无穷大与无穷小.ppt

,一、无穷小,定义1：在自变量的某种趋势下，以零为极限的函数（变量）称为无穷小量，简称无穷小.,例如：,Remark:,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（3）零是可以作为无穷小的唯一的数.,（2）无穷小是变量的一种变化趋势;,例如,证,2、无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,意义,将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,3、无穷小的运算性质:,定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证(不证),推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数（有界量）与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,二、无穷大,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大是一种特殊的无界变量,是无界变量，但不是无穷大量,但是无界变量未必是无穷大(思考),不是无穷大,无界，,证,证,三、无穷小与无穷大的关系,定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,证（不证）,意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,四、无穷小的阶及其比较,例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,观察各极限,定义:,例如，,例4,解,？是不是任意两个无穷小都可以进行阶的比较,不存在且不为无穷大,证,必要性,充分性,意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式,例如,常用等价无穷小:,例5,解,五、等价无穷小代换,定理3(等价无穷小代换定理),证,例6,解,若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限,不能滥用等价无穷小代换.,只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小一般不能分别代换.,注意,例7,解,加减法中一般不用等价无穷小代换,小结,小结,1、主要内容:,定义;关系;运算性质.,2、几点注意:,无穷小与无穷大是相对于过程而言的.,（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；,（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；,（3）无界变量未必是无穷大.,3、无穷小的比较,反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.,4、等价无穷小的代换:,求极限的又一种方法,注意适用条件.,高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.,作业,P58:3.4.5.,