，且B与A为同阶方阵,（2）A、B互为逆矩阵。,（3）若A可逆，则其逆矩阵是唯一的,上堂课主要内容：,逆矩阵的运算公式：,2、若A可逆，则,1、若A可逆，则,5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且,定义215 设 是n阶方阵A的行列式 中元素 的代数余子式，称矩阵,为矩阵A的伴随矩阵,元素 的代数余子式,=一个数,T,n-1阶行列式,例如,则,对,有,使得,且,即,0,0,0,0,0,0,定理21 n阶方阵A可逆的充要条件是,且当A可逆时,证明,则存在，使得,必要性：已知A可逆，,又因为,充分性：已知,，由关系式,即A可逆，且,例：判断矩阵,若可逆，求其逆。,所以A可逆，,所以,是否可逆，,解 因为,且,=10,【例2】设，判断A是否可逆，若可逆，求其逆。,解：,=50,，A可逆。,且,所以,课堂练习 设，判断A是否可逆，若可逆，求其逆。,解：,所以A可逆，,推论 若A、B为同阶方阵，且AB=E,则A、B 均可逆，且,证明：因为A、B为同阶方阵且AB=E,有,由定理21知，A、B均可逆,在等式AB=E的两边左乘 得,在等式AB=E的两边右乘 得,【例（补）】已知n阶方阵A满足2A(A-E)=A3,证明E-A可逆，且,证明：,可逆，且,由推论知：,【例3】设方阵A满足,证明A及,A+2E可逆，并求它们的逆。,证明：,故A可逆，且,又,故A+2E可逆，且,=O,=O,由,【例4】设分块矩阵,其中A为k阶可逆 方阵，B为kr阶矩阵，C为r阶可逆矩阵,O为 rk阶矩阵。证明矩阵H可逆，并求其逆。,证明：因为A、C可逆，所以,于是,即H可逆,设,其中X11、X22分别是与A、C同阶的方阵,则有,即,故,（A、C可逆）,特别地，当B=O，,且 A、C可逆时,有,推广至准对角矩阵，有,若,，Ai为可逆方阵,则A可逆，且,【例（补）】Cramer法则的另一种证明方法,定理16（Cramer法则)若n元线性方程组,的系数行列式,则该方程组有唯一解，且解为,AX=B，A为n阶方阵,系数行列式,方程AX=B两边左乘，即,若Y也是方程组的一个解，则有AY=B,判断题：1、n阶方阵A可逆的充要条件是A是非奇异的2、若A2不可逆，则A一定不可逆3、设A为n阶方阵，且，若存在B，使 AB=O成立，则有B=O。,因为A可逆的,A是非奇异的,因为若A2不可逆，则,，A不可逆,因为若，则A可逆,则有A-1AB=A-1O成立,，即B=O,【例（补）】设A为n 阶可逆方阵（1）求（2）证明A*可逆，并求其逆,解：因为A可逆，所以,（2）由,即A*可逆，且,（1）由,补充习题：,设方阵A满足,证明A-6E及,A+4E可逆，并求它们的逆。,归纳：主要概念：,其中 是A的行列式 中元素 的代数余子式,2、伴随矩阵：对n阶方阵A，有,伴随矩阵,逆矩阵的运算公式：,2、若A可逆，则,1、若A可逆，则,5、若A、B是同阶可逆矩阵，则AB可逆。且,1、n阶方阵A与其伴随矩阵 的关系,3、若A、B为同阶方阵，且AB=E,则A、B 均可逆，且,主要性质：,